数学（心得）之数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问

数学（心得）之数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问数学论文之数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问

多问一个为什么数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问

数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

华东师范高校哲学系教授，上海规律学会副会长冯棉

数学发端于古代人们计数与度量的实际需要。

现代的很多数学理论尽管具有特别抽象的形式，但它同时也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各个部门，对人类熟悉自然和改造自然，起着重要的作用。

在我国中学校的课程设置中，数学作为一门主课，被给予大量的课时。

在高校，不仅理工科的同学要学习高等数学，很多文科专业也开设了高等数学。

这是数学重要性的体现。

然而，在我们的数学教学中，过于注意按部就班地叙述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让同学做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和争论，特殊是数学基础和数学哲学问题。

前不久，中心电视台10套的一档节目中，嘉宾提出这样一个问题有理数多还是无理数多？有三个答案供在场的同学选择（A）有理数多，（B）无理数多，（C）一样多。

结果，绝大多数同学选择了B，嘉宾表示了确定。

这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的学问背景，并作较深化的阐述，并不那么简单，由于它与某些数学概念、数学理论赖以成立的基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学讨论中的一个重要问题无限观，即应当如何看待数学中消失的无限多的对象（如无限多的自然数、有理数、无理数）的问题。

在数学的讨论中，有两种无限观。

当同学们作无理数多的解答时，是依据学过的集合论的有关学问来回答的。

集合论是一百多年前德国数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种无限观实无限的基础上。

所谓实无限，即把无限作为一个已经完成了的观念实体来看待。

在集合论中用N＝｛（是自然数｝表示全体自然数的集合就是如此。

然而，集合论之前的几千年的数学进展史中，数学讨论中占主导地位的却是古希腊哲学家亚里士多德所主见的另一种无限观潜无限的观念，即把无限看作一个不断进展着的、又永久无法完成的过程来看待。

把自然数看成一个不断延长的无穷无尽的序列1，2，3，，，，就是如此。

假如采纳潜无限的观念，有理数多，还是无理数多？这一问题就没有什么意义，由于有理数和无理数都为数无穷，而无限是一个不断进展着的、又永久无法完成的过程，不能加以比较。

正如伽利略所说‘等于’、‘大于’和‘小于’诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。

还需要说明的是，尽管现在集合论已进入中学和高校的数学教科书，成为全部经典数学的理论基础，但是它并非无懈可击。

人们已先后发觉了一系列的集合论悖论，这说明集合论隐含着规律冲突，使用集合论和采纳实无限观念来讨论数学，可能会出问题。

这也从一个侧面说明白数学理论只具有相对的真理性。

学习数学理论如此，对数学方法同样要多思索。

学校学习平面几何，同学就接触了公理方法，这种常用的数学方法源于古希腊数学家欧几里德的《几何原本》，它具有严格、高度概括的特点。

然而，为什么要选择这些公理而不选另一些呢？公理方法有没有什么限度呢？正是对《几何原本》中公理选择方式的质疑，导致了后来的非欧几何的创建；对公理化方法的限度的争论，则推动了近代的数理规律和数学哲学的进展。

可见，学会提出问题、思索问题是多么重要，问题是科学进展的推动力。

笔者学了多年数学，高校本科读的是数学专业，可是，直到投入程其襄教授门下，就读数理规律专业的讨论生，才刚刚接触本文前述的那些数学基础问题。

记得研一时读的一本英文书中某一节的标题是W？（2是什么？），读罢茅塞顿开原来自然界中有的只是一个个详细的事物，如1把椅子、2张桌子等等，却