2022年山西省运城市古交高级职业中学高三数学理月考试题含解析

2022年山西省运城市古交高级职业中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列是等差数列，为其前项和.若，，则（

）A．4

B.36

C.-74

D.80参考答案：C依题意，得：，解得：，所以，＝－742.函数y＝的定义域为()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1参考答案：C3.已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为(

) A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：B考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得a1an=a1=3，再由所有项的积为a1?a1q?…=243=35

①，倒序可得…?a1q?a1=35

②，①②对应项相乘可得=310，解得n的值．解答： 解：设等比数列的公比等于q，a1a2a3=3，且an﹣2an﹣1an=9，两式相乘可得a1an=a1=3．再由所有项的积为a1?a1q?…=243=35

①，…?a1q?a1=35

②，把①②对应项相乘可得=35?35=310，解得n=10，故选B．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．4.已知函数，则＝A、－2B、－3C、2D、3参考答案：B5.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（

） A．x=1 B．

C． D．参考答案：D略6.执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．19 B．42 C．47 D．89参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=5时不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1S=1满足条件k＜5，S=3，k=2满足条件k＜5，S=8，k=3满足条件k＜5，S=19，k=4满足条件k＜5，S=42，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．7.已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为

（

）

A．双曲线的一支

B．双曲线

C．一条射线

D．两条射线

参考答案：C略8.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为A.（一1.2）B.（－2，1)

C.（1，－2）D.（2，一1）参考答案：B，故选B.9.设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．10.已知m，n都是非零实数，则“m=n”是“m2=n2”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：由m2=n2?m=±n，即可判断出．解答： 解：∵m2=n2?m=±n，∴“m=n”是“m2=n2”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法、根式的运算性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是

．参考答案：略12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

．

参考答案：13.给出下列四个命题：①命题：“设，若，则或”的否命题是“设，若，则且”；②将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象；③用数学归纳法证明时，从“”到“”的证明，左边需增添的一个因式是；④函数有两个零点.其中所有真命题的序号是

.参考答案：答案：①③14.若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为

参考答案：15.如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为

．参考答案：16.由直线，，与曲线所围成的封闭图像的面积为

参考答案：略17.

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

参考答案：答案：-160三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）求面积的最大值及此时点的坐标.参考答案：（1）；（2），除去四个点，，，；（3），点的坐标为或.试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，，，的坐标，再根据已知条件可得，，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值.试题解析：（1）解法1：∵双曲线的顶点为,,…………1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴，得.

………2分∴.

………3分∴椭圆的方程为.

………4分解法2:∵双曲线的顶点为,,

…1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴.

①

………2分∵,

②

………3分由①②解得,.∴椭圆的方程为.

………4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∴，，，.由,得，……5分即.

①同理,由,得.

②

……………6分①②得.

③

………7分由于点在椭圆上,则，得,代入③式得.

当时，有，

当，则点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.

………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∵，，∴，.∴，①

……5分.②

……6分

①②得.

(*)

………7分∵点在椭圆上,

∴，得,代入(*)式得，即,

化简得.

若点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.

………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.…………9分(3)解法１：点到直线的距离为.△的面积为………10分

.

………11分而（当且仅当时等号成立）∴.……12分当且仅当时,等号成立.由解得或

………13分∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分解法２：由于，故当点到直线的距离最大时，△的面积最大．………10分设与直线平行的直线为，由消去，得，由，解得．………11分若，则，；若，则，．…12分故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为．………14分考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程.19.（本小题满分12分）

如图：在三棱锥中，，点P在平面内的射影恰为的重心为侧棱上一动点。（1）求证：平面平面；（2）当M为中点时，，求三棱锥的体积。参考答案：20.如图所示，某传动装置由两个陀螺T1，T2组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且T1，T2的轴相互垂直，它们相接触的直线与T2的轴所成角θ=arctan．若陀螺T2中圆锥的底面半径为r（r＞0）．（1）求陀螺T2的体积；（2）当陀螺T2转动一圈时，陀螺T1中圆锥底面圆周上一点P转动到点P1，求P与P1之间的距离．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，可得，进而可得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，进而求出陀螺T2的体积；（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，可得，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P1之间的距离．解答： 解：（1）设陀螺T2圆锥的高为h，则，即’得陀螺T2圆柱的底面半径和高为，

（2）设陀螺T1圆锥底面圆心为O，则，得在△POP1中，点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．21.(本题满分12分)设数列的前n项和为,已知,,数列是公差为d的等差数列,.(1)

求d的值;(2)

求数列的通项公式;(3)

求证:.参考答案：…………3分………………8分………………12分22.（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中α∈(0，)，且⊥．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且β∈(0，)，求角β．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），