47高等代数(北大三版)第五章-矩阵课件

第五章矩阵5.1矩阵的运算

5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块

1宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。

——华罗庚25.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置

二、教学目的

掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点

矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。

35.1.1认识矩阵称为F上

矩阵,简写:

矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵…..,矩阵的应用非常广泛.

设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表

45.1.2矩阵的运算定义1

(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为

定义2（矩阵的加法）给定两个

矩阵

5A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个

矩阵和一个

矩阵6A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?75.1.3矩阵的运算性质

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）(1)加法交换律

(2)加法结合律

(3)零矩阵

(4)负矩阵

(5)数乘结合律

(6)数乘分配律

(7)乘法结合律

(8)乘法分配律

注意:矩阵的乘法不满足交换律,

消去律:也不满足.满足:

的两个矩阵称为可交换的.

89105.1.4方阵的多项式单位矩阵:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为

或单位矩阵也可以记为

.它有如下性质:

方阵A的方幂:

规定:

设多项式那么,在多项式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.115.1.5矩阵的转置

设把矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵

的转置矩阵,

记为

或转置有下面的性质:(9)(10)(11)125.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布

5．2．1可逆矩阵的定义

5．2．2可逆矩阵的性质

5．2．3初等矩阵的定义、性质

5．2．4矩阵可逆的判别

5．2．5逆矩阵的求法

5．2．6矩阵乘积的行列式二、教学目的

1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变

换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点

逆矩阵的求法矩阵可逆的判别135.2.1可逆矩阵的定义定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.例：A与B互为逆矩阵.注1有零行或零列的矩阵不可逆.

145.2.2可逆矩阵的性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。证设B,C均为A的逆矩阵，则

AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C证注意到即得.证注意到即得.④A可逆，则②A可逆，则可逆，且由

有.证③A，B可逆，则AB也可逆，且.155.2.3初等矩阵的定义、性质定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.n=416定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如1、交换A的i，j行相当于用.如2、把A的第i行乘以数k相当于用.3、把A的第j行乘以k后加到第i行相当于用.即.17定理2初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且引理1，则.（初等变换不改变可逆性）.定理3任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为18证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种列变换即可化为195.2.4矩阵可逆的判别n阶矩阵A可逆证明：①A可逆,则可逆，无零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.20②A→I，即I→A即存在初等矩阵使注A可逆,则A可经初等行变换化为I.③由①A→I，④215.2.5逆矩阵的求法①行初等变换法

A可逆，由，即存在初等矩阵，使即例1解：22②公式法设令称

则由行列式的依行依列展开公式23，有24即若A可逆，则|A|≠0，从而即

25例2：

故26例3：求矩阵的逆矩阵.解法一利用公式因为计算每个元素的代数余子式2728所以,29解法二行初等变换法.3031所以32例4解矩阵方程其中解显然A是可逆的.先求出再在原方程两边左乘得33所以注：当n>3时，求的计算量较大，因此公式（*）常用于理论的证明.345.2.6矩阵乘积的行列式引理5.2.6：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵35①若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的形式，同理，可以把化为36继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且定理：设A，B为n阶矩阵，则|AB|=|A||B|证①若A为对角矩阵37②对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化为对角矩阵，即存在初等矩阵使从而38推广相当于对作第三种行初等变换.故定理

A，B为m×n及n×p阶矩阵，则秩（AB）≤秩A，秩（AB）≤秩B.特别当A可逆时，秩（AB）=秩B.39推论：

例5

A可逆，则存在n阶可逆矩阵P，Q，使PAQ=I证：A可逆，则40一、内容分布

5.3.1分块矩阵的概念

5.3.2分块矩阵的运算

5.3.3特殊的分块矩阵二、教学目的

1掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算2掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分块矩阵及相关公式三、重点、难点

利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用分块矩阵解题

5.3分块矩阵41

在行列式中任意取定了行.由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.复习:拉普拉斯(Laplace)定理42一、分块矩阵的概念定义将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵),以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。431.线性运算

（加法与数乘）二.分块矩阵的运算442.乘法运算符合乘法的要求45例1设为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块46这里I是二阶单位矩阵，O是二阶零矩阵.按照分块矩阵的乘法，我们有47这里483.转置运算491.准对角阵则三.特殊的分块阵5051求A的行列式及逆。解

将矩阵分块例2522.分块三角阵证明:53解：将矩阵分块例354解：将矩阵分块例33.分块次对角阵55经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量Study