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（沪教版2023必修第二册）

第9章复数

9.3实系数一元二次方程

在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准

形式

９．３实系数一元二次方程

我们已经知道可用判别式来判定这个方程实根

的存在性．具体地说，在实数范围内考虑：

（１）当Δ＞０时，该方程有两个不相等的实根

（２）当Δ＝０时，该方程有两个相等的实根（二重根）

（３）当Δ＜０时，该方程没有实根

我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根

的取值范围从实数拓广到复数．也就是说，我们不仅要讨论实

根，还要讨论虚根．我们要解决的问题实际上有两个：

（Ａ）当Δ≥０时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围

还有其他的根吗？

（Ｂ）当Δ＜０时，方程在复数范围有根吗？怎样求出它的根？

回答这两个问题，关键是对Δ（它是一个实数）在复数范围的

平方根问题有个准确的把握．

1实数的平方根

设c∈R，并设是它的一个平方根，即

将上式左边展开，得到再根

据复数相等的条件，就得到

从第二个等式可知，a与b中至少有一个为零．

当c≥０时，必须b＝０，否则a＝０，从而推出，

与假设矛盾．于是必是c的一个实平方根．这说明，

除了已知的实平方根非负实数犮在复数范围没有其他

的平方根．

而当c＜０时，必须a＝０，否则b＝０，从而推出

与假设矛盾．于是，，从而此时犮的平

方根有两个：它们是两个共轭的纯虚数．

例１在复数范围求25与－25的平方根．

解因为25＞０，它在复数范围的平方根与实数范围的平方

根是一样的，都是±５；因为－２５＜０，它没有实平方根，而在复

数范围其平方根是

２实系数一元二次方程

我们现在在复数范围求解实系数一元二次方程

．用配方法，得到

这就是说，是实数Δ的平方根．由前面关于实数平方根

的讨论，就可以回答本节引言中所提的两个问题了，其答案是：

在复数范围内，

（１）当Δ＞０时，方程有两个不相等的实根

（２）当Δ＝０时，方程有两个相等的实根（二重根）

（３）当Δ＜０时，方程有一对共轭虚根

例２在复数范围内解方程：

解该方程的判别式Δ＝（－４）２－４×２×５＝－２４＜０，所以

此方程有一对共轭虚根

如果实系数一元二次方程有实根

与，由必修课程第２章已经知道这两个根与方程的系数有如

下关系（韦达定理）：

实系数一元二次方程的根与系数的关系在虚根的情况下仍然成

立，这只要直接把根代入验证就可以了．

例３如果p、q都是实数，而关于x的方程

p＝０有一个根，求p、q的值．

解方程有一个虚根－２＋３ｉ，则它的另一

个根必为其共轭复数－２－３ｉ．由根与系数的关系，有

从而

例４在复数范围将分解因式．

解例２中已经求出方程的两个根

与所以

课本练习

练习９．３

１．已知k是一个实常数，而关于x的一元二次方程

有两个虚根．求k的取值范围．

２．在复数范围内解方程：

３．若和是方程的两个根，求

的值．

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