ch06-数值积分教学课件

ch06数值积分46、法律有权打破平静。——马·格林47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。——英国48、法律一多，公正就少。——托·富勒49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。——达雷尔50、弱者比强者更能得到法律的保护。——威·厄尔ch06数值积分ch06数值积分46、法律有权打破平静。——马·格林47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。——英国48、法律一多，公正就少。——托·富勒49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。——达雷尔50、弱者比强者更能得到法律的保护。——威·厄尔第6章数值积分引入Newton-Cotes积分公式变步长积分与Romberg求积公式Gauss求积公式数值微分2。数值积分定积分的极限定义：设想：能否不求f(x)的原函数，利用(1)去掉极限，并将ξk取为具体的xk数值积分公式In(f)：定义：是离散点处函数值的线性组合，即：Ak：求积系数，与f(x)的形式无关，只与积分区间、积分节点有关==>避免求f(x)的原函数Xk：求积节点求积余项（截断误差）：问题：如何评价一个求积公式的精度？如何确定求积系数Ak，使In(f)精度越高？若xk可任意选择，取什么点好？3。常见的几种求积公式中距公式：几何意义梯形公式：几何意义：Simpson公式：如何评价上述求积公式的优劣？（例6-1:p189)4。代数精度定义：若对所有不超过m次的多项式均精确成立，对至少一个m+1次多项式不精确成立，则称此求积公式：In(f)（数值积分）具有m次代数精度。即In(f)对不高于m次的多项式f(x)无误差代数精度越高，求积公式越好此定义验证麻烦定理：求积公式具有m次代数精度的充要条件是：公式对f(x)=xi(i=0,1,2,…,m)精确成立，对f(x)=xi+1不精确成立故有以下结论：此方程组为范德蒙行列式，故方程组有且仅有一解向量，解之即可确定求积公式例1：考查：的代数精度例2：确定求积公式的系数Ai使之具有最高的代数精度思考：试确定一个至少具有2次代数精度的求积公式：积分公式的代数精度与积分节点个数的关系n+1个互异的积分节点xk，k=0,1,…,n，则存在求积系数Ak，使得求积公式具有至少n次代数精度证明过程同于：前面充要条件的证明6.2Newton-Cotes公式思想插值型求积公式的代数精度与截断误差Newton-Cotes公式（等距节点的求积公式）截断误差1。思想已知一组节点：a≤x0≤x1≤…≤xn≤b,及函数值f(x0),f(x1)…f(xn)构造求积公式的思想：用被积函数f(x)的Lagrange插值函数Ln(x)逼近f(x),作定积分近似f(x)的定积分。因：故：求积系数：则数值积分公式为：2。插值型求积公式的代数精度与截断误差1）截断误差：2）代数精度：∵：f(x)为任意次数小于等于n的多项式时，f(n+1)(x)=0∴：R(f)＝0，即In(f)=I(f)，求积公式精确成立∴：插值型求积公式至少具有n次代数精度若至少具有n次代数精度，则上式对任意n次多项式精确成立而是n次多项式故：所以：此即插值型求积公式定理：插值求积公式的代数精度：求积公式：至少具有n次代数精度的充要条件是该公式是插值型的，即：例题：p194:6-4~6-6例2：在区间[-h,h]上取节点-α,0,α，确定α及求积系数，构造代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。3。等距节点的求积公式(Newton-Cotes公式）1）构造：当a=x0≤x1≤…≤xn=b是区间[a,b]上的n等分点，插值求积公式：且：可做如下化简故：Cotes系数：C(n,k)故积分公式为：为n阶Newton-Cotes公式等距节点的插值求积公式注：Cotes系数不仅与f(x)无关，也与求积节点及积分区间[a,b]无关，只与节点个数有关。故可先计算出Cotes系数，存放在Cotes系数表中，以备用Cotes系数表n

C0

C1

C2C3

C4

C5

C6

C7

C811/21/2

21/64/61/6

31/83/83/81/8

47/9016/452/1516/457/90

519/28825/9625/14425/14425/9619/288

641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840

7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/17280

8989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/28350

Cotes系数的性质：Cotes系数之和＝1，即：∑C(n,k)=1对称性：C(n,k)=C(n,n-k)k=0,1,…,n当n>＝8时，误差较大，故Cotes公式只用于n值较小的求积公式2）Newton-Cotes求积公式的代数精度：Newton-Cotes公式的代数精度至少为n次（插值型），且当n为偶数时，公式的代数精度为n+13）几种低阶的Newton-Cotes公式：N=1时（梯形公式）N=2时，（抛物公式）Simpson公式N=4时，Cotes公式，（将[a,b]4等分，x0=a,x1=(b-a)/4,x3=a+3(b-a)/4,x4=b)4。截断误差梯形公式的截断误差：Simpson公式的截断误差Cotes公式的截断误差结论：梯形公式、Simpson公式、4阶Cotes公式的截断误差分别与区间长度的3、5、7次方成正比，故随着积分区间长度的扩大，误差将会增大如何解决？6.2.5复化求积公式复化积分的思想复化中距求积公式复化梯形求积公式复化Simpson公式1。复化积分的思想：T(f)、S(f)、C(f)的截断误差分析知：求积区间[a,b]越小，误差越小，区间越大，则误差越大增加插值多项式次数（n>8)时Cotes系数开始开始出现负数，可以证明Ln(f)f(x)误差增大，相应的积分误差也大问题：如何提高积分精度？？采用分段、低阶插值积分法解决：把积分区间分成若干小区间，在各小区间上采用低阶求积公式，利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式对小区间的积分采用：T(f)、S(f)、C(f)，再累加2。复化梯形公式方法：将积分区间n等分，每等分区间长度为：h=(b-a)/n在每个等分区间[xi－1,xi]上，采用梯形公式求小区间的数值积分累加：x0x1x2x3……xn复化梯形公式的误差每个子区间上的误差：整个区间上的误差：若f(x)的二阶导数连续，则例题：用n=6的复化梯形公式计算积分

44.24.44.64.855.21.8276554。复化Simpson公式方法：将积分区间n等分，记子区间[xk，xk+1]的中点为：xk+1/2在该子区间[xk，xk+1]上采用Simpson积分：将各子区间的Simpson积分累加复化Simpson公式的误差例题：用的复化梯形公式计算积分，使绝对误差小于10–6。解：得：n=6，故用n=6等分的复化Simpson积分解不等式5.复化Cotes公式积分区间n等分后，再将第k个子区间[xk,xk+1]4等分，该内分点分别为：，并对该子区间采用Cotes积分，则可推导出复化Cotes公式：例6-116-12例：用复化梯形公式、复化Simpson公式计算复化变步长梯形积分复化变步长梯形积分公式：若将区间n等分达不到精度要求，则可将每个子区间再2等分，即整个区间2n等分，也即补上原来各子区间的中点处的函数值，故有：二分后新增节点变步长Simpson积分当积分精度达不到要求时，可将各子区间再次2分为方便计算再次2分后的复化Simpson积分，先考查Simpson公式与梯形公式的递推关系同理可得复化Cotes公式与复化Simpson公式的关系如下：6.4变步长积分与Romber公式变步长复化积分的原理：计算定积分时，先确定初始步长h，按某种复化求积公式进行计算，如为达到精度要求则将步长折半，再次积分，反复进行至达到精度要求为止步长折半前后两次积分具有递推关系：复化Simpson公式可由T形公式二分前后两次的结果Tn、T2n线性表出复化Cotes公式也可有Simpson公式再次二分前后两次的结果S2n,S4n线性表出问题：区间4n等分得到的复化Cotes公式仍然达不到精度要求，则需将区间8n等分，则Cotes公式二分前后两次的结果又可表示成什么呢？重复前面的推导过程（外推法）,可得：此即Romberg公式Romberg公式是变步长T形公式3次外推的结果（3次2分）Romberg公式计算定积分的方法：将T形序列加工成Romberg序列Rn,以加快收敛速度若|R16-R8|<ε,则R16即为所求，否则继续求R32区间等分数TSCR1T12T2S24T4S4C48T8S8C8R816T16S16C16R1632T32S32C32R3264T64S64C64R64示例：用Romberg积分法计算，要求精度为0.5*10-6例2：已知函数的数据表为：分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算的近似值xkƒ(xk)xkƒ(xk)xkƒ(xk)013/80.97672673/40.90885171/80.99739781/20.95885117/80.87719261/40.98961585/80.936155610.84147106.5Gauss求积公式补充：数值微分：定义：根据函数在一些离散点上的函数值推算它在某点处导数的近似值的方法为数值微分为何要引入数值微分？fˊ(x)的表达式比f(x)复杂得多；f(x)仅以列表形式给出，无法直接求导。1。差商求微分由Taylor展开式可得前向差商和导数的关系由Taylor展开式