人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算 精讲精练（含解析）

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【考点梳理】

考点一空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

2．长度或模：向量的大小．

3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.

4．几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

考点二空间向量的线性运算

空间向量的线性运算加法a＋b＝＋＝

减法a－b＝－＝

数乘当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0

运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

考点三共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

考点四共面向量

1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

【题型归纳】

题型一：空间向量的有关概念

1．给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体中，必有；

③是向量的必要不充分条件；

④若空间向量满足，则．

其中正确的命题的个数是

A．1B．2

C．3D．0

2．给出下列命题

①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；

③若满足，且同向，则；

④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．

其中正确命题的序号为（）

A．①②③B．⑤C．④⑤D．①⑤

3．下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A．若向量，平行，则，所在直线平行

B．若，则，的长度相等而方向相同或相反

C．若向量，满足，则

D．相等向量其方向必相同

题型二：空间向量的线性运算（加减法）

4．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（）

A．B．C．D．

5．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（）

A．B．C．D．

6．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（）

A．-B．-C．-D．-

题型三：空间两个向量共线的有关问题

7．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）.

A．ABDB．ABCC．BCDD．ACD

8．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（）

A．.充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

9．下列命题中正确的是（）.

A．若与共线，与共线，则与共线.

B．向量，，共面，即它们所在的直线共面

C．若两个非零空间向量与满足，则

D．若，则存在唯一的实数，使

题型四：空间共面向量定理

10．已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（）

A．B．

C．D．

11．下列结论错误的是（）.

A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

C．若是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底

D．若不能构成空间的一个基底，则四点共面

12．在下列结论中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得

．其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【双基达标】

一、单选题

13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：

①；②；

③；④.

其中运算的结果为向量的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

14．①若ABCD是空间任意四点，则有；

②是共线的充要条件；

③若共线，则与所在直线平行；

④对空间任意一点O与不共线的三点ABC，若（其中xyz∈R），则PABC四点共面.

其中不正确命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

15．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（）

A．P∈直线AB

B．P直线AB

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

D．以上都不对

16．在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（）

A．B．C．D．

17．如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（）

A．B．

C．D．

18．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）

A．B．

C．D．

19．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（）

A．B．

C．D．

20．下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量，满足，且与同向，则；

③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；

④的充要条件是A与C重合，B与D重合.

其中错误的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

21．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（）

A．B．

C．D．

22．如图，在平行六面体中，，，点在上，且，则（）．

A．B．

C．D．

【高分突破】

一：单选题

23．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）

A．1B．C．D．2

24．已知正方体中，，若，则（）

A．，B．，y=1

C．，D．，

25．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则

A．B．

C．D．

26．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（）

A．B．C．D．

27．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值分别为（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

28．已知点P为三棱O-ABC的底面ABC所在平面内的一点，且，则的值可能为（）

A．B．

C．D．

29．如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（）

A．B．

C．D．

30．空间、、、四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为

A．B．C．D．

31．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A．B．C．D．

32．如图，在空间四边形中，，，．点在上，且，是的中点，则=（）

A．B．

C．D．

二、多选题

33．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（）

A．B．

C．D．

34．已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（）

A．与是一对相反向量

B．与是一对相反向量

C．与是一对相反向量

D．与是一对相反向量

35．如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有

A．B．

C．D．

36．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）

A．B．

C．D．

三、填空题

37．如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是___________.

38．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．

39．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________.

40．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为_______．

41．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．

四、解答题

42．在空间四边形ABCD中，连结ACBD，的重心为G，化简.

43．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

44．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.

45．如图，已知为空间的9个点，且，，求证：

（1）四点共面，四点共面；

（2）；

（3）.

【答案详解】

1．B

【详解】

有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．

2．B

【详解】

对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；

对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；

对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；

对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；

对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．

综上，正确的命题只有⑤，

故选：.

3．D

【详解】

A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合；

B中，只能说明，的长度相等而方向不确定；

C中，向量作为矢量不能比较大小；

D中，由相等向量的定义知：方向必相同；

故选：D.

4．D

【详解】

因为点，分别是面对角线与的中点，，，，

所以

故选:D.

5．A

【详解】

空间四边形各边及对角线长均为，

所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，

因为，，分别是，，的中点，

所以，，

，

，所以

.

故选：A.

6．B

解：因为，所以,

为的中点，则，

.

故选：B.

7．A

【详解】

因为，所以，又有公共点，所以ABD三点共线，故选项A正确；

显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；

显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；

因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误.

故选：A.

8．B

【详解】

由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；

由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，

综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.

故选：B.

9．C

A中，若，则与不一定共线；

B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；

C中，∵，∴，∴与共线，故正确；

D中，若，，则不存在，使.

故选：C

10．B

【详解】

若，且，

则，则，

即，所以，点、、、共面.

对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；

对于B选项，，B选项中的点、、、共面；

对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；

对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.

故选：B.

11．C

【详解】

A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；

B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；

C选项，∵满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，

D选项，因为共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，

故选C.

12．A

【详解】

平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．

两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．

根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．

故选:A．

13．D

【详解】

①：，故①正确；

②：，故②正确；

③：，故③正确；

④：，故④正确.

所以4个式子的运算结果都是，

故选：D.

14．C

【详解】

①中四点恰好围成一封闭图形，正确；

②中当同向时，应有，故错误；

③中所在直线可能重合，故错误；

④中需满足，才有PABC四点共面，故错误.

故选：C

15．A

【详解】

因为m＋n＝1，所以m＝1－n，

所以＝(1－n)·＋n，

即＝n()，

即，所以与共线．

又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.

故选：A

16．D

【详解】

如下图，由正方体性质知：面面，要使面面，

∴在面上，即共面，又，，

∴，可得.

故选：D

17．D

【详解】

由题意：

故选：D.

18．A

【详解】

在四面体中，，分别是，的中点，

故选：A．

19．C

【详解】

由向量的运算法则，可得.

故选：C.

20．C

【详解】

①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确.，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.

④错误.由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.

故选：C

21．A

【详解】

.

故选：A

22．B

【详解】

因为，可得，

根据空间向量的运算法则，可得

，

又由，，，

所以.

故选：B.

23．B

【详解】

因为，

所以，所以，所以，

解得，所以，

故选：B.

24．D

【详解】

由空间向量的运算法则，可得，

因为，所以.

故选：D.

25．A

【详解】

解：因为M在AC上，且，N在上，且，

所以，，

在平行六面体中，，，，

所以，，

所以

，

故选：A．

26．A

因为M，A，B，C共面，则，得.

故选：A

【点睛】

本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.

27．D

【详解】

如图，在正方体中，，

，

，

所以

,

所以，，

故选：D

28．C

【详解】

，且P，A，B，C共面，

，

只有符合，

故选：C.

29．A

【详解】

因为，如图，

依题意，有

．

故选：A

30．C

【详解】

因为空间、、、四点共面，但任意三点不共线，

则，

又点为该平面外一点，则

，

所以，

又，

由平面向量的基本定理得：，即，

故选：C．

31．A

如图，

由空间向量的线性运算可得：

，

，

故选：A

32．B

【详解】

由题，在空间四边形，，，．

点在上，且，是的中点，则．

所以

故选：B

【点睛】

本