《现代控制理论基础》第八章3课件

8.3线性系统的能控性、能观性及对偶原理8.3.1线性系统的能控性一.状态能控性的定义1对于取定初始时刻的状态，存在一个时刻和一个无约束容许控制，使得在这个控制的作用下，系统由出发的运动轨迹经过11时间后由转移到，则称是系统在时刻的一个能控状态。2如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻的能控状态，则称此系统在时刻完全能控。如果对于任意，系统均是在时刻为能控的，则称系统在区间是完全能控的。3如果状态空间中存在某一状态，在时刻是不能

控的，则称此系统在时刻不完全能控。22二.线性定常系统的状态能控性判据维状态向量维输入向量维系统矩阵维输入矩阵（1）331[能控性矩阵判据]线性定常系统（1）完全能控的充分必要条件是其中称为能控性矩阵。矩阵的秩证明从略44注（1）对于单输入系统，能控性矩阵为正方阵；（2）对于多输入系统，能控性矩阵为长方阵，其秩的判断较为困难，此时可采用下述方法：判断它的秩！55[例10][解]判断下列系统的能控性构造能控性矩阵66这是一个三角形矩阵，副对角线元素均为1，无论取何值，其秩均为3，所以系统恒能控。[例11]判断下列3阶2输入系统的能控性。77[解]构造能控性矩阵易知非奇异，所以满秩，系统能控。88[例12]～～～+-判断桥式电路系统的能控性。99[解]写出桥式电路的微分方程式：～+-1010以和为状态变量，并消去中间变量后整理可得：1111能控性矩阵为：结论当，即时系统的状态完全能控；1212当，即时系统的状态不完全能控。物理解释当时，电桥达到平衡，此时第二个状态变量显然恒为零，它不受输入电压的影响。即这个状态不能控。13132[Jordan标准型判据]线性定常系统（1）完全能控的充分必要条件是：1）若矩阵的特征值两两互异，由系统（1）经线性变换导出的对角标准型的不包含元素全为零的行。1414举例显然，状态不能控，即整个系统状态不完全能控。1515显然，状态不能控，即整个系统状态不完全能控。16162）若矩阵的特征值有重根，由系统（1）经线性变换导出的Jordan标准型在中对应于相同特征值的部分，它与每个Jordan块最后一行相对应的一行的元素没有全为零的；

在中对应于相异特征值的部分，它的各行的元素没有全为零的。

1717[例13]判断下列系统的能控性答：能控答：能控（1）（2）1818答：不完全能控（3）状态不能控。1919答：不完全能控（4）状态不能控。20208.3.2线性系统的能观性考虑系统如果对于任意给定的输入，在有限观测时间内，根据输出能唯一地确定初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观。一.状态能观性的定义（2）2121二.线性定常系统状态能观性的判别1[能观性矩阵判据]线性定常系统（2）完全能观的充分必要条件是其中称为能观性矩阵。2222[例14]判断下列系统的能观性。[解]构造能观性矩阵2323计算行列式得：，事实上该系统不完全能观。2424[例15]考虑汽轮机高压汽缸金属壁温调节系统。主蒸汽流量主蒸汽温度内上壁温内下壁温外下壁温法兰螺栓法兰螺栓实际测温点高压汽缸横断面图主蒸汽2525金属壁温调节系统的数学模型可以近似为：262627272828秩为2，不满秩结论：系统不完全能观。2929系统不完全能观的物理解释第一个状态变量，即内上壁温不能由输出信号，即实际测温点的测量值信息来反映。30302[Jordan标准型判据]1）若系统（2）为对角标准型，其矩阵的特征值两两互异，且不包含元素全为零的列。系统能观3131举例状态不能观。3232状态不能观。33332）若系统（2）为Jordan标准型，则系统能观在中对应于相同特征值的部分，它与每个Jordan块最前一列相对应的一列的元素没有全为零的；在中对应于相异特征值的部分，它的各列的元素没有全为零的。3434[例13]判断下列系统的能观性答：能观（1）3535答：不完全能观（2）不能观3636答：能观（3）3737答：不完全能观（4）不能观38388.3.3能控性与能观性的关系——对偶原理一.对偶系统的概念若系统：与系统：满足条件：则称系统与系统是互为对偶的系统。3939注意输入输出阶系统输入输出阶系统++对偶系统结构原理图4040二.对偶系统的性质性质1对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。[证明]4141证毕4242性质2对偶系统的特征方程是相同的。[证明]证毕4343三.对偶原理若系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控（完全能观）的，那么就是状态完全能观（完全能控）的。4444[证明]若系统完全能控，则的秩为，另一方面，根据对偶关系，有1.4545于是的秩也等于，即系统是完全能观的。若系统完全能观，则的秩为