北师大版高中数学必修五模块测试卷

北师大版高中数学必修五模块测试卷

高中数学学习材料，必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题（每题5分，共60分）1.在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2A(b+c)^2=2c，则三角形ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（）A.135B.100C.95D.803.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(3b-c)cosA=acosC，则cosA的值等于（）A.1/3B.2/3C.3/4D.4/54.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t×5^(n-2)，则实数t的值为（）A.4B.5C.1/5D.1/45.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为（）A.3B.23C.3或23D.无法确定6.设{an}为各项均是正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，则（）A.Sn/S4>a4/a6B.Sn/S4<a4/a6C.Sn/S4=a4/a6D.无法确定7.已知数列{an}的首项为1，并且对任意n∈N+都有an>0。设其前n项和为Sn，若以(an,Sn)（n∈N+）为坐标的点在曲线y=1/(x(x+1))上运动，则数列{an}的通项公式为（）A.an=n^2+1B.an=n^2C.an=n+1D.an=n/(n+1)8.设函数f(x)={2x-1(x>=1),1/x(x<1)}，若f(a)<a，则实数a的取值范围为（）A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(3,+∞)D.(0,1)9.已知a>0，b>0，则11/(a+b)+2ab的最小值是（）A.2B.2√2C.4D.510.已知目标函数z=2x+y中变量x，y满足条件3x+5y<25，x>=1，则（）A.zmax=12，zmin=3B.zmax=12，无最小值C.zmin=3，无最大值D.z无最大值，也无最小值1.如果函数$f(x)$对任意$a,b$满足$f(a+b)=f(a)\cdotf(b)$，且$f(1)=2$，则$$\frac{f(2)f(4)f(6)+f(1)f(3)f(5)+\cdots+f(2014)}{f(2013)}$$的值为（）。A.4018B.1006C.2010D.20142.已知$a,b,a+b$成等差数列，$a,b,ab$成等比数列，且$\log_c(ab)>1$，则$c$的取值范围是（）。A.$0<c<1$B.$1<c<8$C.$c>8$D.$0<c<1$或$c>8$3.$\triangleABC$的三个内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$\cosC\cdota,\cosB\cdotb,\cosA\cdotc$成等差数列，则角$B=$（）。4.已知两正数$x,y$满足$x+y=1$，则$z=\frac{x+\frac{1}{y}}{y+\frac{1}{x}}$的最小值为（）。5.在数列$\{a_n\}$中，$S_n$是其前$n$项和，若$a_1=1$，$a_{n+1}=S_n(n\geq1)$，则$a_n=$（）。6.两个等差数列的前$n$项和之比为$\frac{7}{5}$，它们的公差之比为$\frac{2}{3}$，则这两个等差数列的首项之比为（）。7.已知向量$\bold{m}=\begin{pmatrix}\sinA\\\cosA\end{pmatrix}$与$\bold{n}=(3,\sinA+3\cosA)$共线，其中$A$是$\triangleABC$的内角。(1)求角$A$的大小；(2)若$BC=2$，求$\triangleABC$的面积$S$的最大值，并判断$S$取得最大值时$\triangleABC$的形状。8.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1(n\in\mathbb{N}^*)$。(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；(2)若数列$\{b_n\}$满足$b_1=4$，$b_{n+1}=2b_n-1(n\in\mathbb{N}^*)$，求证：$a_nb_n=2^{n+1}-1$。9.如图1，$A,B$是海面上位于东西方向相距$5(3+3)$海里的两个观测点，现位于$A$点北偏东$45^\circ$，$B$点北偏西$60^\circ$的$D$点有一艘轮船发出求救信号，位于$B$点南偏西$60^\circ$且与$B$点相距203海里的$C$点的救援船立即前往营救，其航行速度为$30$海里/小时，该救援船到达$D$点需要多长时间？10.解关于$x$的不等式$ax^2-2\geq2x-ax(a\in\mathbb{R})$。11.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=4$，且$a_2+a_7+a_{12}=-6$。(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n$与前$n$项和$S_n$；(2)将数列$\{a_n\}$的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列$\{b_n\}$，求$b_1$和$b_2$的值。1.题目描述：对于数列{bn}的前三项，记其前n项和为Tn，若存在m∈N＋，使得对任意n∈N＋总有Tn<Sm＋λ恒成立，求实数λ的最小值。改写后：给定数列{bn}，记其前n项和为Tn，对于任意正整数n，若Tn<Sm＋λ恒成立，求实数λ的最小值，其中m为正整数。2.题目描述：已知b1-1，b2-1，...，bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列。改写后：证明数列{bn}为等差数列，已知b1-1，b2-1，...，bn-1=(an+1)bn(n∈N*)。3.题目描述：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元。(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由。改写后：某食品厂每天需要6t面粉，每吨面粉价格为1800元，每吨面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元。问题一：该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？问题二：提供面粉的公司规定，一次性购买面粉不少于210t时，可享受9折优惠。该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由。1.给定函数$f(t)=t+\frac{4x}{t^2}+\frac{4y}{t^2}-\frac{2}{t}$，其中$x,y$为正数，$t>0$。求证：对于任意$t_1>t_2>0$，都有$f(t_1)>f(t_2)$，且$f(t)$在$t=2$时取得最小值$\frac{33125}{424}$。证明：首先，我们有$$f(t_1)-f(t_2)=\frac{t_1+t_2}{t_1t_2}(t_1-t_2)(t_1t_2-2)>0$$因为$t_1>t_2>0$，所以$t_1t_2<1$，从而$t_1t_2-2<0$。又因为$\frac{t_1+t_2}{t_1t_2}>0$，所以$f(t_1)>f(t_2)$。接下来，我们考虑求$f(t)$的最小值。注意到$t+\frac{4x}{t^2}+\frac{4y}{t^2}-\frac{2}{t}$可以写成$t+\frac{2}{t}-2+\frac{4x}{t^2}+\frac{4y}{t^2}$，而$t+\frac{2}{t}-2$的最小值为$0$，当且仅当$t=2$时取得。因此，我们只需要求$\frac{4x}{t^2}+\frac{4y}{t^2}$在$t=2$时的最小值。由均值不等式，有$$\frac{4x}{t^2}+\frac{4y}{t^2}\geq\frac{8\sqrt{xy}}{t^2}$$当且仅当$x=y$时取等。因此，$f(t)$在$t=2$时取得最小值$\frac{33125}{424}$，当且仅当$x=y$且$t=2$时取得。证毕。2.已知两个等差数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，它们的前$n$项和分别为$S_n$和$T_n$。已知$S_{13}=5\times13+10a_{13}$，$T_{13}=2\times13-115b_{13}$，求$\frac{a_1+a_{13}}{b_1+b_{13}}$的值。解：根据等差数列的求和公式，我们有$$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$$$$T_n=\frac{n}{2}(b_1+b_n)$$因此，$S_{13}=\frac{13}{2}(a_1+a_{13})$，$T_{13}=\frac{13}{2}(b_1+b_{13})$。代入已知条件，得到$$\begin{cases}\frac{13}{2}(a_1+a_{13})=65+10a_{13}\\\frac{13}{2}(b_1+b_{13})=26-115b_{13}\end{cases}$$解得$\frac{a_1+a_{13}}{b_1+b_{13}}=\frac{3}{1}$。3.已知$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=2$。设$M$为线段$BC$上一点，$AM$的垂足为$N$。求证：$\angleANB=\angleAMC$。证明：如图所示，设$\angleBAC=\alpha$，$\angleABC=\beta$，$\angleACB=\gamma$，则$\cos\alpha=\frac{3}{4}$，$\cos\beta=-\frac{1}{2}$，$\cos\gamma=\frac{1}{4}$。由余弦定理，得$BN^2=AB^2+AN^2-2\cdotAB\cdotAN\cdot\cos\angleBAN$，$CM^2=AC^2+AM^2-2\cdotAC\cdotAM\cdot\cos\angleCAM$。注意到$\angleBAN=\gamma$，$\angleCAM=\beta$，因此$$BN^2=9+AN^2-6\cdotAN\cdot\frac{1}{4}=AN^2-\frac{9}{2}+2AN$$$$CM^2=16+AM^2-4\cdotAM\cdot(-\frac{1}{2})=AM^2+8+2AM$$又因为$AN+AM=BC=2$，所以$BN^2+CM^2=AN^2+AM^2+\frac{7}{2}$.又因为$AN+AM=2$，所以$AN^2+AM^2\geq2AN\cdotAM$，从而$BN^2+CM^2\geq\frac{7}{2}+4AN\cdotAM$。另一方面，由向量内积的几何意义，有$\vec{AN}\cdot\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot(\vec{AN}+\vec{AM})=\frac{1}{2}(AN\cdotAB\cdot\cos\gamma+AM\cdotAC\cdot\cos\beta)=-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=-\frac{5}{8}$。因此，$AN\cdotAM=\frac{1}{2}(AN^2+AM^2-BC^2)=\frac{15}{8}$。综上，$BN^2+CM^2\geq\frac{7}{2}+4AN\cdotAM=\frac{47}{4}$。又因为$\angleBAC<90^\circ$，所以$AN,BN,CM$都是正数，从而$\angleANB=\angleAMC$。证毕。根据不等式b2+c2≥2bc，bc+4≥2bc，当且仅当b=c时等号成立，因此S△ABC=331bcsinA=bc≤4/42=3/44。当△ABC的面积最大时，b=c，又A=π/3，因此此时△ABC为等边三角形。(1)解：由an+1=2an+1(n∈N*)得an+1+1=2(an+1)，因此{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。因此an+1=2n，即an=2n-1(n∈N*)。(2)证明：由4/(1-b)-1…4bn-1=[an+1]n.b(b1+b2+…+bn)-n=2nbn可得2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn①，2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1②。将②减去①，得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，即(n-1)bn+1-nbn+2=0③。因此nbn+2-(n+1)bn+1+2=0④。将④减去③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，即bn+2-2bn+1+bn=0，因此{bn}是等差数列。解：由题意知AB=5(3+3)海里，∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45