自动控制理论自做第三章

时间响应性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差第三章

线性系统的时域分析时域法是自动控制系统最基本的分析方法,是学习复域法、频域法的基础;时域法可以直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的特点；时域法可以提供系统时间响应的全部信息；时域法是基于解析法求解系统的输出，所以比较烦琐。*章提要3.1

时间响应性能指标3.1.1典型输入信号典型输入信号单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位脉冲信号、单位加速度信号、正弦信号。对应的输出分别被称为单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应。A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为r

(t

)

=

1(t

)

=

01t

<

0t

‡

0sR(s)

=

1一．阶跃函数t

<0A t

‡0r(t)

=0sR(s)

=

Atr(t)AoA=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为t

<0t t

‡0r(t)

=02sR(s)

=

1二．斜坡函数t

<

0At t

‡

0r(t)

=

0s

2AR(s)

=tr(t)oA=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为t

2

0

t

<

0r

(t

)

=

1t

‡

0

231sR(s)

=2

Att

<

0t

‡

00r

(t

)

=2AR(s)

=s3t三．抛物线函数（加速度）r(t)oA=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为¥-¥¥d

(t)dt

=

1r(t)

=

d

(t)

=

0t

<0及t

>0t

=

0R(s)

=1四．脉冲函数er(t)

=

A0

t

<0及t

>e0

£

t

£eR(s)

=

AAtr(t)o五．正弦函数r

(t

)

=

0t

<

0

A

sin

w

t t

‡

0S

2

+

w

2R(s)

=

w

四种典型单位输入信号r(t)r(t)r(t)r(t)r3.1.2

控制系统的时域性能指标时间响应由动态过程、稳态过程两部分组成。动态过程；

（瞬态过程、过渡过程）指系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。稳态过程：当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。性能指标：

包含动态指标和稳态指标准:

(

稳态要求

）稳态输出与给定信号间的误差(稳态误差)要小快:

(

动态要求)

过渡过程要平稳，迅速。说明稳：(

基本要求)

系统响应要收敛；c(t)t0r(t)p–Dty(t)stdrtp01tst稳态误差阶跃响应性能指标动态性能延迟时间td：曲线第一次达

0.5到终值一半所需时间。上升时间tr：从终值10%上升到终值90%所需时间；有振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。峰值时间tp：响应到达第一个峰值所需时间。调节时间ts：到达并保持在终值5％误差带内所需的最短时间超调量s%：最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即c(¥

)稳态性能：由稳态误差ess描述。c(t

)

-

c(¥

)s

%

=

p

·100%c(t)AA

超调量σ%

=

B

100%峰值时间tp

B上升时间trt动态性能指标定义1c(t)调节时间tstc(t)t峰值时间tpAB超调量σ%=BA

100%上升时间tr调节时间ts+0.05-0.05c(t)t上升时间tr调节时间ts动态性能指标定义20.950.05tAB动态性能指标定义3c(t)trtptsBσ%=

A

100%0.053.2

一阶系统的时域分析3.2.1

一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。RC滤波电路由一阶系统，其微分方程为：r(t)c(t)RC式中，c(t)为输出电压，r(t)为输入电压。令T=RC，则一阶系统运动方程为：式中，T为时间常数，r(t)、c(t)分别为系统的输入、输出信号。3.2.1

一阶系统的数学模型R(s)C(s)E(s)-dt微分方程：T

dc(t)+

c(t)

=

r(t)1Ts

+1R(s)Φ(s)

=

C(s)

=R(s)C(s)11

+

Ts结构图(b)jws0P=-1/Ts平面零极点图：若考虑系统的初始条件为零，则一阶系统的传递函数为：具有单位反馈的一阶系统3.2.2一阶系统的单位阶跃响应(无零点)单位阶跃响应T2T3T010.6321

sR

(

s)

=输入1T×

1

=

1

×s

s Ts

+

1Ts

+

1输出

C

(

s

)

=1t

‡

0c(t)

=

1

-

eT-

tT输出响应c(T)=0.632c(∞)c(2T)=0.865c(∞)c(3T)=0.95c(∞)c(4T)=0.982c(∞)由此特点判别系统是否为一阶环节输入信号r(t)=1时，系统的响应c(t)为单位阶跃响应edt

T

TT1dc

(

t

)

1-

1

t|

t

=

0

=

|

t

=

0

=td=0.69Ttr=2.20T；ts=3T单位阶跃响应的初始斜率:0.6320.8650.95

0.982c(t)

初始斜率为1/Tc(t)=1-e-t/T0tT2T3T

4T1一阶系统特点1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0。T-

1

tc(t)

=

1

-

et

‡

0输出响应若系统始终保持初始速度不变，在t=T时输出量即可达到稳定值。然而，曲线的响应速度是单调下降的。性能指标：c(t)=50%，c(t)=10%和c(t)=90%c(t)=95%

(允许误差5%)

(t=3T)2T1T3.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应Tc(0)

=

1T

2c(0)

=

-

1理想脉冲函数无法得到，以b

<0.1T

的脉动函数代替。无零点的一阶系统Φ(s)=1,

T时间常数输入R(s)=1Ts+11Ts

+1输出c(s)=c(t)=T1-e

t

T输出响应3.2.4一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应T0s

2输入R(s)=1位置误差随时间增大,最后为常值TT无零点的一阶系统Φ(s)=1Ts+11

1输出c(s)=Ts

+1

s

2输出响应c(t)=t-T+Te-t/Tdtdc(t)

=

1

-

e-t

T输出速度3.2.5

一阶系统的单位加速度响应跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。1

1Ts

+1

s3输入R(s)

=

1

输出

c(s)

=s32输出响应c(t

)=1

t

2

-Tt

+T

2

(1

-e-t

/T

)1无零点的一阶系统Φ(s)

=

Ts+1线性定常系统的特性单位脉冲信号r(t)

=

d(t)R(s)

=11

-

1

tc(t)

=

e

TT单位阶跃信号r(t)

=1R(s)

=

1s-

1

tc(t)

=1-

e

T单位斜坡信号r(t)

=

tR(s)

=

1s2-

1

tc(t)

=

t

-T

+Te

T单位加速度信号r

(

t

)

=

t

22R(s)

=1

s3c(t)

=

1

t

2

-Tt

+T

2

(1-e-t

T

)2线性系统输入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的微分,系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，这一特性适用于任何阶线性定常连续系统，非线性系统及线性时变系统不具有这种特性。例3.1

如图示,（1）求Kh=0.1时的ts,KhC(s)100/sR(s)

E(s)(-)解题关键：化闭环传递函数为标准形式。与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3

(s),10

10G(s)

100/

sF(s)

==

100=

=

=1+G(s)H(s)

1+(100/

s)Kh

s

+10

1+s

/10

1+Ts（2）要求ts=0.1s,求Kh

.解:(1)100

/

s

1

/Kh=1

+

Kh

100

/

s

1

+

s

/

100

KhF

(s)

=(2)1

0.1=h100K

3Kh

=

0.3要求ts=0.1

(s),

，即3T=0.1

(s),Ts3.3.1

二阶系统的数学模型可以用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。已知RLC电路的微分方程：2d

2c(t)

dc(t)LCdt

dt+

RC

+

c(t)

=

r(t)LCi(t)

Rur(t)uc(t)3.3二阶系统的时域分析为线性二阶微分方程，所以图示为二阶系统。求拉氏变换，得二阶系统的传递函数1R(s)F

(s)

=

C(s)

=LCs2

+

RCs

+121C(s)F

(s)

==R(s)

LCs

+

RCs

+1wn2=s2

+2zwn

s

+wn2F(s)

=

C(s)R(s)LCn1w

=——为自然频率，单位rad/s；2

L典型二阶系统的闭z=R

C

——二阶系统的阻尼比，无纲量。环传递函数标准形式R(s)C(s)(-)w

2ns(s

+2zwn

)2nws(s

+

2zw

)G(s)

=

n

开环传递函数

结构图令闭环传递函数分母多项式为零，得闭环系统的特征方程s2

+

2zw

s

+w

2

=

0n

nn

n1、2s

=

-zw

–

jw

1-z

2z

2

-1nn1、2s

=

-zw

–ws1、2

=–jwns1、2

=-w

n欠阻尼：0<

z<1无阻尼：z=0临界阻尼：z=1过阻尼：z>1闭环系统的特征方程s2

+

2zw

s

+w

2

=

0n

n闭环特征方程根（闭环极点）1、2s

=

-zw

–w

z

2

-1n

n这一节重点是各种输入时，不同特征根的状况，即sR(s)

=

1输入为单位阶跃信号r(t)=121nnn

nw

2nC(s)

=s

+

2zw

s

+w·

=

1

-s

s

s2

+

2zw

s

+w1wn

=

T输出221nnnnzwns

+zwn整理C(s)=-s-2

22

2(s

+zw

)

+

w(s

+zw

)

+

w1-z

1-z

令：

wd

=

wn

1-z

22221zw

ns

+zw

nC(s)

=

-2

-s

(s

+zw

n

)

+wd(s

+zw

n

)

+wdzwzw1-z

2

1-z

2sinw

t

+

arctgw

t

=1-e

sincosw

t

-c(t)

=1-

edd-zw

tdnd-zw

te-zw

ntnn拉氏反变换，输出阶跃响应为1,2nnnd=

-zw–

jw

1-z

2

=

-zw

–

jws

+

2zw

n1.

欠阻尼

(0<

z<

1)

s3.3.２二阶系统的单位阶跃响应1

-

z

2响应曲线如图21

-

zc

(

t

)

=

1

-sin(

w

d

t

+

b

)e

-

zw

n

t(t‡0)结论阶跃响应由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等于1，表明不存在稳态误差，瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由zwn

(即特征根实部zwn

=σ

）决定；w

d为阻尼自然频率,由阻尼比ζ和自然频率wn决定；衰减系数：zwn滞后角

b

=

tg

-1

z无稳态误差。2.

无阻尼

(ζ

=0)(t‡0)c(t)

=

1

-

cos

w

nt输出阶跃响应响应曲线：无阻尼的等幅振荡w

n

自然频率n

nC(s)w

2s2

+

2zw

s

+w

2=

n

传递函数R(s)s1,

2=

–

jw

n一对共轭的纯虚根s1

jws0s2响应曲线：单调上升，无振荡、

无超调、无稳态误差。3.临界阻尼

(ζ=1)R(s)C(s)w

2s2

+

2zw

s

+w

2=

n

系统传递函数输出阶跃响应

c(t)

=1-

e-w

nt

(1+w

t)n(t‡0)n

ns1,2

=-wn一对相等的负实根：jwsS1,20n

nR

(

s

)C

(

s

)w

2s

2

+

2zw

s

+

w

2=

n

响应曲线：单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。4

过阻尼

(ζ

>

1)传递函数nez

21-(z

+

z

2

-1

)w

tz

2

-1

)w

n

te

-(z

--

1

)2

z

2

-

1

(z

++z

2

-

1

)2

z

2

-

1

(z

-1c

(t

)

=

1

-=1+

+T2

/T1

-1

T1

/T2

-1e-t

/

T1

e-t

/

T21,2nns

=

-zw–

w

z

2

-1一对不相等的负实根阶跃响应jws0S2S11w

(z-

z2

-1)nT1

=12w

n

(z+

z

-1)式中T2

=（T1＞T2）响应曲线：振荡发散响应曲线：单调发散n

nR(s)C

(s)w

2s

2

+

2zw

s

+w

2=

n

5.

负阻尼

(ζ

<0)传递函数极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。1,

2nns

=

-zw

–

wz

2

-

1一对共轭复根jws0S1

S2S1S2Φ(s)

=ns2+2ξωns+ω

2n

ω

2-ξωn

ω√n

ξ2

-

1-ξωn

-ωn-ξωn

jωn√1-ξ2jωnt

te

T1

e

T2c(t)=

1

+

T2

+

TT

1

T2

111c(t)=

1

-(1+ωnt)

e-ωntc(t)=

1

-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0c(t)=1

1

e-ξω

tn

sin(ωdt+β)√1-ξ2过阻尼临界阻尼零阻尼欠阻尼（动画）阻尼比决定了系统的振荡特性：z

<0时，响应发散，系统不稳定；z

=0时，等幅振荡；0<z<1时，有振荡，z

愈小，振荡愈严重，但响应愈快，z

≥1时，无振荡、无超调。除不允许产生振荡的系统，通常采用欠阻尼状态，阻尼比选择在0.4~0.8之间，保证系统有好的运动动态。z

一定时，ωn越大，瞬态分量衰减越快，系统能更快达到稳态值，系统的快速性越好。结论3.3.3欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的特征参量z=cosb0s1ωnb-zwns2jwjwdsr阻尼比希望值为（0.4～0.8）动态指标：tr

、tp

、s

p

%、ts1

-

z

2sin(

w

t

+

b

)（1）上升时间t

c(t

)=1

-e

-zw

ntw

=w

1-z2d

nz21-z-1b

=tg因为e

-

zw

n

tr„

01

-

z

2d

rw

t

+b

=kp，有sin(w

d

tr

+b

)=0(k

=0,1,2)即依定义，令c(t)=1，de-zw

ntrc(tr

)

=1-sin(wd

tr

+

b

)

=11-z

2ξ一定时，ωn越大，tr越小ωn一定时，ξ越大，tr越大2dwp

-

b

p

-

cos-1

ztr

==wn

1-z取k=1,得（2）峰值时间tpe-zwntc(t)

=1-sin(wdt

+

b)(t

‡

0)1-z

2ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ξ越大，tp越大。|

=

0t=

t

pdtdc

(

t

)依定义，令上求导式为零。得d

pw

t

=

0,p

,2p...即1-z

2-zw

tnsin(w

dtp

+

b

-

b)

=

0w

en

p所以d

pw

e-zw

ntp

n

„

01-z

2因为有

sin

w

t

=

0pdnwt

=p

=

p

w

1

-

z

2pt

是阻尼振荡周期的一半得0ωnbs1z=cosb-zwns2jwjwdspdnww

1-z2依定义将

t

=

p

=

p

代入上式e-zw

ntc(t)

=1-sin(wdt

+

b)(t

‡

0)1-z

21p2e-pz

/

1-z1-z

2sin(p

+

b)

=1+

e-pz

/(t

‡

0)1-z

2得

c(t

)

=1-2p1-zc(t

)-c(¥)s

%

=·100%

=e-zp

·100%pc(¥)最大超调量百分比为sp

%仅与阻尼比ξ有关。ξ越大，s

p

%越小，系统的平稳性越好.ξ =

0.4~0.8sp

%=25.4%~1.5%。（3）超调量s

p

%（3）调整时间ts单位阶跃响应进入±D误差带的最小时间。依定义c(t)

-

c(¥

)

£

D

·c(¥) (t

‡

ts

)有(t

‡

t

s

)sin(w

d

t

+

b

)

£

D1

-

z

2e

-zw

nt因为

sin(w

d

t

+

b

)

£

1所以22e-zw

nte-zw

ntsin(w

d

t

+

b

)

£1

-

z

1

-

z2£

D

(t

‡

t

s

)1

-

ze

-zw

nt即e-zw

nt(t

‡

0)c(t)

=1-

sin(wdt

+

b

)1-z

2c(t)t011+e-zwnt1-z

21-e-zwnt1-z21zwnT

=包络线s通常用包络线代替实际曲线估算t

，如右图一对包络线包络线1–

=1–D1-z2n

s-zw

tezw

n-

ln

D

-

ln

1-z

2ts

=sntzw=

3.5(D=5%)取z

=0.707得小

结1、二阶系统的动态性能由ωn和z决定。2、增加z降低振荡，减小超调量s

p

%，系统快速性降低，tr、tp增加；3、z一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、s

p

%仅与z有关，而tr、tp、ts与z

、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定z

。z一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。Ks(Tm

s

+

1)R(s)(-)C(s)1-z2s

%

=

e-pz·100%

=16.3%2=

p

=0.73秒w=

pw

n

1

-

Vdptdrwt

=p

-b

=0.486秒snVwt

=

3.5

=1.4秒K=s(Tm

s

+

1)

+

K1

+

G(s)G(s)F

(s)

=解：闭环传递函数为wn2=K/Tm=25有 2zwn=1/Tm=5,得

wn=5,

ζ=0.5例3.4

图中Tm=0.2，K=5，求单位阶跃响应指标。化为标准形式nnm

mK

/

Tw

2s2

+

2zw

s

+

w

2s2

+

s

/

T

+

K

/

TF

(s)

=

m

=

n

K K

/T=Ts2

+

s

+

K s2

+

s

/T

+

K

/T解：(1)

F(s)

=2nK T

=

w1

T

=

2zw

n与典型二阶系统比较，得nw

=

K

T特征参数与实际参数的关系为w

n

=

8z

=

1

2

KTz

=

0.25（2）K=16，T=0.25，得drwt

=

p

-

b

=

0.24(s)tdp=

0.41(s)w=

p-pz

/1-z

2s

p

%

=

e·100%

=

44%snzwt

=

3.5

=1.75(s)(D

=

0.05)将wn

、z

代入动态性能指标公式得例3.5

如图示，（1）求特征参数与实际参数的关系；（2）K=16，T=0.25，计算动态性能指标。C(s)ks(Ts

+1)R(s)-例3.7

系统及阶跃响应曲线如图示,求K1、K2和a。R(s)

k1K2s(s

+

a)C(s)_(a)(b)t(s)C(t)2.1820

0.8c(¥

)

=

lim

sC(s)

=

K1

=

F

(0)c(¥

)

=

22pt

=

0.8(s)

s

%

=

2.18

-

2

=

0.09解：由图(b)得2K1K2s(s2

+

as

+

K

)系统输出

C(s)

=F

(s)

R(s)

=2w

n

=

K22zwn

=

a得K2=24.46

,

a=6.01。sfi

0得K1=2。是闭环传函在,s=0的值，即阶跃响应的稳态输出值由超调量和峰值时间公式得z

==

0.608p

2

+

(lns

)2

p

2

+

(lns

)2(lns

)2

(lns

)2=

0.608

z

=3.3.4

过阻尼二阶系统的动态性能指标上式是一个超越方程,可利用数值解法求不同阻尼比下的无因次时间，制成曲线备用。222221e

-

(

z

+

z

-1

)

w

n

t2e

-

(

z

-

z

-1

)

w

n

t2

z

-

1

(z

++2

z

-

1

(z

-

z

-

1

)1c

(

t

)

=

1

-e-t

/

T1z

-

1

)e-t

/

T2=1+

+(t

‡

0)T2

/

T1

-1

T1

/

T2

-1不允许出现超调量时，可采用过阻尼,当又希望响应速度较快时，可采用临界阻尼系统。过阻尼系统响应无峰值时间tp和s%,仅上升时间tr和调节时间ts有研究意义。过阻尼系统响应j0-

1 T

2-

1T1nw1

+1.5z

+z

2tr

=（1）上升时间tr根据上升时间tr的定义，过阻尼无因次时间w

ntr

,

z的关系曲线如图示，图中曲线用下式近似描述：e-t

T1

e-t

T2已知c(t)

=

1

+

+T2

T1

-1

T1

T2

-1T1/T2取不同值，解出ts/T1与ts/T2n

n

12关系值,绘曲线如图，s

+1

T2

)s

+

2zw

s

+w

2

=

(s

+1

T

)(2

T1

/

T2z

=

1

+

(T1

/

T2

)得z

和T1/T2的关系21T1T

2w

=由于（2）调节时间ts知道T1、T2，查图可求出t值。T1＞4T2时，系统等效为一阶系统，ts=3T，T1/T2=1时，由图得ts

=

4.75T1C(s)Ks(Ts

+1)R(s)-例3.8

如图示,T=0.2(s),要求单位阶跃响应无超调，ts≤2(s)，ts

=

4.75T1

=1.9(s)故w

n

=

K

T

=

5

KK=1.252因为ωn

=1/(T1T2)，z

=

1

，所以T1=T2，得T1=T2=0.4(s)。将T=0.2(s)代入，且z=1，得wn

=2.5K

T+

s

T

+

K

Ts

2F

(

s

)

=求K、tr值。解：取z

=1闭环传函z

=

1

w

n

=

2.5w

n1+1.5z+

z2tr=得将得n代入式

trw=1.4(s)1

+

1.5z

+

z

2= 3.3.5

二阶系统的单位脉冲响应

输入r(t)=δ(t)，R(s)=1，22nnnws2

+

2zw

s

+wR(s)C(s)(-)w

2ns(s

+2zwn

)输出

C(s)

=

F

(s)R(s)

=图示是不同ζ值的一簇单位脉冲响应曲线，横坐标是无因次变量，曲线是ζ的函数。由图，临界阻尼和过阻尼时，c(t)为正值或等于零，过阻尼ndw

ne

sin

w

t-zw

tc(t

)

=1

-

z

2nnwn2

2(e-(z

-

z

-1)wnt

-e-(z

+

z

-1)wnt

)（t≥0）2

z2

-1c(t)

=欠阻尼无无阻阻尼尼：zc=(0t

)

=

w

sin

w

n

t临界阻尼c(t)=w

2te-w

ntt

p

为系统脉冲响应的第一峰值时间；b

a

r

cco

s

zt

p

=

w

=

wd

d为系统脉冲响应第一峰值的幅值；ps-(z

1-z

2

)

arccos

zs

p

=

w

ne从0到

tc

的积分(阴影部分）恰好是单位阶跃响应的最大值；而脉冲响应首次过零时间

t

c

等于阶跃响应的峰值时间。tcC(t)0tptsp欠阻尼脉冲响应性能指标定义及数学表达式dctw=

p

首次过零时间tc

为系统脉冲响应第一次衰减到零的时间；为系统脉冲首响应第一峰值的积分面积。单峰误差积分s

p202ws

'1-z1-z=e

sin

w

t

=1+

ed-zw

t

-pz

/npntc3.3.6

二阶系统的单位斜坡响应2

)2n

nws2

(s2

+

2zw

s

+wC(s)

=

F

(s)R(s)

=

n

输入

R(s)=1/s2，输出过阻尼：z>1nnew

n22222z-(z

+

z

2-1)w

nt2w

z

2

-1-1

e-(z

-

z

2-1)w

nt2z

-1+

2z

z+2w

z

2

-12z

-1-

2z

z

-1c(t)

=

t

-

-（t≥0）临界阻尼：z=12w

n

w

nc(t)

=

t

-

2

+

2

e-w

nt

(1+

w

nt

)（t≥0）无阻尼：z=0nnwc(t)

=

t

-

1

sin(w

t)（t≥0）欠阻尼：0<z<12z1-z

2c(t)

=

t

-

+w

wnne-zw

ntsin(w

d

t

+

2b

)

（t≥0）e

=

r(t)

-

c

=

t

-

c

=

2z稳态误差，ess表示。即

ss

ss

sswnp-b误差响应求导并令为零，得误差峰值时间t

p

=w

d误差的最大偏差为

e(t

)

=

2z

(1

+

1

e-zw

nt

p

)p

w

2zn1

-zw

nt

p误差响应的峰值

em

=

e(t

p

)

-

ess

=

ew

ndnddn

d2z

1w

ww

we

-zw

n

t

sin(we

(t

)

=

r

(t

)

-

c

(t

)

=

t

-

[t

-+

e

-

zw

n

t

sin(w

t

+

2

b

)]=

2z

-

1t

+

2

b

)]（t≥0）欠阻尼稳态输出ssnwc

=

t

-

2

znectt-zw

nt=sin(w

d

t

+

2

b

)w

1

-

z

2欠阻尼瞬态输出欠阻尼误差响应稳态误差及峰值时间，但误差的最大偏离量增大，动态性能恶化。nw

tw

ne(t)z

=1.0z

=

0.5z

=

0.200.4图是不同z

值的无因次误差响应曲线。显然，减小z

值，减小

1.02.0tptp单位斜坡时欠阻尼分析

(0

<

z

<1)nsswe

=2]122nnn-w

tw

t)ewe(t)

=

[1-

(1+（t≥0）稳态误差和误差响应分别为临界阻尼单位斜坡响应nn

nnw

w-w

t21(1

+

w

t)e2

2c(t)

=

t

-

+（t≥0）单位斜坡时临界阻尼分析（

z=1）过阻尼

(z

>1)

情况这里不再讨论。sfi

0由终值定理求得稳态误差ess

=e(¥)=limsE(s)=F

K例3.9

如图，讨论K和F改变对单位斜坡响应稳态误差的影响。画小K值，中等K值和大K值时典型单位斜坡响应曲线。C(s)Ks(s

+

F

)R(s)-E(s)解：闭环传函

F

(

s

)

=

C

(

s

)

=

K

C(s)

=

K

R(s)R

(

s

)

s

2

+

Fs

+

K

s2

+

Fs

+

KR(s)=1/s2

，因此2

2E(s)

=

R(s)

-C(s)

=

s

+

Fs

s

+

Fs

1R(s)

R(s)

s2

+

Fs+

K

E(s)

=

s2

+

Fs+

K

s22)

z

=

F

2w

n

=

F

2

Kw

n

=K

增大K或减小F会使ζ减小，导致最大误差偏离量增大，动态性能变坏。3）K增大一倍，ess

减小到原的一半，而ζ值减小到原来数值的0.707倍，这是因为ζ与K值的平方根成反比；若F值减小到原来数值的一半，ess和ζ分别减小到原来数值的一半。因此增大K值比减小F值较为合适。结论1)增大K或减小F值，可以减小ess单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时，输出速度与输入速度相同，但是输出量与输入量之间存在一个固定的位置误差ess

=

F

K

。三种不同K值的典型单位斜坡响应曲线如图所示。R(t)c(t)t0R(t)c(t)大k中等k小kKF

(s

)=

C

s

)R

(s

)=

s

2

+

Fs

+

K如图，Td为微分时间常数，比例因子是1，E(s)为误差信号。C(s)R(s)Tds+1Go(s)ω2ns(s

+

2zωn

)E(s)(-)U(s)nK

=

w

/

2z开环增益C(s)E(s)w

2(T

s

+1)w

(T

s

+1)K

(T

s

+1)G(s)

==

n

d

=

n

d

=

d

s(s

+

2zw

n

)2z

s(s

/

2zw

n

+1)s(s

/

2zw

n

+1)开环传函22222)nnd

n

nd

n

nn

nC(s)R(s)Tds2ww(Td

s

+1)

·s(s

+

2zw

)w

2

(T

s

+1)=

n

=

n

d

s2

+

2zw

s

+T

w

2

s

+w1+(Td

s

+1)

·

n

s(s

+

2zwn

)w

2

(T

s

+1)

ws

+

z=

n

d

=

n

(z s2

+

2z

w

s

+w

2+

2(z

+

2

)w

s

+w闭环传函F

(s)

=2n+

tw=

z阻尼比增大！z

d增加一个闭环零点-z

=-1

Td3.3.7

二阶系统的性能改善比例—微分控制和测速反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法。（1）比例—微分控制引入比例-微分控制，阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；闭环零点的出现，即加快系统响应速度，

使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了“阻尼”作用。适当选择微分时间常数Ｔd，使系统即有较好的平稳性，又在出现较小超调情况下，提高快速性。不影响系统误差，自然频率不变。特点2212

)2

)

n

d

n

nd

n

nwwC(s)

=F

(s)R(s)

=

n

+s(s2

+

2z

w

s

+wz

(s2

+

2z

w

s

+w输出量拉氏变换：Tdz

=

1d

n

nd

n

nC

(s)R(s)w

2

(1

+

T

s)w

2

(

z

+

s)=

n

d

=

n

s

2

+

2z

w

s

+

w

2z

(s

2

+

2z

w

s

+

w

2

)闭环传函：其中2+y

)1-z

tdnd0

<

z

<

1输出响应为：c(t)=1+re-zdw

nt

sin(wz2

-

2z

w

+

w

2

z

1

-z

2d

n

n

d式中r

=22dy

=

-p

+arctanw[

n

1-zd

(z

-zdwn

)]

+arctan(

1-zd

z

)单位阶跃信号作用下的输出响应C(s)R(s)(-)Tds+1Go(s)ω2ns(s

+

2zωn

)E(s)U(s)·100%1-zd

22

-zd

t

p1-zd

es

%

=

r超调量s%调节时间ts:令D

为实际响应与稳态输出之间的差，则下式成立部分性能指标：2dbd

=arctan(

1-zd

z

)式中2dnw

1

-

zbd

-yt

=对上式求导，令其为零。得

p2t

+y

)c(t)

=1+

re-zdw

nt

sin(w

1-zn

d输出响应峰值时间tp:d

nn

dd

nsz

w2112222z

w

+

w

)

-

ln

z

-

ln(1

-

z

)ln(

z

-

23

+t

=D

=

re

-zd

w

nt

sin(w

1

-

z

2

t

+y

)

£

re

-zd

w

ntn

d取误差带D

=0.05,由上式解得比例微分校正G(s)1.138s

+

2.994=1

+

G(s)

s2

+

1.737s

+

2.994F

(s)

=z

=

0.173s

=

57.6%z

=

0.5

s%

=

16.3%GG((ss))==

5(0.358s

+

1)ss((11.6.677ss++1)1)22t

n

nws

2

+

2z

w

s

+

wF

(s)=

n

闭环传函数wn2z

+

Ktwn开环增益KK

=R(s)Ｅ(s)(-)C(s)ω

2

n

s(s

+

2

ζω

n

)KtS(-)2t

nn=

n

=tK1+

K

s

n

G(s)

=+

K

w

2

)

+1]s[s

/(2zws2

+(2zw

+

K

w

2

)sn

t

nws(s

+

2zw

)w

2

n

s(s

+

2zw

)(2)测速反馈控制图中输出量的速度信号反馈到输入端，与误差信号E(s)比较后，改善系统的动态性能。w

2开环传函t

nt2z

=

z+

1

K

w式中z

t

为阻尼比R(s)C(s)-10s2例3.10分析：1）该系统能否正常工作？2）要求z=0.707，系统如何改进？sR(s)

=

1c(t)

=

1

-

cos

10tw

n

=

10z

=

0.7072zw

n

=

10t102zwt=

n

=

0.444(s)R(s)C(s)-s

210-ts等幅不衰减振荡，工作不正常C(s)

=

10R(s)

s2

+10ts

+10２）增加测速反馈，闭环传函s2

+10C(s)

=

10z=0

无阻尼解1）R(s)取Kt=Td，zd

=zt

。比例—微分控制提供一个实零点，在相同的阻尼比时，超调量大于速度反馈控制。比例—微分控制对输入噪声有放大作用，输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。t

nt2z

=

z

+

1

K

wd

d

n2z

=z

+

1

T

w两种控制系统比较如下:(1)开环增益K，比例—微分控制不改变开环增益K。而测速反馈控制降低了K,导致斜坡输入时的稳态误差增大（2）wn

不变，阻尼比增大z

。分别为3.3.8

初始条件不为零的二阶系统响应二阶系统的微分方程a0c

(t)

+

a1c(t)

+

a2c(t)

=

b2r(t)2则

C(s)

=

w

n

R(s)

+

c(0)(s

+

2zw

n

)

+

c(0)2

2

2

2s

+

2zw

ns

+w

n

s

+

2zw

ns

+w

n初始值不为零•

•c(t)

t=0

=c(0)

c(t)

t

=0

=

c(0)

r(t)

t

=0

=

r(0)求上式的拉氏变换，考虑初始条件.2a0[s

C(s)

-

sc(0)

-

c(0)]

+

a1[C(s)

-

c(0)]

+

a2C(s)

=

b2

R(s)C(s)

=

b2

R(s)

+

a0

c(0)s

+c(0)]+a1c(0)2

2a0s

+a1s

+a2

a0s

+a1s

+a2令

a2

=b2

wn

=

a2

a0

2zw

n

=

a1

a0拉氏反变换

c

(t

)

=

c1

(t

)

+

c2

(t

)零输入响应取

0

<

z

<1

R(s)

=

1

c

(t)

=1-e-xw

nt

1

sin(w

t

+q)s

1

1-x2

dc

(t

)

=

1

e

-

zw

n

t

c

(0)w

+

c

(0)zw

+

c(0)

sin(w

t

+

q

)2

22

w

d

n

dd式中

q

=arctan

c(0)w

dc(0)zwn

+c(0)若ζ=0

c

(t)

=

1

[c(0)w

]2

+[c(0)]2

sin(w

t

+q

)2

w

n

n

1nq

=

arctan

c

(

0

)w

n1

c

(

0

)c1

(t),

c2

(t)有相同的衰减振荡特性零状态响应3.4高阶系统的时域分析重点高阶系统的单位阶跃响应

(

难点)闭环主导极点m

m-1F

(s)

=

M

(s)

=

b0s

+b1s

++bm-1s

+bmD(s)

a

sn

+

a

sn-1

++

a s

+

a

3.4.1

高阶系统的阶跃响应

闭环传函F

(

s)

=

C

(

s)

=

G

(

s)R

(

s) 1

+

G

(

s)

H

(

s)C(s)R(s)

E(s)-G(s）H(s）表示为

(m≤n)0

1

n-1

n分解成因式

m(s

-

zi

)

M

(s)

=

b

sm

+

b

sm-1

+b

s

+

bF

(s)

=

C(s)

=

M

(s)

=

K

i=1

0

1

m-1

mR(s)

D(s)

n

D(s)

=

a

sn

+

asn-1

++

a

s

+

a(s

-

si

)

0

1

n-1

nzi为闭环零点

s

为闭环极点i=1iK=b0

a0

z

i

s

i

是实数或共轭复数mqri=1j=1k

=1(s

-

zi

)•1s(s

-

sj

)(s2

+

2z

w

s

+w

2

)k

k

k输入为单位阶跃函数时，输出为KC(s)

=F

(s)R(s)

=q个实数极点r对共轭复数极点q+2r=

n无重极点，按部分分式展开+rk

k

k

k

qjB s

+

Cs

-

sA

jA+

k

=12ks

2j

=1

0

sC

(

s

)

=+

2z

w

s

+

wnmabA

=

lim

sC

(s)

=s

fi

00Aj

=

lim(s

-

s

j

)C

(s)sfi

s

j、是复数极点kBkCkkk

k1-z2

处有关的常系数s

=-z

w

–

jws3S1,

s2s4,

s5s3s1s2s4s5++rk

k

k

k

k

qjB s

+

Cs

-

sAjAk

=1j

=1

0

sC

(s)

=s

2

+

2z

w

s

+

w

22jk

kqrs

tkkkkCkcos(w-z

w

tj

=1

k

=1k

=1c

(t

)

=

A

+A

e

+

B

e1

-

z

2

)t1

-

z

2

)tw

k

1

-

zk0

j

k单位阶跃响应为(t≥0)衰减系数+

-

Bk

zk

w

k

e

-zk

w

k

t

sin(wr衰减系数衰减系数若闭环极点都位于S平面左侧，t→∞时，指数项和阻尼正弦、余弦项为零，稳态输出为A0

。极点距虚轴的距离越远，曲线衰减越快；

3.4.2

闭环主导极点

闭环主导极点主导系统响应的变化过程；距虚轴较近，周围没有其它极点和零点；其实部值与其它极点的实部相比小五倍以上。1,2=

-zw

–

jw

1-z2n

n(0＜z＜1)设高阶系统的主导极点s输入R

(s)

=

1

输出近似为M(s

s

1

1

M(s)

1

1

M

(s)

1

1)C(s)

= =

+[

]s=s

+[

]s=sD(s)

s

s

D(s)

s s

-

s1

D(s)

s s

-

s21

2D

(

s)

=

dD

(

s)ds1

11M

(s1

)

)M

(s

)dns1

D

(s1

)

s

D

(s

)c(t

)

=

1

+

2e

cos(w

t

+

—-zw

t该式具有二阶系统的响应规律与前述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不完全相同基于一对复数主导极点的高阶系统单位阶跃响应近似表达式拉氏反变换，得考虑了闭环零点和非主导极点的影响

3.4.3

高阶系统性能指标估算

(1)

峰值时间tp:对输出式求导，并令其为零，得w

sin[

w

t

+

—

M

(s1

)

]

=

-zw

cos[

w

t

+

—

M

(

s1

)

]s1

D

(

s1

)

s1

D

(s1

)d

d

p

n

d

p利用闭环主导极点的概念，近似求系统的性能指标。已知c

(t

)

=

1

+

2

M

(

s1

)

e

-zw

n

t

cos(

w

t

+

—

M

(

s1

)

)s1

D

(

s1

)

s1

D

(

s1

)d1121m

nd

p1

i1

im

niidp

p2wi=1i=3i=1i=3求解得

w

t

=

-(-b)-—(s

-

z

)

+(p

-b)

+

+—(s

-s

)=

[p

-—(s

-

z

)

+—(s

-s

)闭环零点使系统响应加快，闭环零点越接近虚轴，这种作用越显著；闭环非主导极点使系统响应变缓；闭环零、极点彼此接近，对系统响应的影响相互抵消；若不存在闭环非主导极点和闭环零点，tp与典型二阶系统的峰值时间相同.pt(2)

超调量s%]·100M

(s1

)s1D

(s1

)s1D

(s1

)s

%

=

2

M

(s1

)

e-zw

n

t

p

cos[w

t

+

—d

p依定义得1M

(s1

)

)M

(s

)dns1

D

(s1

)s1

D

(s1

)c(t

)

=

1

+

2e

cos(

w

t

+

—-zw

t111d

pcos(w

t

+

—

M

(s1

)

)

=

cos(

b

-

p

)

=

w

ds

D

(s

)

2

s所以展开%得1·

100

%n

t

pm

ni

=1

i

=

2nm

i

=1

i

=1

ss1

(

-

z

i

) (

s1

-

s

i

)(

-

s

i

) (

s1