第8章应力状态和强度理论资料课件

水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论1水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论2水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念低碳钢拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸实验请看下列实验现象：应力状态的引例3水利土木工程学院工程力学课程组请看下列实验现象：低碳钢扭转实验铸铁扭转实验为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？应力状态的引例第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念4水利土木工程学院工程力学课程组请看下列实验现象：FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的引例这表明：拉杆的横截面上不存在剪应力。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念5水利土木工程学院工程力学课程组请看下列实验现象：受力之前，表面斜置的正方形受拉后，正方形变成了菱形，直角有了改变。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。FPFP应力状态的引例第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念6水利土木工程学院工程力学课程组请看下列实验现象：受扭之前圆轴表面的圆这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。MxMx受扭后，变为一斜置椭圆，这是为什么？应力状态的引例第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念7水利土木工程学院工程力学课程组dxdydz单元体（Element）描述一点应力状态的基本方法

单元体又被称作微元体，是边长无限小的正六面体，各面上的应力情况描述一点应力状态。

单元体边长无限小，可以认为是一个点；

单元体边长无限小，可以认为面上的应力是均布的；

单元体边长无限小，还可以忽略两个平行面上的应力增量。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念8水利土木工程学院工程力学课程组空间(三向)应力状态yxz应力与应力面的命名：

建立图示空间直角坐标系，则有三对应力面，分别称为x面、y面、z面；

与应力面相对应，有三个正应力x、y、z；

对于切应力，其下标中第一个字母表示应力所在的平面，第二个字母表示与该应力平行的坐标轴的名称。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念9水利土木工程学院工程力学课程组yxz平面(双向)应力状态xy由于面上无应力，则称为平面或双向应力状态，可以用左图的单元体来表示。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念10水利土木工程学院工程力学课程组平面(双向)应力状态的两个特例单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态

(ShearingStateofStresses)单向应力状态又称为简单应力状态。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念11水利土木工程学院工程力学课程组应力指明哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态(StateoftheStressesofaGivenPoint)。就是研究一点处沿各个不同方位截面上的应力及其变化规律。应力状态的概念第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念12水利土木工程学院工程力学课程组应力状态的点的概念横截面上正应力分布FNFS横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力状态的点的概念。横截面上剪应力分布第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念13水利土木工程学院工程力学课程组应力状态的面的概念拉中有剪单元体局部平衡σσσστ第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念14水利土木工程学院工程力学课程组应力状态的面的概念σττyxτxyτxyτyx剪中有拉单元体局部平衡第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念15水利土木工程学院工程力学课程组应力状态的面的概念σστσττxyτyx单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力状态的面的概念。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念16水利土木工程学院工程力学课程组以上分析表明：不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。☆应力的点的概念☆应力的面的概念☆应力状态的概念应力状态的概念第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念17水利土木工程学院工程力学课程组用单元体表示拉压杆内一点的应力状态第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念18水利土木工程学院工程力学课程组用单元体表示梁内一点的应力状态第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念19水利土木工程学院工程力学课程组试用单元体表示图示简支梁中集中力作用点的左截面－S截面上1、2、3、4、5点的应力状态。FPl/2l/2S截面54321

【例8-1】【解】首先求得S截面上的剪力和弯矩。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念20水利土木工程学院工程力学课程组54321【解】54321用单元体表示1、2、3、4、5点的应力状态。123σx1σx2τ2τ2τ3τ3第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念21水利土木工程学院工程力学课程组试用单元体表示S截面上1、2、3、4点的应力状态。FPlaSxzy4321S截面

【例8-2】Mz

FSMx【解】首先求得S截面上的剪力和弯矩。第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念22水利土木工程学院工程力学课程组xzy4321S截面Mz

FSMx【解】1432第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念23水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论24水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论拉为正压为负正应力＆8.2平面应力状态分析方向角与应力分量的正负号规定25水利土木工程学院工程力学课程组切应力方向角与应力分量的正负号规定

使单元体或其局部产生顺时针方向的矩为正；

使单元体或其局部产生逆时针方向的矩为负。第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析26水利土木工程学院工程力学课程组方向角方向角与应力分量的正负号规定yxα由x

正向逆时针转到

n正向者为正；

由x

正向顺时针转到n正向者为负。第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析27水利土木工程学院工程力学课程组方向角方向角与应力分量的正负号规定yxβ由x

正向逆时针转到

n正向者为正；

由x

正向顺时针转到n正向者为负。第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析28α水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的解析法yx取图示单元体为研究对象，考虑其平衡情况。nαdAα第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析29水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的解析法∑Fn=0αnyxdAα第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析30水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的解析法∑F=0αnyxdAα第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析31水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的解析法αnyxdAα利用二倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析32水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析33水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法RCO第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析34水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法Dx(sx,txy)Dy(sy,tyx)C在σ-

坐标系中，标定与x、y面对应的点Dx和Dy，连接Dx、Dy交x‘轴于C点，即为圆心，CDx

即为应力圆半径。第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析35水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法Dx(sx,txy)C点面对应：应力圆上一点的坐标值对应着单元体一面上的应力；

基线对应：应力圆上以CDx为基线，在单元体上对应的是x轴；x面Dy(sy,tyx)y面x第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析36水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法DxCxD2倍角关系：半径转过角度是方向面法线旋转角度的两倍。

转向对应：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；n第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析37水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法Dx(sx,txy)CDy(sy,tyx)xnD2

证明：20ABE第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析38水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态分析的图解法＿＿应力圆法Dx(sx,tx)CDy(sy,ty)xnD2

证明：20ABED的横坐标和纵坐标就是斜截面上的正应力和切应力。第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析39水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-3】【解】求图示单元体30º面上的正应力和切应力。解析法结果为负值，说明正应力为压应力。结果为正值，说明切应力对三角形单元体产生顺时针方向的矩。n第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析40水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-3】【解】求图示单元体30º面上的正应力和切应力。应力圆法└─┘10MPaC60º

Dx(10

,20)Dy(30

,−20)D60º

按比例尺量得第8章应力状态和强度理论＆8.2平面应力状态分析41水利土木工程学院工程力学课程组＆8.2平面应力状态分析将(*)式对求一次导数，并令其等于零，有得此时，第8章应力状态和强度理论主平面、主应力与主方向42水利土木工程学院工程力学课程组主平面、主应力与主方向只有正应力，没有剪应力的斜平面，称为主平面其方向角用α0

表示。主平面上的正应力称为主应力。主平面法线方向即主应力作用线方向，称为主方向。在(0~2)内由得两个主方向。将其代入得两个主应力为＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论43水利土木工程学院工程力学课程组主平面、主应力与主方向三个主应力按代数值由大到小分别命名为1、

2、3，即＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论44水利土木工程学院工程力学课程组面内最大切

应力由此得出另一特征角，用α1表示对α求一阶导数，并令其等于零，得与正应力相类似，不同方向面上的切应力也存在极值。为求此极值，将45水利土木工程学院工程力学课程组在(0~2)内由得两个特征角。将其代入得两个切应力极值为

需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于xy面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。面内最大切

应力＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论46水利土木工程学院工程力学课程组即最大和最小切应力作用平面与主平面的夹角为45º。反映在单元体上如下图所示。极限应力的作用平面的关系＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论47水利土木工程学院工程力学课程组sxsytxtyABtsoDxDyCs1s2主应力为s3应力圆上的主应力与主平面主平面由和0和0'确定。0'B2020'0As1s2＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论48水利土木工程学院工程力学课程组sxsytxtyABtsoDxDyC最大切应力为应力圆上的面内最大切应力与作用平面最大切应力作用平面由和1和1'确定。21'21maxminE11'＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论49水利土木工程学院工程力学课程组一点处的平面应力状态如图所示。试求−30º斜面上的应力；主应力、主平面；绘出主应力单元体。

【例8-4】【解】30º(MPa)求−30º

斜面上的应力＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论50水利土木工程学院工程力学课程组【解】(MPa)主应力、主平面；主平面方位：主应力为绘出主应力单元体。＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论51水利土木工程学院工程力学课程组试用应力圆法求图示单元体30º截面上的应力及该点的极限应力。

【例8-5】【解】(MPa)10MPas1s2s3max＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论52水利土木工程学院工程力学课程组构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图。试用应力圆求主应力和最大剪应力。在应力圆上量取，得

【例8-6】【解】50MPamaxs1s3s2＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论53水利土木工程学院工程力学课程组图中所示平面应力状态，若要求面内最大切应力不超过85MPa，试求x的取值范围。DxDy（MPa）

【例8-7】【解】＆8.2平面应力状态分析第8章应力状态和强度理论54水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论55水利土木工程学院工程力学课程组＆8.3空间应力状态简介第8章应力状态和强度理论yxzyxz56水利土木工程学院工程力学课程组s3s2Is1任一点的应力状态都可以用图示的主应力单元体来表示，这里主要研究主应力单元体的极限应力的情况。

不妨设1>2>3>0，来研究图示的与主应力1平行的一组平面——I面上的正应力和切应力。I第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介57水利土木工程学院工程力学课程组s3s2Is1由s1和s3可作出应力圆I。

与主应力2平行的一组平面——I面上的正应力和切应力一定与应力圆I相对应。tsIs2s3第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介58水利土木工程学院工程力学课程组s3s1s2由s1和s3可作出应力圆II。tsIs2s3

与主应力2平行的一组平面——II面上的正应力和切应力一定与应力圆II相对应。IIs1第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介59水利土木工程学院工程力学课程组s2s1s3由s1和s2可作出应力圆III。tsIs2s3

与主应力2平行的一组平面——III面上的正应力和切应力一定与应力圆III

相对应。IIs1IIIIII第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介60水利土木工程学院工程力学课程组s1IIIs3IIIs2Ots对于任一点的应力状态，都有。yxz可以证明，右图中任一斜面上的正应力和切应力对应于左图中三个应力圆之间的区域内一点的横坐标和纵坐标。第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介61水利土木工程学院工程力学课程组s1IIIs3IIIs2Ots显然有由图中可以看到与三个应力圆相对应有三个面内最大切应力，其大小分别为max1max2max3这称为一点处的最大切应力。第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介62水利土木工程学院工程力学课程组已知:三向应力状态如图所示，试求：主应力及单元体内的最大切应力。所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即。

【例8-8】【解】单元体上平行于的方向面上的应力值与无关。当确定这一组方向面上的应力及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介63水利土木工程学院工程力学课程组其中x=－20MPa，x=－40MPa，则有xy第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介64水利土木工程学院工程力学课程组xy根据123的排列顺序，可以写出单元体内的最大剪应力

注:本题的关键是把三向应力状态问题简化为平面应力状态问题。第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介65水利土木工程学院工程力学课程组oBAtmax20030050(MPa)

求图示平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力max。AB

【例8-9】【解】1=320MPa，2=180MPa，3=0，max=160MPa100MPa第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介66水利土木工程学院工程力学课程组O300100(MPa)tmaxBAAB

求图示平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力max。

【例8-10】【解】100MPa1=330MPa，2=0，3=-30MPa，max=180MPa第8章应力状态和强度理论＆8.3空间应力状态简介67水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论68水利土木工程学院工程力学课程组＆8.5广义虎克定律11其中为泊松比。1＋xyx1－x对于各向同性材料，3个弹性常数中，只有两个是独立的。第8章应力状态和强度理论横向变形与泊松比在线弹性范围内69水利土木工程学院工程力学课程组三向应力状态的广义虎克定律对于各向同性材料，在线弹性范围内，对图示主应力单元体利用叠加法即可得到在三个方向上的主应变这称为广义虎克定律。对于各向异性材料，应力与应变的关系则要复杂得多。＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论70水利土木工程学院工程力学课程组三向应力状态的广义虎克定律对于一般情况下的单元体，在线弹性范围内，由于切应力不影响正应变，其广义虎克定律只需将上式中的角标1、2、3分别改为x、y、z即可，有yxz表达式中不会出现切应力。＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论71水利土木工程学院工程力学课程组平面应力状态的广义虎克定律yzx在线弹性范围内，对于图示的平面应力状态，其广义虎克定律可表达为＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论72水利土木工程学院工程力学课程组一受扭圆轴,直径d=20mm，材料为钢，泊松比=0.3,E=200GPa。现测得圆轴表面上与轴线成45º方向的应变为=5.2×10-4，试求圆轴所承受的扭矩。

【例8-11】【解】＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论73水利土木工程学院工程力学课程组

边长为20mm的钢立方体置于钢模中，顶面受力F=14kN作用。泊松比=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。

【例8-12】【解】xyz＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论74已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力。水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-13】【解】该点处的平面应力状态，'''=0。'"＆8.5广义虎克定律第8章应力状态和强度理论75水利土木工程学院工程力学课程组第8章应力状态和强度理论＆8.1应力状态的概念＆8.2平面应力状态分析＆8.4广义虎克定律＆8.3空间应力状态简介＆8.5强度理论76水利土木工程学院工程力学课程组＆8.6强度理论轴向拉压和弯曲强度问题中所建立的强度条件，是材料在单向应力状态下不发生失效，并具有一定安全裕度的依据；扭转强度条件则是材料在纯剪应力状态下不发生失效，并具有一定安全裕度的依据。这些强度条件建立了工作应力与极限应力之间的关系。复杂受力时的强度条件，实际上是材料在各种复杂应力状态下不发生失效、并且具有一定的安全裕度的依据，同样是要建立工作应力与极限应力之间的关系。第8章应力状态和强度理论

失效与材料的力学行为密切相关，因此研究失效必须通过实验研究材料的力学行为。77水利土木工程学院工程力学课程组

实验是重要的，但到目前为止，人类所进行的材料力学行为与失效实验是很有限的。从众多的失效现象中寻找失效规律；假设失效的共同原因，从而利用利用有限的实验结果建立多种情形下的失效判据与设计理论，是我们研究的重点。本章主要讨论静载荷作用下的强度失效问题。单向应力状态和纯剪应力状态下的极限应力值，是直接由实验确定的。但是，复杂应力状态下则不能。这是因为：一方面复杂应力状态各式各样，可以说有无穷多种，不可能一一通过实验确定极限应力；另一方面，有些复杂应力状态的实验，在技术上也难以实现。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论78水利土木工程学院工程力学课程组大量的实验结果和工程实例表明，复杂应力状态虽然各式各样，但是材料在复杂应力状态下强度失效的形式却是共同的，而且是有限的。无论应力状态多么复杂，材料在常温静载作用下主要发生两种形式的强度失效：一种是屈服；另一种是断裂。对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包含着共同因素。首先提出关于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说；然后根据这些假说，利用单向拉伸的实验结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据；接着即可通过实践和实验去验证假说的合理程度，最终逐渐形成一套符合实际的理论体系，建立起相应的强度理论。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论79水利土木工程学院工程力学课程组零件或构件在载荷作用下，如果在破坏前会出现明显的塑性变形，就称为屈服失效(failurebyyield)，如低碳钢拉伸或扭转时，屈服阶段的情形。本节将通过对屈服和断裂原因的假说，直接应用单向拉伸的实验结果，建立材料在各种应力状态下的屈服与断裂的强度理论。零件或构件在载荷作用下，几乎没有塑性变形而突然破坏的现象，称为断裂失效(failurebyfracture)，如铸铁被拉断或扭断的情形。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论80水利土木工程学院工程力学课程组

关于断裂的强度理论主要有第一强度理论(最大拉应力理论)与第二强度理论(最大拉应变理论)。由于第二强度理论只与少数材料的实验结果相吻合，工程上已经很少应用。

关于屈服的强度理论主要有第三强度理论(最大切应力理论)和第四强度理论(形状改变比能理论)。其中第三强度理论偏于安全，而第四强度理论更接近实际。关于脆性断裂的强度理论关于塑性屈服的强度理论＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论81水利土木工程学院工程力学课程组

第一强度理论又称为最大拉应力理论(maximumtensilestresscriterion)最早由英国的兰金(Rankine.W.J.M.)提出，他认为引起材料断裂破坏的原因是由于最大正应力达到某个共同的极限值。对于拉、压强度相同的材料，这一理论现在已被修正为最大拉应力理论。

第一强度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于单元体内的最大拉应力达到了某个共同的极限值。第一强度理论(最大拉应力理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论82水利土木工程学院工程力学课程组破坏原因应力状态极限特征值失效判据强度条件123b第一强度理论(最大拉应力理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论83水利土木工程学院工程力学课程组第二强度理论(最大拉应变理论)

第二强度理论又称为最大拉应变理论(maximumtensilestraincriterion)也是关于无裂纹脆性材料构件的断裂失效的理论，又称线性断裂力学理论。

第二强度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于单元体内的最大拉应变达到了某个共同的极限值。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论84水利土木工程学院工程力学课程组破坏原因应力状态极限特征值失效判据强度条件123b第二强度理论(最大拉应变理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论85水利土木工程学院工程力学课程组

第三强度理论又被称为最大剪应力理论(maximumshearingstresscriterion)。实验表明，此理论和材料破坏的结果比较吻合，不但能说明塑性材料的流动破坏，还能说明脆性材料的剪断。

第三强度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于单元体内的最大剪应力达到了某一共同的极限值。第三强度理论(最大切应力理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论86水利土木工程学院工程力学课程组破坏原因应力状态极限特征值失效判据强度条件123s第三强度理论(最大切应力理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论87水利土木工程学院工程力学课程组第四强度理论(形状改变比能理论)

第四强度理论又称为形状改变比能理论(criterionofstrainenergydensitycorrespondingtodistortion)。物体在外力作用下会发生变形，既有体积改变也包括有形状改变。当物体因外力作用而产生弹性变形时，外力在相应的位移上就作了功，同时在物体内部也就积蓄了能量。这种随着弹性体发生变形而积蓄在其内部的能量称为变形能。弹性体的变形能可分解体积改变能和形状改变能。在单位变形体体积内所积蓄的变形能称为形状改变比能。

＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论88水利土木工程学院工程力学课程组第四强度理论(形状改变比能理论)在复杂应力状态下，形状改变比能的计算式为第四强度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服（或剪断），其共同原因都是由于单元体内的形状改变比能达到了某个共同的极限值。其中，为泊松比，E为弹性模量，1、2、3为主应力。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论89水利土木工程学院工程力学课程组破坏原因应力状态极限特征值失效判据强度条件123s第四强度理论(形状改变比能理论)＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论90水利土木工程学院工程力学课程组将强度理论中直接与容许应力[]比较的量，称之为相当应力，用ri表示。(第一强度理论)(第三强度理论)

(第四强度理论)(第二强度理论)关于相当应力及其强度条件显然，它们可以概括为统一的形式：＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论91水利土木工程学院工程力学课程组莫尔强度理论莫尔在1882年、1900年、1905年和1913年先后提出并补充修正了这个强度理论。该理论认为，材料发生屈服或剪切破坏，不仅与该截面上的切应力有关，而且还与其正应力有关，只有当材料的某一截面上的切应力与正应力达到最不利组合时，才会发生屈服或剪断。

＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论92水利土木工程学院工程力学课程组一点处的应力状态可用三向应力圆来表示。最大正应力和最大切应力均发生在外圆上，它决定了该点的极限应力状态。材料破坏时的主应力1、3所作应力圆称为极限应力圆。s1s3s2Otsmax

莫尔认为开始屈服或发生脆断时的应力状态，而不必考虑中间主应力2对材料强度的影响。莫尔强度理论＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论93水利土木工程学院工程力学课程组莫尔强度理论

由实验测得不同应力比率时材料破坏时的极限应力圆，作两条曲线使其与各应力圆相切，即可得到极限应力圆的包络线。一般情况下，不同材料的包络线是不同的，同一材料的包络线是相同的。tsO极限应力圆的包络线莫尔强度理论的失效判据是：任意一点的应力圆若与极限应力圆的包络线相接触，则材料即将屈服或剪断。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论94水利土木工程学院工程力学课程组莫尔强度理论

包络线通常用直线来近似代替，其具体做法是：容许极限曲线tsO[c][t]拉压13以单向拉、压试验分别得到拉压时的两个极限应力值，再除以一定的安全系数后作出两个容许极限应力圆，两圆的公切线称为材料的容许极限曲线。只要应力圆在两条容许极限曲线之间即可认为其工作状态是安全的。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论95水利土木工程学院工程力学课程组莫尔强度理论

对于主应力为1和3的应力圆，设计时只能允许它与容许极限曲线相切。于是容许极限曲线tsO[c][t]拉压13O1O2O3DEGH＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论96水利土木工程学院工程力学课程组莫尔强度理论

将以上各式化简后得到莫尔强度理论的强度条件容许极限曲线tsO[c][t]拉压13O1O2O3DEGH

于是莫尔强度理论的强度条件可写成

莫尔强度理论在处理拉、压强度不等的脆性材料失效问题有其独到的优势，这是其它理论不能替代的。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论97水利土木工程学院工程力学课程组塑性材料：塑性屈服，适合选用第三、第四强度理论。

第三强度理论：可进行安全（偏保守）设计；

第四强度理论：可用于更精确设计，要求对材料强度指标，载荷计算较有把握。常见应力状态下，根据材料的力学性质选用：脆性材料：脆性断裂，适合选用第一、第二强度理论。

第一强度理论：用于拉应力占优的混合型应力状态；

第二强度理论：仅用于石料、混凝土等少数材料；强度理论的合理选用＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论98水利土木工程学院工程力学课程组脆性材料在压缩型或混合型应力状态且压应力占优的情况下，像铸铁、混凝土和石材等脆性材料均具有[c]>[t]的性能，应选择莫尔强度理论。特殊情况下，根据所处失效状态选取：在三向拉伸应力状态下，脆性材料和塑性材料都呈脆断破坏，应选用第一强度理论，失效应力应通过试验获得。在三向压缩应力状态下，塑性材料和脆性材料(如大理石)都呈塑性屈服失效状态，应选用第三、第四强度理论，但此时的失效应力应通过能造成材料屈服的试验获得。强度理论的合理选用＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论99水利土木工程学院工程力学课程组强度理论的合理选用一般情况下，对于轴向拉压、圆轴纯扭转和细长梁的弯曲问题可采用单向应力状态和纯剪切状态时强度条件。在特殊情况或复杂应力状态时才根据要求选择合适的强度理论。在实际工程中，构件的受力情况是多种多样的，强度理论的选用决不能教条地按上述原则进行；而且选用强度理论也不单纯是个力学问题，需要与有关工程技术部门长期积累的经验及根据这些经验制订的一整套计算方法和容许应力值有关。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论100铸铁构件上危险点处的应力状态如图所示。若铸铁拉伸容许拉应力为[t]=30MPa，试校核该点处的强度是否安全。水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-14】【解】231110(MPa)按第一强度理论校核安全。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论101水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-15】【解】确定主应力一钢制构件，容许应力[]=160MPa，危险点处的应力状态如图所示。若已知=116.7MPa，=46.3MPa。试校核其安全性。τσ写出相当应力表达式＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论102水利土木工程学院工程力学课程组τσ校核强度第三强度理论

[]=160MPa，=116.7MPa，=46.3MPa第四强度理论安全。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论103水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-16】【解】一铸铁零件危险点处应力状态用单元体表示如图，试用莫尔理论校核其强度。已知铸铁的容许拉应力t=50MPa，容许压应力c=150MPa。x

=28MPa，y=0，x=–24MPax=24MPax=28MPa计算主应力按莫尔强度条件，得强度满足要求。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论104水利土木工程学院工程力学课程组

【例8-17】【解】一工字钢制成的简支梁，承受载荷如图所示，试选择工字钢型号。已知梁的材料为Q235钢，容许应力为=170MPa，容许切应力为=100MPa。200kN200kNCDAB0.400.402.50单位：mFS图(kN)200200M图(kN·m)80++－作钢梁的内力图，确定危险截面C、D均为危险截面。Mmax=80kN·mFSmax=200kN＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论105水利土木工程学院工程力学课程组【解】按正应力强度条件选择截面选用28a工字钢，其截面的Wz=508cm3。按切应力强度条件进行校核对于28a工字钢截面，查表得122126.32808.513.7

126.3z13.7满足切应力强度条件。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论106水利土木工程学院工程力学课程组【解】122126.32808.513.7

126.3z13.7取K点分析：

腹板与翼缘交界处的的强度校核按第四强度理论来进行强度校核。不满足强度要求，应重新选择工字钢。K＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论107水利土木工程学院工程力学课程组【解】满足强度要求，可选择28b号工字钢。重新选择工字钢124126.328010.513.7

126.3z13.7K若选用28b号工字钢，查表得。按第四强度理论来进行强度校核。＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论108水利土木工程学院工程力学课程组图示矩形截面铸铁梁，受两个力作用。

从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。

定性地绘出A、B、C三点的应力圆。

在各点单元体上，大致画出主平面位置和主应力方向。

试根据第一强度理论，说明梁破坏时裂缝在B、C两点处的走向（画图表示）。

【例8-18】FF＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论109水利土木工程学院工程力学课程组FF【解】＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论110水利土木工程学院工程力学课程组12345F1F2q梁的主应力及主应力迹线梁内一点的应力状态如图所示，其中sxx显然，两个主应力一个为拉应力1，一个为压应力3。主应力为＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论111水利土木工程学院工程力学课程组s1s3–45°12345F1F2qsxxs313s1s3a02s15s1s3a04＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论112水利土木工程学院工程力学课程组s1s3–45°s313s1s3a02s15s1s3a04A1A2D2D1COA2D2D1CA1O2a0D2D1CD1O2a0=–90°D2A1O2a0CD1A2A2D2D1CA1O＆8.6强度理论第8章应力状态和强度理论113q水利土木工程学院工程力学课程组主应力迹线（StressTrajectories)就是主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。1331

图示为简支梁受均布荷载作用时的主应力迹线，实线表示主拉应力迹线，虚线表示主压应力迹线，两组曲线正交。梁的主应力及主应力迹线＆8.6强度理