2023年高考数学第33讲 合情推理与演绎推理

第33讲合情推理与演绎推理

一、知识聚焦

合情推理即根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再经过归纳、类比、然后

提出猜想，合情推理包括归纳推理和类比推理.

演绎推理即从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论.演绎推理是由一般到特殊

的推理.

二、精讲与训练

核心例题1观察下列等式：

i2=i

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

照此规律，第〃个等式可为.

解题策略归纳总结时，观察等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳

出一般结论，弄清行数、项数及其变化规律是解答本题的关键，或者由〃为奇数或偶数两种

情况分类讨论，再加以整合.

解法一:把已知等式与行数对应起来,则每一个等式左边的式子依次是自然数的平方相加减，

个数是«个；等式右边可转化为自然数前〃项和，再依次加上“+、一”符号

行数等式

12=1,112=1

12-22=-3,2F-2?=_(]+2),

12-22+32=6312-22+32=1+2+3

12-22+32-42=-10412-22+32-42=-(1+2+3+4)

12-22+32---+(_1产〃2=*_〃(〃+]).

解法二：分〃为奇数、偶数两种情况：

当〃为偶数时，第〃个等式为02—22)+(32-42)+…+[(〃-1)2-〃2]=

n(n+l)

-2'

当〃为奇数时，第〃个等式为

02_22)+Q2_42)+…+++

综上，第〃个等式为12-22+32-+(_l)f2=(_i严.〃(〃+1).

2

变式训练观察下列等式：

22

11111

[---1-----~-----1----

23434

11111111

1——+---+-----=—+―+——

23456456

据此规律，第〃个等式可为二

核心例题2古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数

1,3,6,10,,第〃个三角形数为彗°=3〃2+3〃.记第〃个左边形数为根〃,6(心3),

以下列出了部分攵边形数中第〃个数的表达式：

1,1

三角形数N(n,3)=-n-+-n.

22

正方形数N(",4)=〃2.

五边形数N(n,5)=-n2--n.

22

六边形数N(n,6)=2n2-n,

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_.

解题策略本题中给出的是一组数，呈现一定的数据规律，采用从特殊到一般的思维

方法，分两步走，第一步，观察N5,3),N5,4),N(n,5),N(〃,6),归纳出N(〃M).第二步，

计算N(10,24),也可以观察探知N(〃,Z)(密3)是等差数列，可设

2

N(n,k)=akn+bkn[n>3).

解法由

N(n,3)=-z?2+—n,N(n,4)=-n2+—n,N(n,5)=—n2H——^〃,N(〃,6)=—n2+—n,

22222222

从而N(〃,24)=ll〃2-10”,N(10,24)=1lxIO?一10x10=1000,

解法二：根据N(〃次)=4〃2+%〃(〃N3).

其中｛%｝是以;为首项，；为公差的等差数列，｛4｝是以g为首项，-g为公差

的等差数列，

1(1AA-k

即4=]+(%—3)[-]J=亍，则旗=T0，

N(〃,24)=11〃2-IO〃(〃3).

当〃=1()时，7V(10,24)=llxl02-10x10=1000,故填1000.

变式训练某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图34-1所示为他们的刺绣中最简单的4个

图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小

正方形的摆放规律相同).设第〃个图形包含/(〃)个小正方形.

<|)(2)(3)(4)

EB34-1

Q)求出/(5)的值；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出/(〃+1)与/(〃)之间的关系式，并根

据你得到的关系式求出/(〃)的表达式；

(3)求----1---------1--------FH-------的表达式.

/(D/(2)-1〃3)—1/(n)-1

核心例题3先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知q，4eR，%+/=1，

证明：a；+…万.

证明：构造函数/(%)=(》-4)2+(工一生)2.

则/(x)=-2(4+凡)x+a；+石=2x2—2x+a；+④.

对一切xeR,恒有/(x)厘),.・・△=4-8(a；+a；)0,从而得a；万.

(l)^a,,a2,,aneR,a,+a2++%=1,请写出上述结论的推广式；

(2)参照上述解法，对你推广的结论加以证明.

解题策略观察〃=2时的不等式的结构特征及它的证明过程，运用类比推广的思想

方法写出相应的一般结论，并运用类似的方法给出证明.

解：⑴若q,4‘「‘a"GR,％+。2++%=1,证明：a；++a：…一.

n

(2)证明：构造函数/(%)=(%—。])2+(》—。2)2+—+(》_%)2

=zix2—2(4+/++a〃)x+a；+Q；++%

=nx^—2x+。[+a]++ci~,

对一切xwR,都有/(%)厘),+城++4)().

从而得。：+++〃；...一.

n

变式训练在计算“Ix2+2x3++〃(〃+1)”，某同学学到了如下一种方法：

先改写攵项，^+1)=|伙(％+1)(左+2)—(攵—1)%(女+1)],

由此得1X2=-X(1X2X3-0X1X2),

2x3=；x(2x3x4-1x2x3),

n{n+1)=g[n(n+l)(n+2)--1)〃(〃+1)].

等式两边分别相力口，得Ix2+2x3+.+〃(〃+1)=；"(〃+1)(〃+2).

类比上述方法，计算"1x2x34-2x3x4++〃(〃+1)(〃+2)”由此得的结果为.

77—I—0

核心例题4数列｛%｝的前〃项和记为S“，已知q=—7—5”(〃6川)，证明：

⑴数列<｝｝是等比数列；

(2)S.+1=4a”.

解题策略在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完

成，“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提一

一所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出判断.第⑴问，由等比数

列的定义及S.与a”的关系进行证明；第(2)问可由第(1)问推出.

演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的主要使命，如果说合情推

理是以感性思维为主，只需有感而发，那么演绎推理则以理性思维为主，要求言必有据.

〃+2

证明：⑴«„=S-S,a=----S,

+|n+inn+lnn

.•.5+2)S“=〃(邑X—)，即3向=2(〃+l)Sn.

VS(S]

.・・心=2x。，故1是以1为首项，2为公比的等比数列.

〃+1nnJ

Ss

(2)由⑴可知T=4x—(N>2),

724-1n-\