【2022苏教版数学】《对数函数》优化 省赛获奖

2．3.2对数函数

第二课时学习目标1.初步掌握对数形式的复合函数单调性的判定与证明．2．掌握对数的数值特征．3．掌握对数形式的复合函数的性质及应用．

课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案第二课时课前自主学案温故夯基1．一般地，当a＞0，且a≠1时，函数y＝logax叫做__________函数．2．(1)当a＞1时，函数y＝logax在(－∞，＋∞)上是________；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(－∞，＋∞)上是_________．对数减函数增函数(2)若a＞1，则当x＝1时，y__0；当x＞1时，y____0；当0＜x＜1时，y____0；若0＜a＜1，则当x＝1时，y______0；当x＞1时，y_____0；当0＜x＜1时，y_____0.＝＞＜＝＜＞知新益能1．对数型复合函数的单调性(1)对于形如y＝loga[g(x)](a＞0，且a≠1)的一类函数的单调性，在定义域上，当a＞1时，与函数y＝g(x)的单调性相同，当0＜a＜1时，则相反．(2)判断复合函数的单调性可以借助图象来判断．(3)求复合函数单调区间的步骤：①求定义域；②分解成y＝logau，u＝g(x)两个函数；③求u的单调区间(注意定义域)，并判断y＝logau的单调性；④利用同一区间上“同增异减”得出结论．2．对数型复合函数的定义域、值域由下图可知对数函数y＝logax的定义域为_______________，值域为R，反过来，要使函数y＝logax的值域为R，由下图可知，x必须取遍(0，＋∞)内所有的值(一个也不能少)．(0，＋∞)(1)因此，若y＝loga[φ(x)]的定义域为R，则对于任意实数x恒有φ(x)＞0，特别是当φ(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)时，要使y＝loga[φ(x)]的定义域为R，则有a＞0，且Δ＜0.(2)若已知y＝loga[φ(x)]的值域为R，则φ(x)必须取遍(0，＋∞)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t＝φ(x)而言，必须有t＝φ(x)的值域包含(0，＋∞)(此时y＝loga[φ(x)]的定义域一般包含于t＝φ(x)的定义域之中)．反之，若φ(x)≥m(m＞0)，则当a＞1时，有y＝loga[φ(x)]≥logam；当0＜a＜1时，有y＝loga[φ(x)]≤logam，因此其值域一定不为R.特别地当φ(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，要使y＝loga[φ(x)]的值域为R，则有_______，且______.a＞0Δ≥0课堂互动讲练对数型复合函数的值域考点一考点突破求对数型复合函数的值域，往往要先求定义域，把真数视作某一函数，求值域；再利用对数函数的增减性求出复合函数的值域．例1【思路点拨】先确定真数的取值范围，再运用对数的单调性求解．【名师点评】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值．对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域为{x|x>0}．当对数函数与二次函数或其他函数复合时，在运算中往往忽略真数大于0这一隐含条件，从而造成解题错误．对数型复合函数的单调性考点二例2【思路点拨】先求函数的定义域、然后在定义域内讨论单调区间．【名师点评】函数y＝logaf(x)可看作是y＝logat与t＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a＞1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为增函数，若f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为减函数；当0＜a＜1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为减函数，若t＝f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为增函数．解：由题意得x2－3x－18＞0，解得x＞6或x＜－3.在区间(6，＋∞)内，设任意x1，x2∈(6，＋∞)，且x1＜x2，所以y2－y1＜0，即y2＜y1，所以函数在(6，＋∞)上是减函数．同理可得函数在(－∞，－3)上是增函数．故函数的单调增区间是(－∞，－3)，单调减区间是(6，＋∞)．对数函数性质的综合运用考点三对数函数往往作为考查函数性质的载体，考查函数的性质，在众多函数中，对数函数的结构对函数的性质影响较大，因而解决有关问题时，抓住其特点入手解题是必需要走的解题之路．例3【名师点评】

(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．(2)对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．(3)求函数的单调区间有两种思路：一是易得到的单调区间，可用定义法来求证；二是利用复合函数的单调性求得单调区间．1．与对数函数有关的复合函数的值域：求由对数函数组成的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．2．单调性的应用及有关问题：方法感悟(1)与对数函数有关的复合函数的单调性：解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题时，一是要注意确定函数的定义域；二是看底数是否大于1，当题目中未明确给出时，则应按a