一元一次方程应用题(培优班)

一元一次方程应用题(培优班)

1、列方程解应用题的基本步骤和方法：解题步骤包括审题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答。在审题时应读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系。设未知数一般是问什么就直接设什么为x，即直接设元。如果直接设元有困难，可以间接设元避免列出恒等式。在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题。解方程的步骤不用写出，直接写结果即可。列方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来。方程的解要符合实际问题。2、设未知数的方法：设未知数的方法一般有直接设元、间接设元、辅助设元、部分设元与整体设元转换。直接设元适用于要求的未知数只有一个的情况。间接设元适用于直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂的应用题。辅助设元需要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去。部分设元与整体设元转换适用于数字问题。3、数字问题：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，则这个两位数可以表示为10a+b。一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为100a+10b+c。根据题意，小明在8:00时看到的数为10(7-x)+x，根据题意，这个数与7:00时看到的数颠倒过来后相等，即10x+(7-x)=10(7-x)+x，解得x=4，所以7:00时看到的里程碑上的数为47。【答案】4710(7-x)+x-100x+(7-x)=0，解得x=1，因此7-x=6。【答案】小明在7:00时看到的两位数是16。模块二：日历问题(1)在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7。(2)日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数。(3)一年中，每月的天数是有规律的。一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天。因此，日历表中日期的取值是有范围的。【例5】下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，(1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么？【解析】(1)设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7。根据题意可列方程：x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=74，解得x=15。因此它分别是：15，16，21，22。(2)设第一个数为x，则4x+14=26，x=3。本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，得出结论：无法构成平行四边形。【答案】(1)15，16，21，22；(2)无法构成平行四边形。【例6】如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由。【解析】(1)设四个数字是a，a+1，a+7，a+8。根据题意可列方程：a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=68，解得a=13。因此平移后的四个数是13、14、20、21。(2)设四个数字是x，x+1，x+7，x+8。则4x+16=49，x=33/4。不合题意，舍去。【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为49的长方形。【例7】把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表。(1)用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是x+1，x+2，x+8。【答案】x+1，x+2，x+8。育经费达到了3亿元，比2006年增加了1.5亿元，求2006年我市筹措农村义务教育经费的数量．【解析】设2006年我市筹措农村义务教育经费为x亿元，根据题意可列方程：x1.53，解得x1.5．【答案】2006年我市筹措农村义务教育经费的数量为1.5亿元．模块三：和差倍分问题在解决和、差、倍问题时，关键是要明确是几倍多几还是几倍少几。（1）当较大量是较小量的几倍多几时，可以用较小量的倍数加上多余量来表示较大量；（2）当较大量是较小量的几倍少几时，可以用较小量的倍数减去所少量来表示较大量。【例8】一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的21/33，则这片地共有多少公顷？第二天耕了剩下部分的221/333，则耕地x公顷，第二天耕了剩下部分的，则第二天耕地×（1-2/3）=x（公顷）。根据题意可列方程：x-21/33-x=42，解得x=189。一部拖拉机在第一天耕了这片地的21/33，求这片地共有多少公顷？第二天耕了剩下部分的221/333，则耕地x公顷，第二天耕了剩下部分的，则第二天耕地×（1-2/3）=x（公顷）。根据题意可列方程：x-21/33-x=42，解得x=189。【例9】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧！”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只。”问牧羊人的这群羊共有多少只？牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方。一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧！”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只。”求牧羊人的这群羊共有多少只？设这群羊共有x只，根据题意可列方程：2x+(x/2)+(x/4)+1=x×2，解得x=36。【例10】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时。有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时。有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样。问停电的时间有多长？设停电时间为x小时，粗蜡烛长l米，则细蜡烛长2l米，那么细蜡烛每小时点燃2l米，粗蜡烛每小时点燃l/2米，根据题意可列方程：2l-2lx=l-x，解得x=3小时。【例11】2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费达到了3亿元，比2006年增加了1.5亿元，求2006年我市筹措农村义务教育经费的数量．2006年，我市率先在全国大面积实施“三免一补”。据悉，2010年我市筹措农村义务教育经费达到了3亿元，比2006年增加了1.5亿元。求2006年我市筹措农村义务教育经费的数量。设2006年我市筹措农村义务教育经费为x亿元，根据题意可列方程：x+1.5=3，解得x=1.5亿元。小时行40千米，则比火车晚到15分钟，求火车行驶速度和距离火车站的距离。【解析】设火车行驶速度为v千米/小时，距离火车站的距离为d千米，火车开车时间为t小时，则有：30(t+1/4)=d40(t-1/4)=d解得：t=2.5小时，d=75千米，v=30/(2.5+1/4)=10千米/小时【答案】火车行驶速度为10千米/小时，距离火车站的距离为75千米。【例14】甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶。甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米。已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米。请问A、B两地相距多少千米？【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程：$$\frac{2x}{60}+\frac{x-288}{60}+\frac{2(x-288)}{60}=\frac{2(x-288)}{40}+\frac{x}{40}$$解得$x=420$。【答案】A、B两地相距420千米。【例15】某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟。回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用1小时。问A、B两地相距多少千米？【解析】设A、B两地相距$x$千米，设他下坡用$t$小时，则上坡用$1-t$小时，根据题意可列方程：$$12t+9\left(\frac{55}{60}-t\right)=8(1-t)+4\left(\frac{55}{60}\right)$$解得$x=9$。【答案】A、B两地相距9千米。【例16】一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？【解析】设$a$是第一次第一天走的路程，$b$是第二天起每天多走的路程，$x$是所求的天数，则根据题意可列方程：$$a+9(a+9b)=15a+105b=10(a+45b)$$解得$a=9b$，$x=7.5$。【答案】需要7.5天。【例20】一池水需要注满，有甲、乙、丙三个水管可供使用。独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水。现将三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满。问三管齐开了多少小时？解析：设甲管的效率为a，乙管的效率为b，丙管的效率为c，则：独开甲管的效率为a，即5a=1，得到a=1/5；甲、乙两管齐开的效率为a+b，即2(a+b)=1，得到a+b=1/2；甲、丙两管齐开的效率为a+c，即3(a+c)=1，得到a+c=1/3。设三管齐开了x小时，根据题意可列方程：x(a+b+c)-(2a)=1，代入a、a+b、a+c的值，得到：x(1/2+1/3)-(2/5)=1，解得x=19/4。因此，三管齐开了19/4小时。【例17】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？解析：设小船在静水中的速度为a，原来的水速为b，则根据题意可列方程：2(a-b)=d，其中d为甲港到乙港的距离；3(a-2b)=d，因为水流速度增加了一倍，所以为2b变成了4b，即水速变成了原来的两倍。解方程得到a=4b。设水流速度为c，则在水流增加后，从乙港返回甲港的速度为a+3c，从而可列方程：d/(a+3c)=t，其中t为从乙港返回甲港所需的时间。将a=4b代入上式，得到：d/(4b+3c)=t。又因为2(a-b)=3(a-2b)，所以d=2(2b)=4b，代入上式，得到：4b/(4b+3c)=t。将上述两式联立，解得t=1小时。因此，从乙港返回甲港需航行1小时。【例18】一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏。假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？解析：设水流速度为v，此人游泳的速度为u，则此人在水中逆水游泳的速度为u-v。设此人追赶木筏的时间为t，则此人在水中逆水游泳的时间为t+10分钟。因为此人追赶到木筏时，离桥1500米远，所以可以列方程：vt=(u-v)(t+10)+1500。化简得到：vt=ut+10u-vt-10v+1500，整理得到：2vt=10u-10v+1500，即：v=(10u+1500)/(2t+20)。因此，水流速度为(10u+1500)/(2t+20)。方案二：投资者可以选择按商铺标价的50%首付，余款分12期付清，每年可以获得的租金为商铺标价的12%．如果投资者打算在5年期满后回购商铺，应选择哪种购铺方案？【解析】设商铺标价为x元，方案一的付款为x元，方案二的首付为0.5x元，每期付款为0.5x/12元，则方案一的租金为0.1x元/年，方案二的租金为0.12x元/年，5年后回购价格为1.2x元．假设投资者选择方案一，5年后他的收益为：收益=租金总额+回购价格-购铺价格=0.1x×5+1.2x-x=0.7x元假设投资者选择方案二，5年后他的收益为：收益=租金总额+回购价格-购铺价格=0.12x×5+1.2x-0.5x-0.5x/12×(12×5)=0.7x元两种方案的收益相同，但方案二需要分期付款，存在一定的利息成本，因此建议选择方案一．【答案】选择方案一．方案二为投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得商铺标价的10%的租金，但需要缴纳租金的10%作为管理费用。现在问投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高，为什么？设商铺标价为x万元，则按方案一购买，获得投资收益为(120%-1)x+x*10%*5=0.7x，投资收益率为70%x。按方案二购买，获得投资收益为(120%-0.85)x+x*10%*(1-10%)*3=0.62x，投资收益率为72.9%左右。因此投资者选择方案二获得的投资收益率高。如果甲和乙分别选择了方案一和方案二购买同一标价的商铺，5年后两人获得的收益将相差5万元。现在问甲、乙两人各投资了多少万元？由题意得，0.7x-0.62x=5，解得x=62.5，所以甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元。有一条只允许单向通过的窄道口，通常情况下每分钟可以通过9人。一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口。此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校。现在问，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选择通过拥挤的道口去学校？王老师通过道口去学校需要36/3+7=19分钟，而绕道需要15分钟，因此从节省时间的角度考虑，王老师应选择绕道去学校。如果在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？设维持秩序时间为x分钟，则维持秩序这段时间内通过道口的有3x人，维持好秩序后通过道口的有(36-3x)人，根据题意可列方程：36/3+x+(36-3x)/9=36/3+(x-6)/3，解得x=3分钟。设计一种方案，使三人同时出发后都在3小时内到达博物馆。假设学生为甲、乙二人，乙先步行，老师带着甲乘摩托车行驶一段路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆。设老师带着甲乘摩托车行驶了x千米，则用时为x/20小时，比乙多行了x/(25+5)小时。这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了x/(25+5)小时。乙遇到老师时，已经步行了(33+5x)千米，离博物馆还有33-x千米。要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有x=33-x，解得x=24。即甲先乘摩托车24千米，用时1.2小时，再步行9千米，用时1.8小时，共计3小时。因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时。例29：某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓要配两个螺母。第一天安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺母，问第二天应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使两天总的生产效率最高？解析：设第二天应分配x人生产螺栓，28-x人生产螺母，根据题意可列方程：2*12