固体物理学第三章资料课件

第三章外场作用下晶体电子的运动固体材料器件器件工作需要外加电磁场驱动其中的电子3.1晶体中电子的速度

在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作

准经典粒子来处理。

解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的

跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。电子的速度：三维情况：电子速度为理解：电子的平均速度与其能量和状态有关。由于E(k)=E(-k),所以计算结果：

电子运动速度的大小与k的关系以一维为例：

在能带底和能带顶，E(k)取极值，在能带底和能带顶，电子速度v＝0

在能带中的某处，电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。

电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等

能面的法线方向。

在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因

此，v的方向一般并不是k的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状:

当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，v才与k的

方向相同。kxkykv功能原理：

当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v

的方向上，和外力F的分量也相等。

在平行于v的方向上，和F的分量相等；

在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为3.2电子在外电场作用下的加速度，有效质量，等能面这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。——电子的准动量

晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为。Bloch电子的行为类似于波长为

的平面波，再由deBroglie关系得其具有的动量。一、电子的准动量由经典功能关系得：二、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：{由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况引入电子的有效质量：在周期场中电子的有效质量m*与k有关E(k)取极小值，E(k)取极大值，

在能带底：

在能带顶：m*>0；m*<02.三维情况

分量形式：＝1,2,3，或

x，y，z原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系，电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。

矩阵形式：牛顿定律：这里用二阶张量代替了电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。

倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，可将其对角化。倒有效质量张量：在主轴坐标系中：例：求简单立方晶体中，紧束缚近似下s带电子的有效质量，并讨论其特点。即kx,ky,kz为张量的主轴方向,1,2,3有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。有效质量张量退化为一个标量

在能带底点：

在能带顶R点：

在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。

在X点：

有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近

（E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近

（E(k)极大），有效质量总是负的。

有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。

有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，

有效质量是一个张量，在特殊情况下可以退化为标量。有效质量的物理解释电子的真实动量：

一维情况下：

由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂，并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子效应，是不能用经典的方法来处理。牛顿定律：F外：外场对电子的作用力F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力即其中——电子有效质量

有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。对于自由电子：F晶＝0，所以，m*＝m。

周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中总是受到周期场的作用，即F晶0。我们只是为了讨论电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”，将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有很大差别的物理原因。

有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量这种形式反映出来的。在能带底：电子的能量取极小值，电子从外场所获得的动量大于电子交给晶格的动量，因而表现为具有正的有效质量m*>0；在能带顶：电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有负的有效质量m*<0。由于在能带底，而在能带顶在拐点处，F外＝－F晶，所以m*。当F外>－F晶时，m*>0；而当F外<－F晶时，m*<0。在能带中的某处必有一拐点，

由于F外只是外场对电子的作用力，它并不是电子所受的合外力，因此，并不是电子的真实动量，而是电子的准动量就不难理解了。

电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力，而只考虑外场力对电子运动的影响。

在讨论晶体中电子的准经典运动时，是一个很有用的量，它往往比电子的真实动量mv更有用。这是因为在k空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容易。三、等能面晶体中电子的能带引入形象化的概念——等能面在倒空间中，方程E(k)=Ec

描写一曲面，称其为能量Ec的等能面。自由电子：与能量Ec

对应的等能面为中心在k空间原点、半径为的球面。kxkyAC近自由电子的等能面

在晶体近自由电子情况下当等能面靠近布里渊区边界面时，由于周期场的影响，等能面将发生畸变，形成向外突出的凸包。当离布里渊区边界面较远时，其等能面与自由电子基本相同，近似为球面。举例：晶体电子紧束缚近似下的等能面以简单立方晶格s带为例:随着E的增大，等能面明显偏离球面。在kz=0截面的等能面如图所示3.3导体、绝缘体和半导体，布洛赫振荡，空穴在k空间中，对于同一能带有

对于同一能带，处于k态和处于－k态的电子具有大小相等方向相反的速度。一、满带不导电

当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态和－k态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。所以，无宏观电流I＝0。在有电场存在时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的分布，所以在外场作用下，满带中的电子不产生宏观电流。二、价带填充程度决定导电性价带：狭义的指价电子所填充的带。当价带填充电子未满时

在外电场的作用下，能带中电子的对称分布被破坏，产生宏观电流，I0。导体、绝缘体和半导体非导体：电子刚好填满能量最低的一系列能带，而能量再

高的各能带都是没有电子填充的空带。导体：电子除填满能量最低的一系列能带外，在满带和

空带间还有部分填充的导带。半导体绝缘体导带空带空带价带价带}Eg}Eg导体非导体{：10－6~10－5(cm)10－2~109(cm)1014~1022(cm)半导体：禁带宽度一般较窄：Eg介于0.2~3.5eV之间绝缘体：禁带宽度一般都较宽，Eg

>几个eV常规半导体：如Si：Eg

~1.1eV；Ge：Eg~0.7eV

GaAs：Eg~1.5eV宽带隙半导体：如－SiC：Eg~2.3eV

4H－SiC：Eg~3eV如－Al2O3：Eg~8eV；NaCl：Eg~6eV广义的价带：导带空带空带价带价带}Eg}Eg导体几个概念：半导体绝缘体一、在k空间中的运动图象设沿－x方向加一恒定电场，电子受力：F=e沿+x方向这表明电子在k空间中的运动是匀速的。由

在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。三、布洛赫振荡

电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随时间作周期性振荡。电子速度的周期性振荡形成同周期的交变电流，这一现象称为布洛赫振荡。二、在实空间中的运动图象Ex=0ABC电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。附加电势能：Ex

由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的

散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两

次散射（碰撞）间的平均时间间隔τ很小，电子还来

不及完成一次振荡过程就已被散射。在晶体中：10－12－10－13s，a3×10－10m为了观察到电子振荡的全过程，要求T

对金属：无法实现高电场满足要求所需加的电场：104105V/cm

对绝缘体：将被击穿电子振荡周期：四、空穴半导体价带上的一个电子跃迁到空带后,满带中出现一个空位。空带价带Eg热激发价带出现空位的结果：价带不再是满带，价带也可以导电。波矢为ki的电子不再有-ki的电子速度相抵消。假设此时电流密度为j相当于一个具有正电荷e以同一速度v运动的粒子形成的电流，这一粒子称为空穴。价带空带Eg=2.42eV这相当于产生了一个带正电的粒子(称为“空穴”)

。电子和空穴总是成对出现的。空穴的有效质量：在三维情形，价带中波矢为、速度为的电子被激发至导带后在价带中即产生速度为的空穴。其波矢也是对价带顶附近各向同性的能带，电子加速度为：下标e表示电子，如将空穴速度表示为在价带顶附近，如在上式中引入显然可视为空穴的有效质量。空穴的性质：能带中波矢为k的空穴系由同一能带中波矢为k的电子缺失而产生。速度即为电子未缺失时在此能带中的速度。在外电场作用下表现为荷单位正电荷、具有正有效质量的粒子。物理现象或实验结果物理模型决定因素结果与预言验证修改理论解释3.4金属的电导Sommerfeld的自由电子论

电子在运动中存在一定的散射机制。

金属自由电子模型

电子在一有限深度的方势阱中运

动，电子间的相互作用忽略不计；

电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；

电子的填充满足Pauli不相容原理；金属中电子的运动方程及其解V0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0

＝0。令有1.运动方程方程的解：A：归一化因子，由归一化条件确定电子的能量：V:金属的体积

：电子波矢金属中电子的波函数和能量：金属中原胞的总数：N＝N1N2N32.周期性边界条件h为整数设N是金属沿基矢

（＝1，2，3）方向的原胞数，周期性边界条件：

，＝1,2,3令：h为整数，＝1,2,3在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关在

空间中，波矢

的分布密度为每一个量子态在

空间中所占的体积为：

量子统计基础知识

经典的Boltzmann统计：

量子统计：Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），

玻色子遵从Bose－Einstein统计规律，

玻色子不遵从Pauli原理。费米子：自旋为半整数（n＋1/2）的粒子（如：电子、质

子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规

律，费米子的填充满足Pauli原理。一、费米分布函数称为费米能级费米分布函数T＝0时电子的分布T＝0时，电子的分布函数为f(E)={1EEF00E>EF0EEF001f(E)T＝0——费米半径——费米动量——费米能——费米速度费米球T＝0K时所有包含在以k空间原点为中心、半径为的球面内的波矢的端点均为被占电子状态的代表点，球面以外的波矢代表的状态则是空的，即电子均分布于球内，这一球称为费米球。E＝EF的等能面称为费米面。虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。元素EF0

(eV)TF

(104K)元素EF0

(eV)TF

(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度的计算值由于散射作用，这一移动不会持续进行，而是稳定在一、金属电导率当施以外加电场时，所以电子的波矢在Δt时间内均以变化。即整个费米球由于外场作用而在k空间位移。为平均自由时间，即平均而言相邻两次散射之间电子得以自由运动的时间。电子与晶格的碰撞；电子与电子及杂质的碰撞无外场时电子平衡分布不产生电流；设金属中电子数密度为n，则有外场时的电流密度为：由欧姆定律得金属得电导率：可以理解为费米面处电子的平均自由时间，反映了只有费米面附近的电子，即能量接近费米能级的电子对电导才有贡献。能量比EF低得多的电子，其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接纳它。因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，对电导作出贡献，能被电场激发而对电导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。金属电阻率：

金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。

在高温下，当T>D时，T

在低温下，当T<<D时，T5

在高温下，表示晶格振动强弱的声子数与温度成正比，低温下，声子数与T3成正比。

通常，可用室温电阻率与(0)之比R来表征样品的纯度。

如：(0)＝1.710－9(cm)的Cu样品，R103，相当于其杂质浓度为210－5。在纯度很高的样品中，R可高达106，而在合金样品中，R可降至1左右。3.5霍尔效应晶体中的电子在磁场作用下的现象。在磁感应强度为B的洛伦兹力作用下，电子波矢按变化。1.在k空间中的运动图象

在k空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。沿磁场方向k的分量不随时间而变，即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动。（Lorentz力不做功）电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动对自由电子：电子的回旋轨道为圆在等能线上，k＝const.k2.在实空间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。对于自由电子：如设磁场沿z轴方向，有{

在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。3.电场与磁场共同作用下在x方向施以外加电压置于沿z方向的磁场中稳态时有沿x方向的直流电流，设其电流密度为n为样品中电子数密度电子该电场称为霍尔电场。这一现象称为霍尔效应。则霍尔电场为：其中称为霍尔系数。一、电子的速度电子速度为电子的平均速度与其能量和状态有关。

电子运动速度的大小与k的关系第三章总结二、电子的准动量外场作用下——电子的准动量三、电子的加速度和有效质量引入电子的有效质量：1.一维情况在周期场中电子的有效质量m*与k有关

在能带底：E(k)取极小值，m*>0；

在能带顶：E(k)取极大值，m*<02.三维情况(理解）倒有效质量张量：原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系，电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。在主轴坐标系中：有效质量的物理解释：——电子有效质量

有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。

有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期场对电子运动的影响。电子有效质量取正或负的原因？

电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物理量四、等能面在倒空间中，方程E(k)=Ec

描写一曲面，称其为能量Ec的等能面。自由电子：中心在k空间原点、半径为的球面。

在晶体近自由电子情况下kxkyAC五、导体、绝缘体