4-抽样分布及统计推断原理课件

抽样分布及SamplingDistributionandPrincipleofStatisticalDeduction前面我们初步研究了概率和随机变量等有关概念，我们知道生物界大量的现象都可以用随机变量来描述。但是全面观测一个随机变量往往是困难的，一个重要的研究随机变量的方法就是抽样法，也就是从要研究的对象的全体中抽取一部分进行观察和研究，从而对整体进行推断。这是一个从局部论及整体的方法，由于局部是整体的一部分，所以对局部的观察在一定程度上反映了整体的特征，但在另一方面，这些局部的观察不可能完全精确地反映整体的也在，因此这种推断的不可定性也是一种逻辑的必然。这样推出来的结论势必要冒一定的风险。因此，在用抽样法对整体进行推断时必须要解决如何处理抽样的结果（观测数据）的问题，也就是如何从观测数据对原来的总体的某些特征作出判断。例如，对一些总体的参数值进行估算，或者在一定的风险下对与总体参数有关的假设作出判断，也就是说，应该如何进行统计推断。第一节总体、样本和样本统计量一、总体、样本和抽样我们把所研究的对象的全体称为“总体”。例如我们考察一块麦田中的小麦或者麦田中的害虫的个数等。我们把总体中的每一个基本单位称为“个体”。总体中的每一个个体的某些数量特征一般都是以随机变量的形式出现。因此对于一个总体的这个数量特征来说自然可以用一个随机变量X来描述。样本是总体的一部分，通常就是要用样本的观测值作出关于总体的某些推断。假定，X1,X2,…,Xn是总体X中抽出的一个容量为n的样本。由于个体数量特征取值的随机性，每一个Xi

(i=1,2,…,n)都可以看成是随机变量。当然，对于每一次具体的观测，它们又都是具体的数值，可以记作x1,x2,…,xn，称为样本值或样本观测值。称（x1,x2,…,xn）为一个样本点。鉴于总体中每个个体数量特征变化的随机性,为了保证样本的代表性，在抽样时必须遵循样本抽取的随机性原则，要求每一个样本值Xi与总体X有相同的概率分布。在抽样时，一般我们还要求不同的样本值之间是相互独立的。我们称这种样本为“简单随机样本”或“随机样本”。以后,凡提到样本，就是指简单随机样本。从数学上说，所谓总体就是一个随机变量X。一个容量为n的样本，就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量X1,X2,…,Xn，它们的观测值是x1,x2,…,xn。随机样本的取得最重要的是要保证每个样本个体抽取过程的随机性。在抽样时“挑选有代表性的样本”的做法是不恰当的，因为在我们对总体尚不了解之前,你不可能知道哪些个体能够代表这个随机变量的总体。通常使用随机数来决定样本个体的选取，随机数通常可以由计算机或计算器产生或者利用随机数表查得。抽样前，需要对所讨论的总体中的每个个体进行编号,然后通过查得的随机数产生出被抽样的个体进行观测。要注意，计算机或计算器所产生的随机数通常是[0,1]区间内的随机数（小数），而由随机数表查得的随机数通常是（10以内的）整数。但产生样本个体的所需的编号可能与上述随机数不同，要进行适当的调整使得所得到的随机数满足抽样时的要求。

例如，我们要通过抽样研究100个小区水稻的产量。首先将这100个小区从00～99进行编号，我们以它为总体从中抽取n=10的随机样本。利用计算器产生10个随机数0.134,0.974,0.625,0.454,0.980,0.374,0.279,0.470,0.506,0.006。取小数点后的两位数作为样本小区的编号可得：13,97,62,45,98,37,27,47,50,00。这10个个体为样本个体，可以通过观测这10个小区水稻的产量来研究该地区这100个小区水稻生产的情况。二、样本统计量

1.统计量统计学中的参数估计，假设检验等问题都是利用样本值对总体有关的参数进行推断。为了集中所有样本值中有关总体的信息，往往要利用样本值的一些函数进行推断。例如我们经常使用样本平均数作为总体期望值EX的估计值，而用样本方差作为总体方差DX=s2的估计值。我们称这样的样本的函数为样本统计量，简称统计量。一般来说，我们称不依赖于总体未知参数的样本值函数f(X1,X2,…,Xn)为统计量。由于样本值都是随机变量，故而样本统计量是随机变量。对于一个正态总体X～N

(m,

s

2)，假设m,

s

2均未知。这时，前述的f1

(X1,X2,…,Xn)及f2

(X1,X2,…,Xn)都是统计量，但函数不是统计量，因为它还依赖于未知参数m。

2.用于估计总体参数的样本均值和方差由前面关于随机变量数字特征的论述，我们知道，数学期望实际上是一个总体的平均，而方差实际上是总体与其平均数之差的平方的平均数。因此很自然，我们就想到使用样本平均数来估计总体的平均数。这样一来，总体的方差很自然要由样本值与均值之差的平方的平均数来估计。这一结论与上一段我们给出用样本方差S2来估计总体方差是不一致的，哪一个更好呢？进一步，上面已提到用样本平均数来估计总体的平均数，平均也有不同的方式，如算术平均、加权平均等，用哪一个方式的平均来估计更理想呢？这里列出一些常用的标准，以便于判定各种不同的估计量的好坏。（1）无偏性称估计量是参数的无偏估计量，如果对所有用容许的参数值都有这个准则表明，对于确定的参数q来说（虽然我们不知道它的值），当我们用一个随机变量去估计它时，尽管我们不能保证估计值刚好就好似所要估计的参数q，但它却保证了估计值一定在待估参数q

左右摇动，不会产生系统偏差，这当然是对估计量很自然的要求。

例4.1设m是总体X的期望值，则其样本的算术平均值m1及加权平均值m2都是m的无偏估计量。这里

证因为对于总体X有EX=m,Xk为总体X的样本且EXk=m，故有由此可知它们都是总体期望值的无偏估计量。

例4.2设总体X具有有限的期望值m和方差s2，试问样本方差S2和Sn2是否都是总体方差的无偏估计量？

解因为总体X的样本X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X有相同的分布，因而有EXi=m，DXi=s

2(i=1,2,…,n)。对于Sn2我们有由此可见Sn2不是总体方差s

2的无偏估计量，它的期望值比s

2偏小一些。所以，样本方差S2是总体方差s

2的无偏估计量。（2）有效性一个总体参数的无偏估计量有时不止一个。例如前面我们讨论的算术平均数m1和加权平均数m2都是总体期望值m的无偏估计，甚至每一个样本观测值Xi都可以作为总体期望的无偏估计值。这时，如果总体的方差存在，我们还可以用比较这些无偏估计量的方差来进一步比较它们的好坏,当然是方差小的较好。例如，不难算出故有D(m1)<D(Xi)(i>1)。这说明用m1和Xi来估计m

时虽然都是无偏的,但是用mi作为估计量总的来说要比用Xi作为估计量更加集中在m

的附近。从这个意义上讲，我们说mi作为m

的估计量比Xi更加有效。一般地，设q1(X1,X2,…,Xn)，q2(X1,X2,…,Xn)都是参数q的无偏估计量，且D(q1)≤D(q2)，则称q1比q2有效。

例4.3设总体X具有有限的期望值m和方差s2，X1,X2,…,Xn是一个随机样本。试讨论算术平均数m1和加权平均数m2作为总体期望值m的估计值的有效性。

解对于m1显然有D(m1)=s

2/n。而对于m2我们有如果记C为权量Ck≥0的算术平均数，C=(1/n)∑Ck，则C=1/n，于是得可见m1较m2有效。还有其他一些评价估计量好坏的准则，我们这里就不进一步介绍了。第二节抽样分布为了进一步利用样本对总体进行推断，就需要进一步讨论一些重要的样本统计量的分布。由于用正态随机变量刻画的随机现象比较普遍，我们将限于讨论正态总体的样本统计量的分布。

一、一些重要的统计量的分布

1.c2分布若样本Xi～N(0,1)i=1,2,…,n，且Xi相互独立，则我们称随机变量所服从的概率分布为自由度n的c2分布。记作c2～c2(n)，这里的参数n表明c2变量中独立的标准正态随机变量Xi的个数，我们称之为c2分布的自由度。已知随机变量c2～c2(n)

，对于给定的概率a

>0，我们称满足条件

P|c2>ca2(n)|=的数值ca2(n)为c2分布的概率为a

的临界值。由于在生物统计学中经常使用c2分布的随机变量进行推断，为此编制了c2分布表，供研究人员使用。一般的，c2值表列出了在不同的自由度n下对不同的概率a

的变量的临界值ca2(n)，见表4-1。例如，当n=3时，对于a

=0.10有c20.10(3)=6.251，而对于a=0.05有c20.05(3)=7.815。这意味着，对于c2～c2(3)，P|c2>6.251|=0.10，而P|c2>7.815|=0.05。

2.t分布若X～N(0,1)，Y～c2(n)，且X和Y独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为t～t(n)。当n很大时，如果记p(x,n)为随机变量t的分布密度，则可以证明，有也就是说，当自由度n无限增大时，分布趋向于标准正态分布N(0,1)。对于给定的概率a

>0及t～t(n)，我们称满足条件

P{|t|>ta(n)}=a的数值ta(n)为分布t(n)的概率是a

的（双尾）临界值，满足条件

P{t>ta(n)}=a的数值t`a

(n)为分布t(n)的概率是a的（单尾）临界值。对于给定的a

来说，这两个临界值之间有如下的关系

ta(n)=t`a/2(n)利用t分布的分布密度可以算出对于不同的自由度n和不同的概率a

下t变量的临界值ta(n)。把这些临界值列成表将来进行统计推断使用（见表4-2）。例如，当n=13时，有t0.05(13)=2.106，t0.01(13)=3.012，t`0.05(13)=t0.10(13)=1.771。这意味着对于t～t(13)，P{|t|>2.106}=0.05，P{|t|>3.012}=0.01，而P{t>1.771}=0.05。

3.F分布如果随机变量X和Y相互独立，而且分别服从自由度为n1和n2的c2分布：X～c2(n1)，Y～c2(n2)，则称随机变量所服从的分布为F分布，n1和n2分布称为第一自由度和第二自由度。通常记作F～F(n1,n2)。由F分布的定义可以得到，当t～t(n)时，有t2～F(1,n)。如果X～F(n1,n2)，则有1/X～F(n2,n1)。对于给定的概率a>0及F～F(n1,n2)，我们称满足条件

P{F>Fa(n1,n2)}=a的数值Fa(n1,n2)为分布F(n1,n2)的概率为a的临界值。可以证明，它具有如下性质：

Fa(n1,n2)=1/F1-a(n2,n1)事实上，对于X～F(n1,n2)，有P{X>Fa(n1,n2)}=a。由于利用F分布的分布密度可以算出在不同的自由度n1,n2下，F变量关于概率a的临界值Fa(n1,n2)。为了便于将来进行统计推断使用，人们将这些临界值列成F值表（见表4-3）。表中每一个格内上面的数字为a=0.05时的临界值，而下面的数字为a=0.01时的临界值。

二、样本平均值和样本方差的分布

1.正态总体样本的线性函数的分布设总体X～N(m,s

2)，X1,X2,…,Xn是来自总体容量为n的随机样本，考虑统计量Y=a1X1+a2X2+…+anXn，其中a1,a2,…,an是已知常数。显然，Y是样本{Xi}的一个线性函数。关于统计量Y，我们有如下结论（证明从略），统计量Y也是正态随机变量，它的期望值和方差分布为如果在这个函数中取ai=1/n，则Y就是样本的算术平均数。因此，样本平均值将服从期望值为m，方差为的正态分布。

2.与样本方差有关的分布关于样本方差的分布的讨论较之平均数的分布要复杂，先考虑来自标准正态分布总体N(0,1)的随机样本。由于样本方差可以写成可以看出，表达式中方括号内的第一项就是一个分布的统计量，但是由于方括号内还有一项存在，而且很明显它们之间是不独立的，必须要进行更深入的讨论。这些讨论我们这里就从略了。关于标准正态总体我们有如下的结论：设X1,X2,…,Xn是从标准正态总体N(0,1)中抽取的一个随机样本，则可证明：和S2是独立的，而且如果所讨论的正态总体不是标准的，而是正态总体N(m,

s

2)中的一个随机样本，那么只要做代换X`i=(Xi-m)/s再研究X`i的方差的分布就可以了。这时有：设X1,X2,…,Xn是正态总体N

(m,

s

2)中抽取的一个随机样本，再注意到前面关于样本方差的分布的结论则可以证明：和S2是独立的，而且如果X1,X2,…,Xn是服从正态总体N(m,

s

2)中抽取的一个随机样本，则统计量将服从自由度为n-1的t分布。如果X1,X2,…,Xn是正态总体N(m1,s12)的一个随机样本，Y1,Y2,…,Ym是正态总体N(m2,s22)的一个随机样本，它们之间相互独立，则服从自由度为n-1，m-1的F分布，其中分布是上述两个正态总体的样本方差。另外，如果X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym分别是来自具有相同方差的两个正态总体N(m1,s02)和N(m2,s02)的随机样本，按照前面的结论，这两组样本平均值之差X-Y也同样服从正态分布N(m0,s

2)，其中m0=m1–m2,不难证明，S2同样也是s

2的无偏估计量。因此将是两组样本的平均值之差的方差s02=(1/n+1/m)s

2的无偏估计量。这样一来，就可以得到如下的结论：如果X1,X2,…,Xn和Y1,Y2,…,Ym分别是来自具有相同方差的两个正态总体N(m1,s02)和N(m2,s02)的随机样本，且它们之间相互独立，那么将服从自由度为n+m-2的t分布。

三、大数定律和中心定理这一段我们将不加证明地介绍两个很重要的定理。这两个定理将告诉我们样本平均值的两个重要的统计学性质，与前面不同的是这些性质并不要求样本来源的总体一定是正态总体。因此，它将保证我们将来介绍的统计分析的方法能够适用到更加广泛的范围中去。

1.大数定律大数定律告诉我们，随着样本容量n的增加，一个总体X的随机样本的平均值与总体的期望值的偏差小于任给定的（很小的）数的概率将趋近于1。如果用数学的语言，它可以写为：设X1,X2,…,Xn是总体X的随机样本，且m=EX及DX都存在，则对任意给定的e>0，将有式中X样本平均值，定理的证明从略。这个定理告诉我们，不管随机变量总体的分布如何，只要样本的容量充分大，样本平均数一般来说总能够与期望值相当接近。

2.中心极限定理有关平均数的另一个重要的性质是：无论一个总体的分布如何，只要它有有限的方差，那么当样本的容量n相当大时，样本平均数将近似地服从正态分布。它的数学表述如下：设X1,X2,…,Xn是总体X的容量为n的随机样本，总体的数学期望m=EX及s

2=DX均存在，且s

2≠0，则当n无限增大时统计量的分布密度将逼近于标准正态分布的密度。这个定理告诉我们对于来自任何具有有限方差和期望值的总体的随机样本的平均值，只要样本的容量足够大，就可以认为它近似地服从期望值为m，方差为s

2/n的正态分布。同样我们不证明这个定理，因为它用到了更多的数学知识。

3.生物统计中的正态分布在生物统计的理论与实际中，正态分布占有重要的地位，之所以如此，一方面在于许多生物现象所形成的随机变量的总体都相当好地接近于正态分布。例如，生长与某块农田中小麦植株的高度，某种动物的体重或者微生物菌株的产量等等都以足够好的正态形式而分布，这些现象也可以用中心极限定理来解释。以小麦植株高度为例，对于种在同一块田上的同一品种的小麦来说，在其生长过程中要受到许多因素的影响，这些因素的每一个都只有微小的效应,而植株的高度则是所有这些因素的效应的总和。如果我们把每一个因素的效应都看作是来自某个总体的一个观测值，那么植株的高度就可以理解为来自一组总体的观测值的总和。按中心极限定理所述关于平均数的性质，我们就可以认为所观察的植株高度的数据近似地服从正态分布。另一方面，有关正态分布的理论研究已经比较成熟，使我们能够比较容易地实现对正态总体从样本到总体的推断。正因为如此，生物统计中的大量理论和方法都是以正态总体及其抽样分布为基础展开的。要特别指出的是，并非生物界的全部现象都是呈正态分布的，非正态分布也同样大量地存在于生物界。因此，在利用基于正态总体抽样分布的统计方法来处理观察资料时，首先必须搞清楚这些数据是否来自正态总体，至少也应近似地是正态总体。如果总体是正态的，就可以直接利用这些方法。如果总体不是正态分布，或者利用数据代换的方法使得变换后的数据服从正态分布，或者利用更一般的、不依赖于正态分布的非参数分析方法。第三节统计推断原理在生物统计上经常会遇到样本观察值对总体的某些特征进行推断的问题。例如，当培育出一个小麦的新品种之后，如何判断这个品种的产量是否优于原来的地方品种的产量？如何评价药物对某些疾病的疗效？某些外界因素对生物生长发育的影响如何等等。研究这些问题，往往需要首先提出一个有关总体参数的假设。例如假设某小麦品种和原来的地方品种的小麦的产量一样，或者比原来的地方品种的产量更高。但是如何确切地证实所做的假设正确呢？最完善的办法是检验这两个总体，来比较它们的参数。但这往往是困难的，甚至是根本不可能的。另一种方法就是设法得到它们的样本观测值，然后利用这些观测值来推断原来的假设是否正确。由于抽样的随机性，样本观测值不可避免地会出现抽样误差。这样一来，利用样本观测值来推断总体时与通常的数学推理就大不一样。一般这种推断没有一个百分之百肯定的结论，它总是带有随机的特点，因此称这一类推理为统计推断或称之为假设检验。这一节将介绍统计推断的基本原理，具体的各种统计推断的方法将在后面陆续地介绍。

一、假设检验的基本方法结合一个例子来介绍检验的基本方法。我们知道一个正常人的脉搏平均为72次/min，现在我们从医院测得10名患某种疾病的病人的平均脉搏为67.4次/min，并测得样本方差为35.16。现在问这些病人的脉搏是否正常？也就是说，如果把医院的这种病人看成是一个总体，我们的问题是利用这些数据来判断这个总体的期望值是不是72次/min？一般可以按如下的步骤解决这个问题。

1.对所研究的总体提出一个假设H0这是我们进一步分析的基础，因此假设必须要作得恰当，这个假设首先必须与我们要分析的问题紧密地联系在一起，将来无论是拒绝这个假设还是不拒绝这个假设，都可能成为我们所讨论的问题的回答。其次，所做的假设也必须有利于我们构成和计算某个统计量。这样一来，我们就可以根据统计量的分布规律来判别观测值出现的概率。在我们的例子中，最合适的假设为假设H0：m=72。也就是说，患这种病的病人的脉搏是正常的，他们的期望值等于正常人的脉搏72次/min。这时样本平均值=67.4和m之间的差异|-m|=4.6应理解为随机误差。而HA：m

≠72，称之为H0的备则假设。不同的问题中所需要做的假设将在下面的具体检验问题中介绍。

2.在假设H0下构造一个样本统计量，并研究这个统计量的分布在上面的例子中，我们构造统计量在假设H0下有m=72，而且知道=67.4，S2=35.16，n=10。因此这个统计量就可以使用上述的样本观测值算出我们还可以根据上一章的分析知道这个统计量服从自由度df=n-1=9的t分布。

3.确定假设H0的否定域前面算出的t=-2.453只是在承认假设成立的前提下得到的。现在我们还不知道病人的平均脉搏是不是符合这个假设。经验告诉我们，如果这样算出来的t值是不合理的，就表明我们所做的假设H0是不合适的，这时我们就应该拒绝或否定原假设H0。如若不然，我们就不能拒绝或否定所做的假设H0；这时我们称原来的假设是相容的。使得我们拒绝或否定原假设H0的t值的全体称为H0的否定域。确定否定的关键在于分清哪些值是“合理”的，而哪些是“不合理”的。这里所说的“合理”与“不合理”又指的是什么呢？它实际上是基于人们在实际中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次观测中可以认为基本上不会发生，如果已成观测就发生了小概率事件，我们就认为这个现象是不合理的。在我们的例子中，如果假设H0成立，那么m

=72就是总体的期望值，|-m|只是表示随机误差，因此，这时的|-m|或者|t|一般来说不会太大。它们虽然可能取到较大的数值，但概率是较低的。由前面的分析我们知道，给定a>0，对于分布来说，我们可以求出它的临界值ta，使得P{|t|>ta}=P{|t|>2.262}=0.05，在我们的例子中就可以由t值表查得ta=2.262，而且有P{|t|>ta}=P{|t|>2.262}=0.05。这表明，在假设H0成立的前提下，虽然变量t可能取不同的值，但一般来说|t|的数值不会太大，满足不等式|t|>ta=2.262的t值出现的机会已经很小了，只有5%的可能性。于是我们就称事件{|t|>ta}={|t|>2.262}或事件{|-m|>}为小概率事件。如果在一次观测中发生了这个事件，也就是说由我们观测的样本算得的值满足不等式|t|>ta=2.262，它表明在这次观测中发生了小概率事件。按照我们前面提到的原则，就应该认为这个现象是不合理的，从而拒绝或否定原来的假设H0。因此由不等式|t|>2.262给出的t值的范围就构成了假设H0的否定域。

4.对原假设进行推断在上例中，由样本观测值算出t=-2.453，它落入了假设H0的否定域|t|>2.262之内。因此认为假设H0是不成立的，或者说m≠72次/min，也就是说这时的差数|-72|=4.6次/min已经大到如此的程度，将它解释为随机误差已经很牵强了，因此要否定假设H0，这时我们也可以称这个差异是显著的。

二、两类错误和显著性水准前面在做统计推断时，我们是基于“小概率事件在一次观测中不会发生”这样一个认识来拒绝原来的假设的。但是在这次观测中是不是真的不会发生小概率事件呢？更具体地说，在前面的例子中会不会在假设H0：m=72成立的前提下也能得到使=67.2的观测值呢？由于样本是随机抽取的，这个现象当然是有可能发生的。但在我们的推断过程中却把原来正确的假设否定了，这时，在这个问题上我们做了一个错误的判断：把原本正确的假设否定了，我们称这样的错误为第一类错误。与此相应，当我们不能否定假设H0时，也会出现类似的情况：假设H0是错误的，但在做统计推断时我们却不能否定它，这就是所谓的第二类错误，其关系如表4-4所示。小概率事件发生的概率a正好是我们否定正确的原假设H0的概率，也就是我们做统计推断是犯第一类错误的概率。上例子中的假设H0：m=72次/min，取a=0.05，由前面的推导可知落在m

±ta范围之外，>72+2.262×1.875=76.2或<72–2.262×1.875=67.76的概率是0.05，这时我们就否定了原假设H0。也就是说，在假设H0成立的条件下，样本均值有5%的可能落入到上述的否定域内。因而我们得到了一个正确的假设，作出否定的结论的概率就是a

=0.05。这就是犯第一类错误的概率，这说明我们利用小概率事件的原则进行统计推导时，否定原假设是冒有5%的风险来下结论的，也就是说有5%的危险把原来正确的假设否定掉了。犯第二类错误的概率用b

表示。它给出了当假设H0不成立时，我们通过检验却不能否定这个假设的可能性的大小。当然这种情况只有在H0不能否定的情况下发生。在前面的例子中，如果假设H0是错误的，而实际病人脉搏的期望值是m1=70次/min时，这个总体的真实分布的密度函数应该为这时，观测值的平均数落入区间[67.76，76.24]的概率可以由密度函数p1(x)在这个区间上的积分给出这表明在m1=70的真实总体中，样本均值落入假设H0：m=72的不能被否定的区域[67.76，76.24]中的概率大约是0.862，也就是