离散傅里叶变换及其快速算法课件-002

第二章离散傅里叶变换及其快速算法

离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。§2.1离散傅里叶变换（DFT）

为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。§2.1.1离散傅里叶级数（DFS）一个周期为N的周期序列，即

，k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。

周期为N的正弦序列其基频成分为：

K次谐波序列为：

但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即

因此

将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，

利用正弦序列的周期性可求解系数。将上式两边乘以，并对一个周期求和

上式中[]部分显然在0~N-1中只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有

或写为

1)可求N次谐波的系数

2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅立叶级数

3）为周期序列，周期为N。时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列

是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：

习惯上：记，

DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。则DFS变换对可写为DFS[·]——离散傅里叶级数变换IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。DFS的几个主要特性：假设都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：

1）线性

a,b为任意常数

2）序列移位

证因为

及 都是以N为周期的函数，所以有

由于 与 对称的特点，同样可证明时域的移位等于频域乘一个旋转因子,即一个系数;频移也一样,只是相差一个符号

3)共轭对称性

对于复序列其共轭序列满足证:同理:进一步可得共轭偶对称分量共轭奇对称分量4）周期卷积若

则

或

频域乘积,时域卷积

周期卷积两者N必须相同证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即m=0~N-1），称为周期卷积。例：、，周期为N=7,宽度分别为4和3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为N。

由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若则

(时域乘积,那么频域就卷积)§2.1.2离散傅里叶变换（DFT）我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，

为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：

周期序列的主值区间与主值序列：

对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：

数学表示：

RN（n）为矩形序列。符号（（n））N

是余数运算表达式，表示n对N求余数。例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-2对N的余数。因此频域上的主值区间与主值序列：

周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：

再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公：

这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。

长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：

x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。DFT的矩阵方程表示DFT特性：

以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为：

X(k)=DFT[x(n)]Y(k)=DFT[y(n)]

(1)

线性

DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k),a,b为任意常数(2)循环移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：

f(n)=x((n+m))NRN(n)含义：1)x((n+m))N表示x(n)的周期延拓序列的移位：

2)x((n+m))NRN(n)表示对移位的周期序列x((n+m))N

取主值序列,所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f（n）实际上可看作序列x（n）排列在一个N等分圆周上，并向左旋转m位。

循环移位圆周移位移位前左移两位后证：利用周期序列的移位特性：

实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x((n+m))NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。

序列循环移位后的DFT为

F（k）=DFT[f（n）]=x（k）

同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性：

IDFT[X((k+l))NRN(k)]=x（n）（3）循环卷积若F（k）=X（k）Y（k）则或证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得：

则根据DFS的周期卷积公式：因0≤m≤N-1时，x((m))N=x(m)，因此经过简单的换元可证明：这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0≤m≤N-1内进行，所以实际上就是y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积。

1）由有限长序列x(n)、y(n)构造周期序列循环卷积过程:2）计算周期卷积

3）卷积结果取主值同样，若f(n)=x(n)y(n)，则（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用）

实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号x（n）通过系统h（n），其输出就是线性卷积y（n）=x（n）*h（n）。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。现在我们来讨论上述x（n）与h（n）的线性卷积，如果x（n）、h（n）为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。

有限长序列的线性卷积：假定x（n）为有限长序列，长度为N，

y（n）为有限长序列，长度为M，它们的线性卷积f（n）=x（n）*y（n）也应是有限长序列。因

x（m）的非零区间：0≤m≤N-1，

y(n-m)的非零区间：0≤n-m≤M-1，这两个不等式相加，得：0≤n≤N+M-2，在这区间以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一个长度为N+M-1的有限长序列。循环卷积：

重新构造两个有限长序列x（n）、y（n），长度均为

L>max{N,M}，序列x（n）只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列y（n）只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。为了分析x（n）与y（n）的循环卷积，先看x（n），y（n）的周期延拓：

其中f（n）就是线性卷积，也就是说，x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的周期延拓，周期为L。它们的周期卷积序列为：

根据前面的分析，f（n）具有N+M-1个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期L<N+M-1，那么f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有L≥N+M-1时，才不会产生交叠，这时

f（n）的周期延拓中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的L—（N+M-1）点的序列则是补充的零值。循环卷积正是周期卷积取主值序列：

所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是：

L≥N+M-1

比较线性卷积与循环卷积

例:设有两个序列，x（n）为N=4矩形序列，y（n）为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积。由线性卷积定义可直接验证，两者的线性卷积f（n）=x(n)*y(n)具有N+M-1=9个非零值,其结果见下图左半部分(c)，不同L下的圆周卷积结果在图的右半部分。

图线性卷积和循环卷积图中（d）、（e）、（f），反映了不同L下循环卷积与线性卷积之间的关系，图（d）中L=6，产生严重的混淆，致使fl(n)与f（n）已完全不同，图（e）中L=8，这时有两点（n=0，n=8）发生混淆失真，只有图（f）中，满足条件L≥N+M-1=9，循环卷积与线性卷积相同（与图（c）比较）。（5）共轭对称性设x*（n）为x（n）的共轭复数序列，则

DFT[x*（n）]=X*(N-k)证：

DFT[x*(n)]0≤k≤N-1

由于因此，DFT[x*(n)]说明：当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0≤k≤N-1，而X[N]已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即X[N]=X[0]，因此仍采用习惯表示式

DFT[x*（n）]=X*（N-k）以下在所有对称特性讨论中，X[N]均应理解为X[N]=X[0]，同样，x(N)=x(0)。利用循环卷积和共轭对称特性，可证明DFT形式下的Parseval定律：

当y（n）=x（n）时，即为有限长序列的能量：

2.复序列的实部与虚部的DFT变换以xr（n）和xi（n）表示序列x（n）的实部与虚部

即x（n）=xr（n）+jxi（n）

则以

则

以

Xe（k）和X0（K）表示实部与虚部序列的DFT，则

显然，

Xe(k)与Xo(k)对称性：

故因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。

用同样的方法可得到

X0(k)=-X*0(N-k)即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。

对于纯实数序列x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共轭偶对称部分，即X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的X（k），就可得到另一半的X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。

根据x（n）与X（k）的对称性，同样可找到X（k）的实部、虚部与x（n）的共轭偶部与共轭奇部的关系。分别以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部：同样应从圆周意义上理解x（N-0）=x（0）。可证明:DFT[xe（n）]=Re[X（k）]DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]

（6）选频性（对ω0有限制？）对复指数函数进行采样得复序列x（n）

0≤n≤N-1其中q为整数。当ω0=2π/N时，x（n）=ej2πnq/N,其离散傅里叶变换为

写成闭解形式可见，当输入频率为qω0时，变换X（K）的N个值中只有X（q）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。

（7）DFT与Z变换有限长序列可以进行z变换

比较z变换与DFT变换，可见，当z=w-kN时，

即

图DFT与z变换oooooooooooX（ejω）X（k）oRe[z]jIm[z]o变量周期分辨率

是z平面单位圆上幅角为的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。

1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。

2）X（k）也可看作是对序列付氏变换X（ejω）的采样，采样间隔为：ωN=2π/N。即结论：

采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；

DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。

FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。

（8）DFT形式下的Parseval定理

2.2利用DFT做连续信号的频谱分析

利用DFT计算连续信号的频谱采样截短DFT

（1）混迭

对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样

采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs<2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。

(2)泄漏

处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。

例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在Ω0处的一根谱线变成了以Ω0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（Ωs）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即的