任意角的三角函数3课件

1.2任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数第三课时1.2任意角的三角函数第三课时1由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法

由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角2yOP(x,y)αyOP(x,y)αMM(1)sinα=y=|MP|(2)cosα=x=|OM|思考1:在单位圆中下列等式是否正确?如何更正?(1)|sinα|=|y|=|MP|(2)|cosα|=|x|=|OM|思考2:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的取值与P点的坐标一致?知识探究（一）：yOP(x,y)αyOP(x,y)αMM(1)sinα=y=3········ABCAAB=4BA=–4CB=–2为了简化上述表示，我们将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.（课本P16）········ABCAAB=4BA=–4CB=–2为了简化4xyoxyoα的终边α的终边PMPM(Ⅰ)(Ⅲ)用有向线段表示终边落在一三象限的角的三角函数值sinα=y=MPcosα=x=OMsinα=y=MPcosα=x=OMxyoxyoα的终边α的终边PMPM(Ⅰ)(Ⅲ)用有向线段表5思考3：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？(x,y)POxyMP(x,y)OxyM思考3：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、c6定义：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.POxyM定义：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂7xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边PMPMPMPM(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边PM8思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？OxyPP思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义9例1.用三角函数线证明sinα+cosα>1.α为锐角证明：在△OMP中，OP=1，OM=cosα,MP=sinα，因为三角形两边之和大于第三边，所以sinα+cosα>1。例1.用三角函数线证明sinα+cosα>1.α为锐角证明10例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;解：由三角函数线得sin1<sin1.5cos1>cos1.5M’M例2.比较大小：解：由三角函数线得sin1<sin1.5co11知识探究（二）：AT思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y）则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyM知识探究（二）：AT思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边12yOP(x,y)αM思考2:能否借助单位圆,用有向线段表示其它象限角的正切值?yOP(x,y)αMATATyOP(x,y)αMATyOP(x,y)αMAT过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T,则AT=tanα.yOP(x,y)αM思考2:能否借助单位圆,用有向线段表示其13思考3：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含义如何？OxyPP当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考3：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含义如何14二、作法总结(一)正弦线、余弦线、正切线作法总结：的终边MPOTT/第一步：作出角α的终边，与单位圆交于点P;第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM;第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T，得角α的正切线AT.A(1,0)1

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的终边-1二、作法总结(一)正弦线、余弦线、正切线作法总结：的终边15例3.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。例3.分别作出、、16思考.已知α∈(0，)，试证sinα<α<tanα.证明：sinα=|MP|,α

=tanα=|AT|.即sinα<α<tanα.S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT所以MP·OA/2＜MP＜α＜AT思考.已知α∈(0，)，试证sinα<α<tanα17例4.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-111P●N例4.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-1118xOy-1-111TAPP2xOy-1-111TAPP219变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.xOy-1-111PQRS＜α≤≤α＜变式：写出满足条件≤cosα＜20三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正切线ATyxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！正弦线MP余弦线OM数形结合:用有向线段表示三角函数值2023/7/2521三角函数三角函数线正弦函数正切线ATyxxO-1PMA(小结1.给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置：正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段小结1.给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余223.特殊情况：①当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。②当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。3.特殊情况：23xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPM