上海交通大学大学物理A类第四章机械振动课件

振动有各种不同的形式机械振动电磁振动

广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。第4章机械振动

振动分类受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动)无阻尼自由谐振动一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动§4.1简谐振动一、简谐振动

表达式

x(t)=Acos(t+)

特点

(1)等幅振动

(2)周期振动x(t)=x(t+T)(运动学部分)二、描述简谐振动的特征量

1.振幅A2.周期T和频率v=1/T(Hz)3.相位(1)(t

+)是t时刻的相位

(2)是t=0时刻的相位—初相xo振动的圆频率或角频率三、简谐振动的描述方法1.解析法由x=Acos(t+)已知表达式A、T、

已知A、T、

表达式2.曲线法oxmx0=0oA-Atx

=/2T

已知曲线A、T、已知A、T、

曲线3.振幅矢量法t+oxxt=tt=0x=Acos(t+)

四、相位差=(2t+2)-(1

t+1)对两同频率的谐振动=2-1初相差

同相和反相当

=2k,(k=0,1,2,…),

两振动步调相同,称同相·当

=(2k+1),(k=0,1,2,…),

两振动步调相反,称反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相

超前和落后若

=2-1>0,则x2比x1较早达到正最大,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。领先、落后以<的相位角来判断x2TxoA1-A1A2-A2x1t五、简谐振动的速度、加速度1.速度

速度也是简谐振动比x领先/2

x=Acos(t+)2.加速度也是简谐振动

x=Acos(t+)§4.2简谐振动(动力学部分)一、简谐振动的动力学方程2.受力特点:线性恢复力

(F=-kx)1.动力学方程(以水平弹簧振子为例)kxmxo取平衡位置为坐标原点3.固有(圆)频率弹簧振子:固有频率决定于系统内在性质单摆:4.由初始条件求振幅和相位

二、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)1.简谐振动系统的能量特点(1)动能已知

x=Acos(t+)(2)势能情况同动能。(3)机械能简谐振动系统机械能守恒2.由起始能量求振幅xtTEEk(1/2)kA2oEp三、简谐振动的动力学解法1.由分析受力出发(由牛顿定律列方程)2.由分析能量出发(将能量守恒式对t求导)【例】

如图所示，证明比重计的运动为简谐振动。AmAmyyO解：设：比重计截面S

质量－m

液体比重不考虑粘滞力[例题]三根长度均为L=2米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C

点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB

是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动应是一种什么样的运动。框架：谐振动！[例题]质量为M的圆盘悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，一套在弹簧上质量为m的圆环从离盘高h处自由下落，落在盘上后随盘一起作简谐振动，问：环碰到盘后多久到达最低点？

Oxx0

初始条件x0xorcθc式中负号表示重力矩方向恰与角的正方向相反(注明)。令：得：§4.3微振动的简谐近似如图所示，一刚体绕过o的垂直于纸面的轴转动，满足转动定理：由于q很小，略去q

3以上各项，则sinq≈q

解为：相应的角频率：或从机械能守恒：解为：xorcθc两边对时间t求一阶导数：阻力振动机械能振幅产生阻尼的原因：摩擦、空气阻力、辐射……一、阻尼振动的微分方程§4.4阻尼振动受迫振动Fxxo运动方程：物体大致的运动情况：只有弹性力简谐振动加粘滞阻力后振幅逐渐变小，即有衰减如何衰减？考虑以v0运动的物体在只有粘滞阻力作用时的运动情况令：称为阻尼系数即积分得：动能与时间关系：随时间指数减少方程的解：周期：可以设想：阻尼不太大时，物体一方面在弹性力作用下振动，另一方面在粘滞力作用下振幅随时间指数地衰减。待定常量讨论：当（）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限

阻尼较小时（

），振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。阻尼较大时（），质点缓慢回到平衡位置，不作往复运动。阻尼振动曲线txoA0Ttxo临界阻尼过阻尼欠阻尼品质因素Q品质因素反映了在存在阻尼情况下每经过一个周期，振动系统能量损失的大小。定义：在弱阻尼情况下系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。受迫振动：策动力：周期性的外力设：1、受迫振动二、受迫振动共振Fxxo令：稳定振动状态：在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于策动力的频率。结论：从静止开始的受迫振动黑线代表强迫力，蓝线代表从静止开始的受迫振动在稳态时，振动物体的速度其中：2、共振（1）速度共振由：当：得：此时速度与外力同相位，外力始终做正功。vmaxoww0（2）位移共振共振：当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象。由：令：得：oAww0wr阻尼=0阻尼较小阻尼较大

阻尼系数

越小，共振角频率r越接近于系统的固有频率0，同时共振振幅也越大。结论：§4.5振动的合成与分解一、同频率平行简谐振动的合成ox二、不同频率平行简谐振动的合成拍讨论：同相反相夹角

2.合振动但当21时，|2-1|

2+1x=x1+

x21.分振动

x1=Acos1

tx2=Acos2

t其中随t缓变随t

快变合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”合振动不是简谐振动。二、不同频率平行简谐振动的合成拍40xtx2tx1t413.拍拍频:单位时间内强弱变化的次数.合振动的强弱|A(t)|随t变化的现象称为拍(beat)设拍周期为Tb实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。解：[例题]两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为

。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的相位差为多少？x三、同频率垂直简谐振动的合成

y

xo结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨迹一般情况下为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。讨论：(1)斜率:yxo结论：质点作线振动(2)xyo斜率：

左旋yoxPy方向振动超前x方向右旋y方向振动落后x方向四、不同频率垂直简谐振动的合成2.当两振动频率恰成整数比，得封闭稳定轨道称为Lissajou图形看成，但相位差缓慢变化（李萨如图）x、y两垂直方向的简谐振动时，对应不同初相位差的李萨如图形相邻的李萨如图形初相位差为12°相邻的李萨如图形初相位差为12°相邻的李萨如图形初相位差为12°例：xy1.一个周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动五、振动的频谱分析数学基础傅立叶级数

若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为:0,20,30,…(基频,二次谐频,三次谐频,…)xot锯齿波A03050锯齿波频谱图【例】方波【例】锯齿波2.一个非周期性振动可分解为无限xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图o