现代控制原理第2章剖析课件

14状态矢量的线性变换(坐标变换)1状态变量及状态空间表达式2线性时不变系统实现问题3线性时不变系统的特征结构第2章

动态系统的模型与变换21状态变量及状态空间表达式1.1几个概念1.2状态空间描述的一般形式1.3系统状态空间描述建模例子1.4状态空间表达式的系统框图1.5状态空间表达式的状态变量结构图31.1几个概念状态：控制系统的状态指系统过去、现在和将来的状况。例如：考虑如图所示做直线运动的小车，状态指什么？状态变量：既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量。当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定t≥t0时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥t0时刻的行为。(1)减小变量个数将破坏表征的完整性，而增加则会产生冗余且没必要。(2)状态变量选取不唯一，且这此变量相互独立。(3)一个n阶微分方程描述的系统就有n个独立变量，其状态变量也就有n个(而这又与系统中储能元件个数是相等的)。(4)微分方程要有唯一解，必须知道n个独立初始条件，这n个初始条件也是一组状态变量在初始t0时刻的值。41.1几个概念状态矢量(向量)：若n个状态变量用xi(t),i=1,2,…,n表示，把这些变量看作是x(t)的分量，称x(t)为状态矢量，记：

设x(t)与x’(t)是任意选取的两组状态矢量，根据在绪论中数学基础，两者间关系可通过非奇异变量联系起来:x(t)=P

x’(t)P是旧基到新基的过渡矩阵：51.1几个概念状态空间：以状态的正交基为坐标系，便构成了一个空间，将某状态向量的代数表示与几何概念联系起来，x(t)可以看成是n维空间中的某点的坐标。经历时间t1-t0过程，状态轨迹的变化曲线称为状态轨线。状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组。输出方程：关于状态或输入的静态函数关系式。状态空间表达式61.2状态空间描述的一般形式

给出一个系统的状态空间描述，实际上就是建立状态空间模型的过程：由输入引起的状态变化是一个动态过程，这个过程表述需要微分方程或差分方程，这一组方程即为系统的状态方程。状态和输入决定输出的变化，是一个静态的函数映射关系，这一组方程即为系统的输出方程。对不同的系统，状态空间描述均需用状态方程和输出方程，它们的表达形式有别。71.2状态空间描述的一般形式(1)非线性系统离散化式中，f(.)和g(.)的全部或至少一个组成为状态变量xi，i=1,2,3,…,n和uj,j=1,2,…,r的非线性函数。一般情况下状态的维数大于输出维数。81.2状态空间描述的一般形式(2)线性系统(等效意义下)离散化定常定常D=0，称系统为惯性系统。(3)SISO系统与MIMO系统输入与输出的维数不同，同时对MIMO系统的分析与综合要比SISO系统复杂的多。下面对这些系统做一些说明：91.2状态空间描述的一般形式现实世界一切实际系统均属非线性系统，线性系统只是忽略次要非线性因素后导出的理想化的模型，但同时也必须指出，完全可以将相当多的实际系统按照线性系统对待与处理，当然需要有足够的吻合实际系统的精度。如果限于讨论某个(xz,uz)

的足够小邻域内的运动，那第任一光滑非线性系统均可通过Taylor展开，在这一邻域内用一个线性系统来代替。时不变只是时变的理想情况，但只要这种时变过程较之系统动态过程变化足够慢，那么采用时不变系统模型进行分析仍可保证足够的精度。101.2状态空间描述的一般形式由于时间本质上是连续的，几乎在自然界和工程界中的所有系统都归属于连续时间范畴，但时间又在度量上的离散特点，又使社会经济领域中的许多问题适宜作为离散时间系统来处理和研究。上述给出的系统均属确性系统，即系统的特性和参数，输入和扰动是随时间有规律的确定函数，所以动态过程也是时间变量的确定函数，即我们可以求解分析唯一确定响应。实际上还有不确定系统：输入或扰动是随机变量；系统参数与特性包含不确定性。它们分别发展成为控制科学与工程的独立分支：随机系统理论和鲁棒分析与稳定理论。111.3系统状态空间描述建模例子例1设某国普查统计2001年城乡人口的分布是：城市人口为1千万，乡村为9千万。人口的自然流动情况是：每年4%上一年城市人口迁移到乡村，同时有2%的反向迁移。而人口的自然增长率为1%。此国的激励政策为一个单位的正控制措施可激励5万城市人口迁移到乡村；而一个单位的负控制措施结果相反。仅考虑每年城市、乡村人口数极大无关情况下，建立此国家的人口城乡分布的状态空间描述。提示：以2001年为起点，k=0代表2001年。121.3系统状态空间描述建模例子例2如图，RLC电路，u是输入电源电压，uc是C两端电压，i是流经L的电流。建立两种以上的状态变量表达的状态空间模型。选择状态变量:L、C有两个储能元件，故有两个状态变化。根据电学原理建立模型。131.3系统状态空间描述建模例子(1)(2)(3)选择状态变量:141.3系统状态空间描述建模例子说明：状态变量的选取不唯一，但个数是确定的。不同的状态变量得到的动态方程不一样，但都是描述同一个RLC电路的，其输入输出关系没变。这说明，根据输入输出关系求状态空间表达有无穷多个。可通过线性变换互相得到。完全描述一个动态系统所需的状态变量个数由系统的阶数决定。系统阶数等于储能元件的个数。151.3系统状态空间描述建模例子状态变量的选取不一定具有物理意义，也不一定可测量，但从工程实际角度出发，总是选择具有特理意义的量或可测量。该系统是一个LTI系统，且是惯性系统。思考：以u为输入，uR为输出，试建立下图所示的LRC电路的状态空间描述。非惯性系统161.3系统状态空间描述建模例子例3下图是直流他励电动机的示意图(Ka,Kb分别为电动机转矩常数和反电动势常数)，建立状态空间表达式。令171.3系统状态空间描述建模例子例4机械系统，M为物的质量，K为弹簧系数，B为阻尼器，为外加的力，为受力后弹簧的位移，试写出该机械系统的状态方程。

MKByf181.3系统状态空间描述建模例子对上面例2、例4的进步说明：电网络与机械系统有相似关系，在基础物理学中我们能查到它们的对应关系：(1)作用于质量m上的力类似于作用于L上的电压类似于作用于C上的电流(2)作用于弹簧K上的力类似于作用于L上的电流类似于作用于C上的电流(3)作用于阻尼器B上的力类似于作用于R上的电压类似于作用于G上的电流力矩也有类似的对应关系。191.3系统状态空间描述建模例子

由上述相似关系得到两种电路与机械系统相似关系。由这些相似关系可将机械运动系统转化成电网络系统。机械运动系统电网络系统串联并联力F(或转矩T)电压u电流i位移y(或转角θ)电荷q磁链ψ速度v(或角速度ω)电流i电压u质量m(或惯量J)电感L电容C阻尼B电阻R电导G弹性常数的倒数1/K电容C电感L201.3系统状态空间描述建模例子例如将例4的问题转化成电网络系统：MKByf一个问题是确定不同电位(并联)的点或不同电流(串联)的支路个数

这种转化也说明同一个状态方程也可以采用不同物理机理实现。211.4状态空间表达式的系统框图

与古典控制理论类似，状态空间也可用方框结构图来表示。说明：(1)两者类似计算(2)注意在矩阵中乘的顺序，千万不要颠倒。221.5状态空间表达式的状态变量结构图绘制步骤：(1)绘制积分器

(2)画出加法器和放大器

(3)用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。231.5状态空间表达式的状态变量结构图例5画出下面微分方程的模拟结构图241.5状态空间表达式的状态变量结构图例6下面微分方程的模拟结构图对吗？251.5状态空间表达式的状态变量结构图例7根据传递函数框图画状态变量模拟结构图，并求状态方程。思考：若传递函数框图中含有零点的环节，如何处理?展开成一次部分分式26272线性时不变系统实现问题

所谓实现问题是由微分方程(组)或传递函数(阵)得到状态空间描述形式，它既保持了原传递函数(阵)所确定的输入/输出关系，又将系统的内部关系揭示出来。而且得到的状态空间描述可以有无穷多个，它们的内部结构不同。1.2.1单变量线性定常系统的实现问题1.2.2多输入多输出线性系统的实现问题(1)物理实现的机理不同(2)机理虽一样，但内部结构有变化。以线性系统为对象讨论实现问题282.1单变量线性定常系统的实现问题问题描述：零初始条件下Laplace变换s.t.Zeroconditions对这个问题说明几点292.1单变量线性定常系统的实现问题(1)m≤n是物理可实现的条件-----只有这样才能构成因果系统(下一时刻的状态只与当前时刻和前面时刻的状态相关，而与未来时刻的状态无关)。另外，当m>n意味着系统中有纯微分环节s。s的拉氏反变换是单位冲击偶，冲击偶是这样一种函数：当t从负值趋于0时，它是一强度为无限大的正的冲击函数；当t从正值趋于0时，它是一强度为为无限大的负的冲击函数。现实世界，不可能提供此类信号，微分在实际实现时是通过下面的方式实现：

微分对高频噪声信号有放大作用将淹没信号本身。微分能预测误差变化趋势，能够提前使抑制误差的控制作用等于0，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调，改善系统在调节过程中的动态特性。但其不能单独作为控制器。因为在实际的工程中任何调节执行器都具有失灵或死区，对没有变化或变化缓慢的场合，调节器并不动作，但误差一直在积累，而此时又得不到调整。302.1单变量线性定常系统的实现问题(2)若m=n时，系统是非贯性的，系统的传递函数或通过长除法化为(3)A，b，c可以取无穷多种形式。----实现非唯一性(4)若W(s)没有零极点对消，则状态空间的实现称为最小实现；否则是非最小实现。下面分别从高阶微分方程中不包含/包含作用函数u的导数项两种情况讨论上述问题的实现。312.1单变量线性定常系统的实现问题高阶微分方程中不包含作用函数u的导数项的情况初值和输入给定，微分方程的解唯一

系统的运动状态完全确定

实现可以有多种结构，常用的，可由相应的模拟结构图导出。这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。322.1单变量线性定常系统的实现问题

将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出y/b0

的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。332.1单变量线性定常系统的实现问题写成矩阵形式友矩阵形式！！！仔细观察上式中矩阵中的数与微分方程或传递函数中的系数对应关系。能控标准I型342.1单变量线性定常系统的实现问题思考1：若将上边的相变量令为x1=y,…,xn=y(n-1),得到的状态空间形式是什么？能观标准I型352.1单变量线性定常系统的实现问题思考2：若将上边的相变量令为得到的状态空间形式是什么？能控标准II型362.1单变量线性定常系统的实现问题思考3：若将上边的相变量令为能观标准II型得到的状态空间形式是什么？372.1单变量线性定常系统的实现问题比较一下四种标准型，要记住哦！！能控I能观I能控II能观II转置转置互为对偶系统互为对偶系统382.1单变量线性定常系统的实现问题例8求四种状态空间表达式你试着写一下，请动笔！！392.1单变量线性定常系统的实现问题高阶微分方程中包含作用函数u的导数项的情况

思考：若仍选择x1=y,…,xn=y(n-1)作为相变量，则所得的状态方程是什么?不失一般性,m=n402.1单变量线性定常系统的实现问题说明：该式在右边第二项存在u的导数项，这将导致两个困难：a.物理实现上出现输入的微分，这是我们不希望的。b.方程的数学求解上也会带来麻烦，解的存在性与唯一性被破坏。所以必须选择合适的状态变量使状态方程中不含输入的导数项412.1单变量线性定常系统的实现问题方法1:正则化令反laplace变换先画出再加其他部分422.1单变量线性定常系统的实现问题思考：试以三阶为例，画出系统模拟结构图自已动手试试！！！将其推广到n阶系统，此时可写出能控标准I型注意观察！432.1单变量线性定常系统的实现问题另外，我们将W(s)表达成所以，只要求得，就可得。于是便可令相变量为442.1单变量线性定常系统的实现问题于是，可以得到状态方程与输出方程能观标准II型同样可以看出，能观标准II型与能控标准I型是对偶的。例9-1：将下面的微分方程化成能控I型和能观II型自已动手，丰衣足食452.1单变量线性定常系统的实现问题方法2：由前面得到的不适用的状态方程先画出模拟图462.1单变量线性定常系统的实现问题将综合点前移如何移的呢？可以求此图的传递函数可求此图的状态空间表达式472.1单变量线性定常系统的实现问题482.1单变量线性定常系统的实现问题比较可得到βi返回492.1单变量线性定常系统的实现问题能观标准I型若将综合点后移可得到能控标准II型，即502.1单变量线性定常系统的实现问题例9-2将下面的微分方程化成能控II型和能观I型自已动手，丰衣足食

要熟练记由微分方程或传递函数得以四种标准型的模式结构！！！512.1单变量线性定常系统的实现问题用分解方法直接由传递函数建立空间表达式。分解方法有三种：直接分解法、串联分解法、并联分解法。限于讨论m<n的情况。直接分解法：令m=n-1分子分母同除以sn令由框中的两式可以画出系统模拟结构图。522.1单变量线性定常系统的实现问题这和能控标准I型一样532.1单变量线性定常系统的实现问题串联分解法：若传递函数是以因式相乘的形式呈现的，采用串联分解法。而分块画出此模拟图由此可写出状态空间表达式542.1单变量线性定常系统的实现问题并联分解法：将传递函数展成部分分式。分两种情况：特征根互异情况和具有重根的情况。(1)特征根互异情况展开画出系统模拟图：552.1单变量线性定常系统的实现问题标准对角型---一种特殊的Jordan形562.1单变量线性定常系统的实现问题(2)特征根具有重根设有q重的主根λ1,其余λq+1,…,λn互异，这时部分分式形式为：画出其模拟结构图：572.1单变量线性定常系统的实现问题58592.2多输入多输出线性系统的实现

对于一个MIMO系统(r个输入，m个输出)，存在m个微分方程，各微分方程中输出变量相互包含(耦合)，对于线性定常系统用传递函数阵来定义这种系统。定义第i个输出和第j个输入间的传递函数为

这种定义是假定除了第j个输入外，其余输入均为0时得到的。由于线性系统满足叠加性，所以当其输入均为非0时，第i个输出为60当i取1,2,…,m,可得到m个式子，可以写成矩阵形式传递函数阵

由微分方程组或传递函数阵得到的状态空间模型也非唯一，但可能较简单地得到其中一个。看下面的例子。2.2多输入多输出线性系统的实现61例11一个双输入双输出的三阶系统，其微分方程为写出其传递函数矩阵和一种状态空间表达式。(1)为什么系统是三阶的？(2)传递函数矩阵如何求？(3)状态空间如何得到？提示：在条件松弛下，进行Laplace变换，解代数方程。提示：按高阶导数项求解，对每个方程积分，画结构图2.2多输入多输出线性系统的实现622.2多输入多输出线性系统的实现63643线性时不变系统的特征结构

线性时不变系统的特征结构由特征值和特征向量表征。它对系统的特性和行为具有重要的影响。1.3.1特征多项式1.3.3特征向量和广义特征向量1.3.2特征值653.1特征多项式定义：对于方阵An×n,说明:(1)(λ

I-A)作为多项式矩阵必为非奇异，且常称其逆矩阵(λI-A)-1为预解矩阵。

(2)Cayley-Hamilton(Th.de)指出：这揭示：对系统矩阵A，有且仅有{I,A,A2,…,An-1}为线性无关的，allAi(i=n,n+1,…)都可表示为它们的线性组合。663.1特征多项式

(3)最小多项式----n阶矩阵A的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式。(研究生要求)

化零多项式：若存在φ(λ)使φ(A)=0，则称φ(λ)为A的化零多项式。若则就是最小多项式，也是一个化零多项式。

(4)A的循环性----各特征值的几何重数为1的矩阵，称A是循环的。此时，(研究生要求)循环矩阵的特征多项式与最小多项式等同。673.2特征值定义：对LTI系统的系统矩阵A，系统特征值定义为特征方程det(λI-A)=0的根。它有以下属性：代数特性：λi为系统的一个特征值，当且仅当特征矩阵在该处降秩。特征值集：对n维线性时不变系统，系统有且仅有n个特征值。其全体构成系统的特征集。表：特征值的形态：要么为实数，要么为共轭复数

特征值的类型：单特征值和重特征值683.2特征值

特征值的代数重数：对n维LTI，的代数重数定义为满足且的正整数。

直观上看，代数重数代表中值为λi的个数。特征值几何重数：对n维LTI，的几何重数定义为

直观上看，几何重数代表λiI-A的右零空间的维数。

特征值重数和类型的关系：单根：重根：693.3特征向量定义：对n维LTI，设λi是n×n系统矩阵A的一个特征值，则

A的属于λi的右特征向量定义为满足λiνi=Aνi的n×1维非零向量νi。----λiI-A矩阵右零空间列向量

A的属于λi的左特征向量定义为满足νiTλi=νiTA的1×n维非零向量νiT。----λiI-A矩阵左零空间行向量说明:(1)特征向量是不唯一的。

(2)单特征值所属特性向量的属性：对于n维LTI，系统矩阵A的属于特征值{λi，i=1,2,…,n}的相应一组特征向量{ν

i，i=1,2,…,n}为线性无关的，当且仅当特征值两两相异。703.3特征向量广义特征向量：对n维LTI，设λi为系统矩阵A的一个代数重数为σi的重特征值，i=1,2,…,μ，λi≠λj(i≠j)，则

A的属于λi的k级广义右特征向量定义为满足

{(λiI-A)kνi=0,(λiI-A)k-1νi≠0}

的n×1维非零向量νi。

A的属于λi的k级广义左特征向量定义为满足

{νiT(λiI-A)k=0,νiT(λiI-A)k-1≠0}

的1×n维非零向量νi。我们一般使用的是右特征向量。714状态矢量的线性变换(坐标变换)

本节限于讨论线性定常系统。线性系统的矩阵A的特征值是表征系统动力学特性的一个重要参数。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化成由特征值表征的标准型。这种标准型对分析系统的结构是非常直观的。1.4.1状态变量选取的非唯一性的数学解释1.4.3状态空间表达式变换为约旦标准型1.4.2系统特征值不变性和系统的不变量724.1状态变量选取的非唯一性的数学解释给定系统任一个非奇异矩阵T，有变换于是得到新的状态空间表达式：由于T的任意性，故状态空间表达式有无穷多个。734.2系统特征值不变性和系统的不变量由上面得到的新状态空间表达式其特征值方程为所以特征值经奇异变换后不变。又所以特征值全由系数α经奇异变换后不变。称这些系数为系统的不变量。744.3状态空间表达式变换为约旦标准型A阵为任意形式(1)A阵的特征值无重根

结论：设A有n个互异特征根λi(i=1,2,…,n)，求出λi的特征向量pi，则变换矩阵T=(p1,p2,…,pn)可将A变换成对角标准型。你觉得应该如何证明上面这个结论呢？提示：考虑特征矢量的定义，并计算T-1AT。754.3状态空间表达式变换为约旦标准型(2)A阵的特征值有重根----分两种情况

a.虽有重根，但矩阵A仍有n个独立的特征向量，即每个重特征值所对应的独立特征向量数恰好等到于重特征值的重数，即对重特征值：代数重数=几何重数，此时矩阵仍可化为对角阵。

b.A有重特征值，而其独立特征向量的个数小于n，对重特征值:代数重数≠几何重数,此时只能化成Jordan标准型。

问题是：如何区分这两种情况呢？764.3状态空间表达式变换为约旦标准型

矩阵理论解决了此问题：对于An×n,若有q个重特征根，则A可被对角化的充要条件是A的特征矩阵λI-A的秩为n-q。这与下面的条件是等价的：

a.A的n个线性无关的特征向量

b.每个特征值的几何重数=代数重数

c.A的初等因子均是1次的。(研究生要求)该结论对于任意特征根均成立，所以Jordan标准型中可能有若干个Jordan块，某一特征根对应的Jordan块个数=几何重数。774.3状态空间表达式变换为约旦标准型

下面讨论A有q个λ1的重根，且它对应一个特征向量，此时只能将A化成：要确定T，对重根要用到广义特征向量链。实际上可以根据特征向量的定义得到广义特征向量。784.3状态空间表达式变换为约旦标准型

若λ1对应多个普通独立的特征向量，则矩阵