人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模 课件(共27张PPT)

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第四章函数应用

§2实际问题的函数建模

1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型，知道数学建模的意义；

2.通过对函数模型应用实例的学习，学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型；

3.掌握建立函数模型的一般方法，学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题.

问题导学

题型探究

达标检测

学习目标

知识点一实际问题的函数刻画

思考世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？

答案先确定两个变量是谁；

再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；

如果满足，就要考虑建立函数关系式.

一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

答案

问题导学新知探究点点落实

答案

知识点二用函数模型解决实际问题

思考函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？

答案先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决.

用函数模型解决实际问题的步骤：

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.

可将这些步骤用框图表示如下：

答案

知识点三数据拟合

思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？

答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合.

数据拟合：

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律.这种方法称为数据拟合.

(2)数据拟合的步骤：

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验.

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解析答案

反思与感悟

题型探究重点难点个个击破

类型一利用已知函数模型求解实际问题

例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

因为火车匀速行驶时间th所行驶路程为120t，

所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤).

反思与感悟

(1)审题是解决问题的起点，需弄清楚题中有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题及其相关的因素有哪些等.即从中收集有用信息，捕捉关键词语，从文字语言叙述中理解题意，不能漏掉任何一个条件.

(2)建模需设出有关符号、字母等来表示题目中的有关量，根据题目中所给出的等量关系或结合实际生产、生活中的等量关系，建立函数关系.

(3)对于实际问题，所有的取值都是有实际意义的，即要注重函数的定义域，这往往是解决问题时容易遗漏的.

(4)实际问题中出现不同的度量单位时，要将其化成统一的度量单位.

解析答案

跟踪训练1商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？

解由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).

由优惠办法②得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N＋).

当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；

采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，

由于y2<y1，因此应选择优惠办法②.

解析答案

类型二自建确定性函数模型解决实际问题

例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解设可获得总利润为R(x)万元，

∵R(x)在[0,210]上是增函数，

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.

反思与感悟

反思与感悟

自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.

限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.

解析答案

跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.

现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何出资才能获得最大利润？

解设对甲种商品出资x万元，

则对乙种商品出资(3－x)万元，总利润为y万元.

所以3－x＝2.25(万元).

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.

类型三拟合函数模型

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：

年份19501951195219531954

人数/万人5519656300574825879660266

年份19551956195719581959

人数/万人6145662828645636599467207

解析答案

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

解设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.

由55196(1＋r1)＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.

同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.0221.

令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间

的人口增长模型为y＝55196e0.0221t，t∈N.

根据表中的数据作出散点图，

并作出函数y＝55196e0.0221t(t∈N)的图像.

由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.

解析答案

反思与感悟

(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解将y＝130000代入y＝55196e0.0221t，

由计算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.

反思与感悟

(1)已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.

(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.

(3)由于函数模型的局限性、函数模型往往只在某个范围内拟合效果较好.

跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.

(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

解已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.

若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.

当y＝10时，解得t≈231.

同理可知，2023年世界人口数约为1970年的2倍.

(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2023年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

解由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.

所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.

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达标检测

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1.从2023年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为()

A.17B.18

C.19D.20

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答案

2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是()

A.分段函数B.二次函数

C.指数函数D.对数函数

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A

答案

3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()

A.B.y＝(0.9576)100x

C.y＝()xD.

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A

答案

4.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：

下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()

A.y＝2x－1

B.y＝x2－1

C.y＝2x－1

D.y＝1.5x2－2.5x＋2

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x123…

y138…

D

答案

5.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x