福建师范大学网络教育《概率论》模拟题参考在线考核答案

第第#页共16页PP=3收视率"的估计•如果该节目收视率4，现要以90%的把握保证本次调查的收视频率P与收视率P之绝对误差小于5%,调查的住户数目N起码多少？附：0.95=O(1.645)解：本题属于n=N,p=0.75的伯努利试验。设观看户数为耳，贝加〜B(N,0.75)TOC\o"1-5"\h\z0.05Nn-0.75N0.05N、P(0.7<n/N<0.8)=P(—<<)：3甘；33“NNN161616由中心极限定理，p(—2°空<n-丁5<鉴N)沁①(_°2空)—①(—鉴N)>0.9NJ—NJ—Ni161616①(0.°5N)、0.95=①(1.645),则N至少203.诘N8.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为8.r()[ae-Cx+y),x>0,y>0f5yf其它(1)确定常数a；(2)求(X,Y)的联合分布函数FG,y).解:(1)由联合分布概率密度函数的性质卜卜f(x,y》xdy二1得—g—gJ+gJ+gae-(2x+y)dxdy=ajge-2xdxjge-ydy=000F(x,y)=\xF(x,y)=\xJyf(u,v》udv—g—g(3)因为x>0,y>0时

=JJy2e上u+v)dudvx>0,y>0其它设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=e-y,0<2e上u+v)dudvx>0,y>0其它设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=e-y,0<x<y<g0,其它(1)求X,Y的边缘概率密度函数;(2)判断X与Y是否独立.解：X的边缘概率密度函数为(x)=Jf(x,y)dy='X-g-g10,e-ydy,x>0xx<0e-x,x>00,x<0Y的边缘概率密度函数为e-ydx,y>0y<0e-ydx,y>0y<0y>0y<03)因为f(x)f(y)=XY(x+y),x>0,y>0"(3)因为f(x)f(y)=XY(x+y),x>0,y>0其它显然，fG)f(y)Hf(x,y).所以X与Y不独立.XY设有一架长机两架僚机飞往某目的地进行轰炸，由于只有长机装有导航设备，因此僚机不能单独到达目的地，在飞行途中要经过敌方高射炮阵地，每机被击落的概率为0.2，到达目的地后，各机独立轰炸，每机炸中目标的概率为0.3，求目标被炸中的概率。解：设Ai=“有i架飞机到达目的地”i=l,2,3，B=“目标被炸中”则P(A)=0.8x0.2x0.2P(A)=0.8x0.8x0.2+0.8x0.2x0.81，2P(A3)=0.8x0.8x0.8P(B)仝P(A)P(B|A)iii=1=P(A)x0.3+P(A)x(1-0.72)+P(A)x(1-0.73)123=0.4765某地有A,B两队进行乒乓球比赛，规定一方先胜三盘则比赛结束.设每场比赛A队获胜的概率p=0.5，以X记比赛的盘数，求E（X）.解：因为A,B两队的胜率相等，所以只需讨论A对获胜的情况.X的可能取值为3,4,5，且P（X=3}=2p3=14P（X=4}=2p-C2xp2（L—p）=2x=—16832P(X=5}=2p-C2xp2(L—p)2324所以e(x)=3冷+4x8+5x8=曽12.设X的概率函数是P(X=k)=丄,k=1,2…，求E(X),D(X).2k解：E(X)=区k-—=1区kf丄十】22k2I2丿TOC\o"1-5"\h\zk=1k=1k—1=6E(x2)=区k2•丄=1艺kk—1=62k2k=1k=1于是D(X)=E(x2)—[e(X)1=2.高老师在本学期每星期一上午第一、二节课都有数学课。他总是早晨7点钟从家出发，骑自行车上班，如果自行车坏了，他就选择坐出租车。根据经验，他骑自行车迟到的概率为0.02，坐出租车迟到的概率为0.1，而自行车坏得概率为0.05，求高老师星期一上课迟到的概率.解：记A二“高老师星期一上课迟到”B二“高老师骑自行车上班”，则P匕）=0.05,P（B）=1-0.05=0.95P（AIB）=0.02,PCIBL0.1于是P（A）二P（AIB）P（B）+PClB）d匕）=0.02x0.95+0.1x0.05=0.024在天平上重复称重一重物，假设各次称重结果相互独立，称重结果的期望值为a，方差为0.04，若以X表示n次称重结果的算术平均值，为使nP{l右-al<0.1}>0.95，请用中心极限定理估计至少要称重多少次？n解：若随机变量g•表示第i次称重的重物，则F=丄工g，于是有nii=1lX-al=l—nal。nnii=1利用中心极限定理得到-nal<0.1}=P{iP{l~X-al<0.1}=P{-I工-nal<0.1}=P{ii=1

要使P{lX-a\<0.1}>0.95，即①匚)>0.975,

n2于是得到n>15.3664，取n=16。15•设随机变量量的分布密度为f（x）十T其它其中Q〉0为常数，求（1）2的数学期望，（2）方差，（3）分布函数。解：(1)Eg=J+8axe-a(x-1)dx=-xe-a(x-1)\+8e-a(x-1)dx=1+—111a(2)Eg2=J+®Ox2e-a(x-1)dx=-x2(2)Eg2=J+®Ox2e-a(x-1)dx=-x2e-a(x-1)1+8111aaa222-(1+a)2=Dg=Eg2-(E-(1+a)2=16.设（g，耳）的联合密度函数为p16.设（g，耳）的联合密度函数为p（x,y）=c,0,0<\y\<x<1

其他试：⑴求常数c的值；（2）求g,耳的边际密度函数;解：(1)1=J8J8p(x,y)dxdy=f1Jxcdydx=c，c=1-8-80<x<1-8-80<x<1

其他“的边际密度函数为勺(y)已p(x,y)dx珂0,“的边际密度函数为勺(y)已p(x,y)dx珂0,-1<y<1

其他17.设｛g,n=1,2,…｝为独立随机变量序列，其中ng服从参数为nln(n+1)的指数分布(n>1)，即g~p(x)nnln(n+l)exp{ln(n+1)x}

nrrexp{-芥rx},0,x>0其它试问｛g,n>1｝是否服从大数定律?n证明：由题意，得Egkk+1

ln2(k+1),k=1,2,…由于随机变量g1,…,gn相互独立，有丄工Dg=丄工k+1n2kn2ln2(k+1)k=1k=1注意到错误注意到错误!未找到引用源。在x>3错误!未找到引用源。时单调递增,1\1yk+11yk+1、乙Dg=乙<—(2+乙)n2kn2ln2(k+1)n2ln(k+1)k=1k=1k=2<丄(2+(n-1))T0,当nfgn2ln(n+1)时，故满足马尔科夫条件，因此服从大数定律。

18.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件A表示：“此人来迟了”；事件A分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞i且P(a且P(a)>o,iA1,A2,A3,A4两两