人教B版（2023）选修一2.6.1双曲线的标准方程（含解析）

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（共19题）

一、选择题（共11题）

已知双曲线：，则“”是“双曲线的焦点在轴上”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，为异于，的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，，则的值为

A．B．C．D．

设是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则等于

A．B．C．D．

双曲线的左焦点的坐标为

A．B．C．D．

已知点的坐标满足，则动点的轨迹是

A．椭圆B．双曲线C．两条射线D．双曲线的一支

若，则是方程表示双曲线的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为．则的周长为

A．B．C．D．

已知点，，为函数图象上的一点，则的最小值为

A．B．C．D．不存在

若，则这个曲线是

A．双曲线，焦点在轴上B．双曲线，焦点在轴上

C．椭圆，焦点在轴上D．椭圆，焦点在轴上

已知为双曲线上一点，，为双曲线的左、右焦点，若，且直线与以的实轴为直径的圆相切，则的渐近线方程为

A．B．C．D．

已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上一点使得，则的面积为

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则该双曲线的标准方程为．

已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点，使，则的值为．

若定点，且，动点满足，则的最小值是．

已知双曲线的左、右焦点分别是，，其一条渐近线方程为，点在双曲线上．则．

已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为．

三、解答题（共3题）

平面内动点与两个定点，（）的距离之差的绝对值为常数（），则点的轨迹是双曲线吗？

求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，的双曲线的标准方程．

已知点，是平面直角坐标系中的两点，动点满足．

(1)求点的轨迹方程；

(2)若，求点的坐标．

答案

一、选择题（共11题）

1.【答案】A

【解析】无论和的大小关系如何，双曲线：的焦点都在轴上．当时，显然可以得到双曲线的焦点在轴上，充分性成立．而当双曲线的焦点在轴上时，得不到，必要性不成立．故为充分不必要条件．

2.【答案】D

【解析】由双曲线方程可知．

设与双曲线的交点为点，则为的中点，

由几何关系结合三角形中位线定理可得，，则，

又点在双曲线的左支上，

所以．

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

【解析】设，，则由已知得，即动点到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数，又，且，所以根据双曲线的定义知，动点的轨迹是双曲线．

6.【答案】B

【解析】因为方程表示双曲线，

所以，解得，因为，

所以是方程表示双曲线的必要不充分条件．

7.【答案】A

【解析】因为，

所以，

因为点的横坐标为，

所以轴，

由，解得，

所以，

因为点，在双曲线的右支上，

所以，，

所以

所以的周长为．

8.【答案】B

【解析】由得．

设点，即点，，

分别为双曲线的上、下焦点．

由双曲线的定义得，

则．

9.【答案】B

【解析】原方程可化为，因为，所以，所以方程表示的曲线是双曲线，且焦点在轴上．

10.【答案】A

【解析】依据题意作出图象，如图，

则，，

又直线与以的实轴为直径的圆相切，

所以，

所以，

由双曲线的定义可得，，

所以，

所以，

整理得，即，

将代入，整理得，

所以的渐近线方程为．

11.【答案】C

【解析】由得，，．

点在双曲线上，设，，则

由，在中，根据余弦定理可得，故

由①②可得，

所以的面积．

二、填空题（共5题）

12.【答案】

【解析】由椭圆方程，知，且焦点在轴上，故可设双曲线的方程为．

将点代入，得，解得（舍去），

所以该双曲线的标准方程为．

13.【答案】

【解析】由双曲线方程得，，

由双曲线的定义得，

因为，

所以由正弦定理得，

可解得，，

又，根据余弦定理可得，

所以．

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

【解析】如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和点．

根据两圆外切的条件，得，．

因为，

所以，

即，

所以点到两定点，的距离的差是常数且小于．

根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的左支，其中，，则．

故点的轨迹方程为．

三、解答题（共3题）

17.【答案】不一定．

（）当时，点的轨迹是双曲线；

（）当时，点的轨迹是两条射线；

（）当时，点不存在．

18.【答案】依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不确定焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为．

因为所求双曲线经过点，，

所以

解得

所以所求双曲线的标准方程为．

19.【答案】

(1)设动点的坐标为．

因为点，是平面上的两点，动点满足，

所以点的轨迹是以