高考文科立体几何证明专题

高考文科立体几何证明专题

立体几何专题在等边三角形ABC中，点D和E分别位于AB和AC上，且AD=AE。点F是BC的中点，AF与DE相交于点G。将三角形ABF沿着AF折叠，得到三棱锥ABC-F，其中BC=1/2。证明：(1)因为AD=AE，所以三角形ADE是等边三角形。在折叠后的三棱锥ABC-F中，DE与BC平行，DE垂直于AF，因此DE也与平面BCF平行。(2)因为F是BC的中点，所以AF垂直于BC。又因为BC=1/2，所以BF=CF=1/2。根据勾股定理，有BC^2=BF^2+CF^2，所以BF和CF垂直。因此CF垂直于平面ABF。(3)根据(1)和(2)，得到GE垂直于平面DFG。因此，三棱锥F-DEG和三棱锥E-DFG体积相等。根据勾股定理，有DG^2=AD^2-AF^2=3/4，GF^2=AF^2-BF^2=1/16。因此，三棱锥F-DEG的体积为1/3×(1/2)×(3/4)×(1/2)×(1/4)=1/96。在四棱锥P-ABCD中，AB垂直于平面PAD和平面ABCD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF=1/2AB，PH是三角形PAD中AD边上的高。(1)证明：PH垂直于平面ABCD。因为PH是三角形PAD中的高，所以PH垂直于AD。又因为AB垂直于平面PAD和平面ABCD，所以PH也垂直于AB。因此，PH垂直于平面ABCD。(2)若PH=1，AD=2，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积。连接B到CD的垂线，垂足为G。连接HB，取HB的中点为M，连接EM。则EM是三角形BPH的中线，且PH=1，所以EM=1/2。因此，三棱锥E-BCF的底面积为1/2×1=1/2，高为EM=1/2。因此，三棱锥E-BCF的体积为1/3×1/2×1/2=1/12。(3)证明：EF垂直于平面PAB。取AB的中点为N，PA的中点为Q，连接EN、FN、EQ、DQ。因为E和F分别是PB的中点和DC上的点，所以EF平行于平面PAB。因此，EF垂直于EF的投影线段，即垂足在平面PAB上。又因为EF在平面BCD上，所以垂足在平面PAB和平面BCD的交线上。因此，EF垂直于平面PAB。1.已知平面PAD和线段PA垂直，四边形NADF是距形，且EN是三角形PAB的中位线，求证DM平行于平面APC，平面ABC垂直于平面APC，以及三棱锥DBCM的体积为80。2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD对角线的交点，求证CO1平行于面ABD1，AC垂直于面ABD1，以及平面ABD1垂直于平面MB1D。3.在矩形ABCD所在的平面上，PA垂直于该平面，AD=PA=2，CD=22，E和F分别是AB和PD的中点，求证AF平行于平面PCE，平面PCE垂直于平面PCD，以及四面体PEFC的体积为16/3。4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1垂直于平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点，求证平面PCC1垂直于平面MNQ，以及PC1平行于平面MNQ。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E和F分别是DD1和DB的中点，求证EF平行于平面ABCD，以及EF垂直于B1C。6.在简单集合体中，底面ABCD为正方形，PD垂直于平面ABCD，PEC平行于PD且PD=AD=2EC=2，求出该几何体的三视图，以及四棱锥B-CEPD的体积和BE平行于平面PDA的证明。7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD垂直于平面ABCD，PD=AB=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，求证GC垂直于面EFP。2、根据已知条件，三角形ABP中，MD是中位线，因此MD平行于AP。同时，根据题意可知MD与面APC平行，因此MD也平行于面APC。在三角形PMB中，由于PMB是正三角形，因此D是PB的中点，因此MD垂直于PB。又因为AP与PB相交于P点，而AP垂直于PC，因此AP也垂直于PB。又因为AP垂直于PC，PB与PC交于P点，因此AP垂直于面PBC。由于BC与AC垂直，且AC与AP相交于A点，因此BC垂直于面APC。又因为BC与AB相交于B点，AB与AP相交于P点，因此BC垂直于面ABC。由此可知，平面ABC垂直于平面APC。由于MD垂直于面PBC，因此MD是三棱锥M-DBC的高，并且MD的长度为53。在直角三角形PCB中，由于PB=10，BC=4，因此PC的长度为21。因此，三角形BCP的面积为221。由此可得，三棱锥M-DBC和三棱锥D-BCM的体积相等，均为1/3*221*53=3739。4、首先连接A1C1，设其交于BD于O1点。由于ACCB1是平行四边形，因此A1C1也平行于B1C。又因为O是AC的中点，O1是A1C1的中点，因此OO1平行于AC和A1C1，因此OO1C1A1是平行四边形，也就是说，O1C1和OA1在平面ABD1上。由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，因此A1C1=AC。又因为O是AC的中点，O1是A1C1的中点，因此O1C1=OA1=1/2*AC。因此，平行四边形C1OA1O1是一个菱形，其对角线O1C1和OA1在平面ABD1上，因此O1C1垂直于平面ABD1，即O1C1垂直于B1D1。同理，也可以证明C1C垂直于B1D1。由于A1C1垂直于B1D1，因此A1C1是B1D1的高。设B1D1的中点为N，则AN垂直于B1D1，MN垂直于B1D1，因此MN=3，AN=6，AM=3。因此，三角形AMN是一个直角三角形，且AN是斜边。因为MN垂直于AN，因此MN垂直于面MB1D1，即MN垂直于面ABD1。因此，面ABD1垂直于面MB1D1。证明：首先证明二面角是直二面角。根据定义，二面角是由两个平面所围成的角，如果这两个平面互相垂直，则二面角为直二面角。因此，我们可以通过证明这两个平面互相垂直来证明二面角是直二面角。接下来，我们需要证明GF和CD平行。由于F是PD的中点，E是AB的中点，因此有FG=11/2CD，AE=1/2CD，因此可以得出FGAE，进而推出AF∥GE。由于GE在平面PEC内，因此可以得出AF∥平面PCE。接着，我们需要证明GE⊥平面PCD。由于PD∩CD=D，因此可以得出AF⊥平面PCD，进而推出GE⊥平面PCD。由此，我们可以得出GE为四面体PEFC的高，并且GF⊥PD，因此可以得出GF⊥CD。综上所述，GF和CD平行。最后，我们需要计算四面体PEFC的体积。根据公式，可以得出S△PCF=1/2PD·GF=2，EG=AF=2，因此四面体PEFC的体积V=1/3S△PCF·EG=2/3。7、证明：首先连接BD1，然后设E、F分别为DD1、DB的中点。由于F是PD的中点，E是AB的中点，因此可以得出EF//BD1。又因为BD1⊂平面ABC1D1，EF⊥BD1，因此可以得出EF⊋平面ABC1D1。接着，我们需要证明EF⊋平面ABC1D1。由于MN∥AB，CC1∥AA1，AA1⊥平面ABC，因此可以得出CC1⊥平面ABC。又因为CC1∩PC=C，因此可以得出AB⊥平面PCC1。由题意可知MN∥AB，因此可以得出MN⊥平面PCC1。由此，我们可以得出平面PCC1⊥平面MNQ。接着，我们需要证明PC1⊥平面MNQ。由于BC1∥NQ，AB∥MN，因此可以得出平面ABC1⊥平面MNQ。又因为PC1在平面ABC1内，因此可以得出PC1⊥平面MNQ。综上所述，可以得出PC1⊥平面MNQ，即EF⊋平面ABC1D1。在正方体ABCD-A中，如果AB垂直于平面BCCB，则AB垂直于正方形BCCB。由于BCCB是正方形，所以BC垂直于B1C1，AB和BC都在平面ABC中，因此B1C1垂直于平面ABC。又因为BD在平面ABC中，所以B1C1垂直于BD。因为EF平行于BD，所以B1C1垂直于EF，也就是B1C1和EF垂直。对于该组合体，主视图和侧视图如右图所示。由于PD垂直于平面ABCD，PD在平面PDCE中，因此平面PDCE垂直于平面ABCD。由于BC垂直于CD，所以BC垂直于平面PDCE。因为S梯形PDCE=(PD+EC)×DC×(1/2)×(3/2)=3/2，所以四棱锥B-CEPD的体积V(B-CEPD)=S梯形PDCE×BC×(1/3)=(3/2)×2×(1/3)=1。证明：由于EC平行于PD，PD垂直于平面PDA，因此EC垂直于平面PDA。同理可得BC垂直于平面PDA。由于EC在平面EBC中，BC在平面EBC中，且ECBC=C，所以平面BEC垂直于平