给臻线性代数

2.4

向量组的秩向量组的极大无关组向量组的秩小结一、向量组的极大无关组定义1

设有向量组

a1

,a

2

,,am

如果它的一个部分组a

i

1

,a

i

2

,

,a

ir

满足：线性无关；⑴

ai

1

,ai

2

,,air⑵向量组a1

,a

2

,,am

中的任意一个向量都可以由部线性表出.分组ai

1

,ai

2

,,air则称部分组ai

1

,ai

2

,,air

是向量组a1

,a

2

,,am

的一个极大线性无关组，简称为极大无关组.例1

a1

=(1,0),a

2

=(0,1),a

3

=(1,1),a1

a

2a1

a

3

a

2

a

3注：①极大无关组可能不唯一；注：②向量组线性无关，极大无关组是其本身；注：③单个零向量组成的向量组没有极大无关组.定义2若两个向量组a1

,a

2

,,as

和

b1

,

b2

,,

bt可以相互线性表出，则称两个向量组等价。记作：{a

1

,a

2

,,a

s

}@

{b1

,b2

,,bt

}等价向量组有如下性质反身性：任意向量组与其自身等价{a1

,a

2

,,as

}@

{a1

,a

2

,,as

}对称性：若{a1

,a

2

,,as

}@

{b1

,b2

,,bt

}则{b1

,b2

,,bt

}@

{a1

,a

2

,,as

}传递性：若{a1

,a

2

,,as

}@

{b1

,b2

,,bt

}，而{b1

,b2

,,bt

}@

{g1

,g2

,,gm

}则{g1

,g2

,,gm

}@

{a1

,a

2

,,as

}定理1

如果向量组a1

,a

2

,ar

可由向量组b1

,b2

,bs

,线性表出，且r

>s

，则向量组a1

,a

2

,ar

线性相关。证明要证a1

,a

2

,ar

线性相关，即存在一组不全为零的数r

1

1

rs

sa

ra1

=

a11

b1

+

+

a1

s

bs=

a

b

+

+

a

b使得k1a1

+k2a

2

+

+krar

=0成立。又\

=

0k1a1

s

+

k2a2

s

+

krarsk1a11

+

k2a21

+

krar

1

=

0=

k1

(a11b1

+

a12

b2

++

a1s

bs

)

++

kr

(ar1b1

+

ar

2

b2

++

ars

bs

)=

(k1a11

+

k2a21

++

kr

ar1

)b1

++(k1a1s

+

k2a2s

++

kr

ars

)bs=

0从而k1a1

+k2a

2

++krar其中，

ki

是未知量推论1

如果向量组a1

,a

2

,a

r线性无关，

可由向量组b1

,b2

,bs线性表出，则r

£

s。推论2两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。性质1

向量组

a1

,a

2

,a

m

与它的极大无关组ai

1

,ai

2

,a

ir等价。推论

向量组的任意两个极大无关组等价。性质2向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同。r

个未知量s

个方程r

>s则方程存在非零解。证毕二、向量组的秩向量组Ⅱ：b1

,,bm已知Ⅰ可由Ⅱ线性表示要证等价，即证Ⅱ可由Ⅰ线性表示定义3向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作r

(a

1

,a

2

a

m

)定理2向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于它所含向量的个数。定理3

相互等价的向量组的秩相等。（反之不成立）a1

=

(1,0),a

2

=

(0,1),

r(a1

,a

2

)

=

2b1

=

(1,0,0),

b2

=

(0,1,0),

r(b1

,

b2

)

=

2定理4如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个向量组线性表示，则这两个向量组等价。证明设向量组Ⅰ：a1

,,an

且ai

1

,,air

为其极大无关组且bi

1

,,bir为其极大无关组a1

,,an

可由b1

,,bm

线性表示ai

1

,,air可由b1

,,bm

线性表示b1

,,bm可由bi

1

,,bir线性表示ai

1

,,air可由bi

1

,,bir线性表示中任一个向量设b

是b1

,,bmai

1

,,air

,b

可由bi

1

,,bir线性表示r

+

1

>

r\ai

1

,,air

,b

线性相关ai

1

,,air线性无关\

b可由ai

1

,,air

线性表示\b1

,,bm

可由ai

1

,