数值分析实习报告3

数值分析实习报告学院：数学与统计学院专业：数学类专业班姓名：杨圣学号：320210928991编写语言：matlab题目一：1.基于求积节点的逐次加倍,用复化梯形公式和复化Simpson公式计算：I=excosxrfx,Jo并比较其误差和误差递减因子。注：(1)精确值I=-12.0703463164：(2)求积节点至多为512;(3)将实验结果以表格形式输出。问题分析：L首先我们要编写目标函数，复化梯形公式的函数和复化Simpson公式的函数。2.编写相应的计算过程，根据累次计算的要求，循环个9次3.输入表格%定义函数fun=@(x)exp(x).*cos(x);%等距节点a=0;b=pi;n=2;l_trapezoidal_prev=0;l_simpson_prev=0;fori=1:9h=(b-a)/n;x=linspace(aJbJn+l);y=fun(x);%复合梯形公式I_trapezoidal=h/2*(y(l)+2*sum(y(2:end-l))+y(end));%复合Simpson公式I_simpson=h/3*(y(l)+4*sum(y(2:2:end-l))+2*sum(y(3:2:end-2))+y(end));%输出结果和误差(工Jzrapezoidal+12.0703463164)fprintf(Hn=%d:\n",n)fprintf("复合梯形公式：％.10f,误差：％.10f,误差递减因子：%.10f\n",I_trapezoidal?abs(I_trapezoidal+12.0703463164),abs((I_trapezoidal_prev+12.0703463164)/(I_trapezoidal+12.0703463164)))fprintf("复合Simpson公式：％.10f,误差：％.10f,误差递减因子：％.10f\rT,工_simpson,abs(I_simpson+12.0703463164)abs((1_simpson_prev+12.0703463164)/(I_simpson+12.0703463164)))fprintf(H\n")%更新变量n=n*2;I_trapezoidal_prev=I_trapezoidal;I_simpson_prev=I_simpson;endExcel截图的计算结果:用复化梯形公式计算nTnEnEn/E2n2-17.389259335.3189130144-13.336022851.2656765314.2024268328-12.382162430.3118161134.05904787116-12.14800410.0776577844.0152589932-12.089742120.0193958014.00384521664-12.07519410.0048477834.000963204128-12.071558190.0012118734.000240943256-12.070649280.0003029644.00006034512-12.070422067.57406E-054.000015471用复化Simpson公式计算nTnEnEn/E2n2-11.592839550.4775067634-11.984944020.0854022975.5912637248-12.064208960.00613735913.9151537416-12.069951320.00039499315.5378887132-12.070321462.48603E-0515.8884800764-12.070344761.5565E-0615.97227692128-12.070346229.73E-0815.99151315256-12.070346316.IE-0915.97275162512-12.070346324E-1015.60130891问题二:2.分别利用自适应梯形和自适应Simpson算法计算积分:r乃4I=\ J。1+x2使其精度达到10弋PPT给出的自适应复化梯形算法自适应复化梯形法的具体计算过程如下：h:=b-a,"：=["(a)+/S)],n=l;[hnTOC\o"1-5"\h\z72〃=/+3£八74 /k=ln \卜T：=£/(Xa」)，T2-=^+-T;k=l2 / /步3判断区-大<£?若是，则转步5;步4h:=h/2,(:=4，转步2；步5输出步骤1h:=b-步骤1h:=b-a,Si:=^[/(a)+4/(+〃切；步骤2步骤3判断|S2-Sil<£?若是，则转步骤5;步骤4h=A/2,Si=S2,转步骤2;步骤5输出S2.知乎@lGXzy7题目分析：基本是按照公式写代码，但是在实际写的过程中要做一些改变—自与R［2在极与中移楹 弦在明二2伽…昼f冷）中〕2&肾吓$。八|），|为〃彳.4（色”4左f«F）＜2房正可切,Sc 才u"， 目适依萋卜。八1,… ］f£&.4,4］，［XX［，Xk甘］/九，一二' AF 京二牛£4¥+《内）:中叫）］Szn:02匚枚）T4,1%4”706*）”（—：）叶虫,］二八一2宜［iff尸fp、吁*浦H5.在具体写的时候公式可以做一些必要的简化，使代码更加简洁。%复化自适应梯形算法计算积分function［工，n］=adaptive_trapezoidal（fa,b,tol）%f:被积函数%a,b:积分区间［a,b］%tol:允许的误差精度%初始化h=(b-a);%区间宽度n=15%区间数量x=linspace(a,b,2);I=h*(f(x(l))+f(x(2)))/2;%初始积分值I_prev=I;%迭代whiletrue%计算新的积分值x=linspace(a^b,2*n+l);I=I_prev/2+sum(f(x(2:2:end-l)))*h/2;%计算误差和误差限error=abs(I-I_prev);tolerance=tol*max(abs⑴，1);%如果误差小于误差限，则返回结果iferror<=tolerancebreak;end%更新区间宽度和数量h=h/2;n=n*2;%更新积分值I_prev=I;endend%复化自适应Simpson算法计算积分function[[，n]=adaptive_simpson(f,,a,b,tol)%f:被积函数%a,b:积分区间[a,b]%tol:允许的误差精度%初始化h=(b-a)/25%区间宽度n=15%区间数量x=linspace(aJb,2);I=h*(f(x(l))+4*f(x(2))+f(x(end)))/3;%初始积分值I_prev=I;%迭代whiletrue%计算新的积分值x=linspace(aJb,2*n+l);I=h*(f(x(l))+4*sum(f(x(2:2:end-l)))+2*sum(f(x(3:2:end-2)))+f(x(end)))/3;%计算误差和误差限error=abs(I-I_prev);tolerance=tol*max(abs(I)1);%如果误差小于误差限，则返回结果iferror<=tolerancebreak;end%更新区间宽度和数量h=h/2;n=n*2;%更新积分值I_prev=I;endend%被积函数f=@(x)4,/(l+x.A2);%积分区间[a,b]a=0;b=pi；%允许的误差精度tol=le-6;%自适应梯形算法计算积分[工_trapezoidal,n_trapezoidal]=adaptive_trapezoidal(fa,b,tol);%自适应Simpson算法计算积分[1_simpson,n_simpson]=adaptive_simpson(fa,b,tol);%输出结果fprintf「使用自适应梯形算法计算积分，得到的结果为：％.8f\rV,I_trapezoidal);fprintf('使用自适应Simpson算法计算积分，得到的结果为:%.8f\n',I_simpson);fprintf(，使用自适应梯形算法计算积分，用了%d个区间\n',n_trapezoidal);fprintf「使用自适应Simp