数学建模插值方法教学课件

数学建模插值方法服从真理，就能征服一切事物插值与拟合前言函数是多种多样的,在科研与工程实际中有的函数表达式过于复杂而不便于计算,但又需要计算多点的函数值;有的函数甚至给不出数学式子,只能通过实验和测量得到一些离散数据(如某些点的函数值和导数值)。面对这种情况,很自然的一个想法就是构造某个简单的函数作为要考察的函数的近似。如果要求近似函数满足给定的离散数据,则称之为插值函数。实用上,我们常取结构相对比较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。插值部分问题提出设x,x…x为给定的节点,y2=f(x),i=0,1,…n为相应的函数值,求一个次数不超过n的多项式P(x,使其满足P(x)=y,i=0这类问题称为插值问题。f(x)称为被插值函数,P(x)称为插值函数,x,x…x称为插值节点存在性与唯一性定理1设x,x1…x为给定的彼此互异的n+1个插值节点,则存在唯一的次数不超过n的多项式Pn(x),满足条件P(x)=y,i=0,1,n证明设P=a0+ax+a2x2+…anx,其中a,a1,a2,…a为待定系数利用插值条件P(x)=y,我们得到一个线性代数方程组Aa=b,其中Axx:xb观察发现矩阵A是范德蒙矩阵,那么,由几代知识知道矩阵A的行列式为De(A)=∏I(x-x),由定理中条件,插值结点为彼此互异的,那么行列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组Aa=b存在唯一解三、Lagrange插值法(1)Lagrange插值多项式可以表示为P(x)=∑yl(x)l,(x)=(x-x0)…(x-x21)(x-x1)…(x-xn)i=0,1,…n)(x1-x1)…(x1-xn)引入记号On1(x)=(x-x)(x-x1)…(x-xn)易证o21(x)=(x-x)…(x-x1)(x1-x1)…(x1-xn),从而Lagrange插值多项式可表示为P(x)20(x-x)On+(x)(2)插值误差估计定理2设f(x)在(a,b上连续,f(x)在(ab)内存在,节点a≤x<x<…<xn≤b,P(x)是拉格朗日插值多项式,则对任意Wx∈[a,b],插值余项(2)R2(x)=f(x)-P(x)(n+1)!其中∈(a,b)且依赖于x例2求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解:用4次插值多项式对5个点插值(x,y0)=(2,0),(x,y)=(4,3),(x2,y2)=(6,5),410)(x-4(x-6x-8)x-10(x-4)x-6(x-8x-10)(2-4)(2-62-8)2-10)384(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(4-2)4-6(4-8)(4-10)96l2(2)(x-4)(x-8)(x-10)2)x-4)(x-8)x-10)(6-2)6-4)(6-8)(6-10)64()(x-2)(x-4)(x-6(x-10)8-28-48-68-10)0(x-2x-4x-6x-10)(x-2)(x-4)(x-6(x-8)(x-4)(x-6)(x-8)(10-2)10-4)(10-6(10-8)384谢谢46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基

47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代