第四章正态分布培训课件

第四章正态分布正态分布是最重要的概率分布(原因)：(1)很多随机现象可用正态分布描述或近似描述,例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等大量随机现象可以用正态分布描述.(2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从正态分布.(中心极限定理)(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等)是由正态分布推导得到的.7/23/20232第四章正态分布一、正态分布的定义定义.

设随机变量X的概率密度为则称X服从正态分布记作1.正态分布(Normaldistribution)或高斯分布),其分布函数：7/23/20233第四章正态分布正态密度函数的特性：xy7/23/20234第四章正态分布7/23/20235第四章正态分布(2)0≤F(x)≤1,且正态分布函数的特性：1(1)函数F(x)单调非减;F(-∞)=0，F(+∞)=1;(3)F(x)在R上处处连续;(4)1/27/23/20236第四章正态分布2.标准正态分布为标准正态分布,特别地,且其分布函数：则称N(0,1)其概率密度为7/23/20237第四章正态分布(3)7/23/20238第四章正态分布标准正态分布函数表x0123450.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.30.61790.62170.62550.62930.63310.63860.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.50.69150.69500.69850.70190.70540.70887/23/20239第四章正态分布求解:例1.设X~N(1,22)?7/23/202310第四章正态分布3.正态分布向标准正态分布的转化将随机变量X进行标准化,即令则有下面给出简单说明：故Y~N(0,1).7/23/202311第四章正态分布则X落在区间[x1,x2]内的证明：定理：设概率为7/23/202312第四章正态分布解:求测量误差X的绝对误差X服从正态分布值小于0.1mm的概率.例2.测量某种小轴的直径(单位:mm)时发生的测量7/23/202313第四章正态分布设X表示“考生考试成绩”，问总分应是多少算上线？解：且总分上线应为x分.由题意知经查表考试成绩呈正态分布,例3.某省高考人数是35000人,计划招生3500人,占考生人数的7/23/202314第四章正态分布1.期望E(X)二、正态分布的数字特征则解：奇函数=17/23/202315第四章正态分布则2.方差D(X)3.标准差7/23/202316第四章正态分布(法则)求X落在区间内的概率.解:3倍标准差原理:

设很大,基本上认为此区间为X实际可能的取值区间.例4.设随机变量7/23/202317第四章正态分布思考：分析:7/23/202318第四章正态分布证：Y的分布函数为①当b>0，有上式两边关于y求导，得三、正态分布的性质则(1)线性性.

7/23/202319第四章正态分布(2)当b<0，有上式两边关于y求导，得综上所述,Y的概率密度为所以7/23/202320第四章正态分布则(2)可加性.

且X与Y相互独立,(3)线性组合性.相互独立，则为常数,7/23/202321第四章正态分布Z1

服从正态分布,令Z=2X-Y+3,解:则由于X,Y相互独立,而Z=Z1+3是Z1的线性函数，即例5.设X～N(1,2),Y～N(0,1),且X与Y相互独立.并写出Z的概率密度.设因此Z服从正态分布.求E(Z),D(Z),7/23/202322第四章正态分布四、中心极限定理实际问题中，经常遇到很多随机变量是服从或近似服从正态分布的.例如,工业生产中各种产品的质量指标(如零件的尺寸、材料的强度……)，生物学中同一群体的特征(如:动物的身长、体重),测量误差,等等.怎样理解“服从正态分布的随机变量广泛地存在”这一客观规律性呢？——中心极限定理7/23/202323第四章正态分布且则随机变量设随机变量相互独立,服从相同的分布,定理1.[独立同分布的中心极限定理]对于任何实数x，有7/23/202324第四章正态分布注：(3)独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布.7/23/202325第四章正态分布例6.一册400页的书中,每一页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)，各页有多少个印刷错误是相互独立的.求这册书的印刷错误不多于88个的概率.设随机变量X表示这册书的印刷错误的个数,解：Xi表示第i页的印刷错误的个数,则由题意独立且同分布,知且Xi~P(0.2).7/23/202326第四章正态分布定理2.[棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理]设在独立试验序列中，事件A的概率P(A)=p(0<p<1),随机变量Yn表示事件A在n次试验中发生的次数，则对于任何实数x，有注：由定理知Yn~B(n,p).当n充分大时,将Yn标准化后,其近似服从N(0,1);而Yn近似服从N(np,np(1-p)).7/23/202328第四章正态分布例7.某电站供应10000户居民用电,设在高峰时每户用电的概率0.8,且各户用电量是相互独立的.求:(1)同一时刻有8100户以上用电的概率；(2)若每户用电功率为100W,则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电?解:设Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数,则Yn~B(10000,0.8),于是E(Yn)=np=10000×0.8=8000，D(Yn)=np(1-p)=10000×0.8×0.2=1600，7/23/202329第四章正态分布7/23/202330第四章正态分布(2)若每户用电功率为100W,则Yn户用电功率为100Yn(W),设电站供电功率为Q(W),按题意有经查表得故所以Q=807840(W).7/23/202331第四章正态分布二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，内容小结一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质；

三、掌握正态分布的数字特征；会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；7/23/202332第四章正态分布3(线性组合性).设且X、Y相互独立,则四、熟悉正态分布的性质则1(线性性).

若2(可加性).设相互独立，且则五、了解中心极限定理,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．7/23/202333第四章正态分布作业习题四(P116):1、2、3、4、7、8、167/23/202334第四章正态分布则X的数学期望为______;X的方差为______.备用题1.

已知连续随机变量X的概率密度函数为分析：经过整理得故E(X)=1,D(X)=1/2.7/23/202335第四章正态分布2.

已知则Z服从（）分布.因为X,Y相互独立，根据正态分布的性质分析：故选C.7/23/202336第四章正态分布3.

设随机变量X与Y均服从正态分布：7/23/202337第四章正态分布分析：故选B.7/23/202338第四章正态分布4.解：得(2+2)7/23/202339第四章正态分布由独立同分布的中心极限定理，7/23/202340第四章正态分布5.

某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户中被盗索赔用户占20%，以X表示在随机调查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分