人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 精讲精练（含解析）

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【考点梳理】

考点一空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

考点二空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

考点三证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

考点三求夹角、证明垂直问题

(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝.

(2)若a，b是非零向量，则a⊥ba·b＝0.

知识点三求距离(长度)问题

＝(＝)．

【题型归纳】

题型一：空间向量基底概念与判断

1．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（）

A．B．

C．D．

2．空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）

A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面

3．若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A．B．

C．D．

题型二：空间向量基本定理的应用

4．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（）

A．-B．-C．-D．-

5．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．

A．B．C．D．

6．如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（）

A．B．C．D．

【双基达标】

一、单选题

7．已知是空间的一个基底，若，则（）

A．是空间的一组基底

B．是空间的一组基底

C．是空间的一组基底

D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底

8．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（）

A．B．

C．D．

9．在下列两个命题中，真命题是（）

①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；

②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．

A．仅①B．仅②C．①②D．都不是

10．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（）

A．B．C．D．1

11．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（）

A．B．

C．D．

12．下列结论错误的是（）.

A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

C．若是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底

D．若不能构成空间的一个基底，则四点共面

13．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（）

A．

B．

C．

D．

14．设：，，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

15．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（）

A．B．C．D．

16．已知在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，则（）

A．B．C．D．

【高分突破】

一：单选题

17．在空间四边形中，，，，且，则（）

A．B．C．D．

18．在三棱锥中，，N为中点，则（）

A．B．C．D．

19．在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A．B．C．D．

20．如图，在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，作为空间的一组基底表示向量应为（）

A．B．

C．D．

21．已知，，，，则向量与之间的夹角为（）.

A．B．C．D．以上都不对

22．给出下列命题：

①已知，则；

②、、、为空间四点，若、、不构成空间的一个基底，那么、、、共面；

③已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；

④若、共线，则、所在直线或者平行或者重合．

正确的结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

23．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（）

A．B．C．D．或

24．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（）

A．B．C．D．

二、多选题

25．在以下命题中，不正确的命题有（）

A．是、共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使

C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面

D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

26．关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

D．若，则是钝角

27．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（）

A．B．C．D．

28．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（）

A．B．

C．的长为D．

29．下列命题中，正确的命题有（）

A．是共线的充要条件

B．若则存在唯一的实数，使得

C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面

D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

30．给出下列命题，其中正确的有（）

A．空间任意三个向量都可以作为一组基底

B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底

C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面

D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底

三、填空题

31．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，，，，，则=______，=_______，=_______．

32．设且是空间的一组基底，给出下列向量组：

①；②③④

其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．

33．如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.

34．如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组（x，y，z）=________.

35．已知为不共面的三个向量，，，若，则α，β，λ的值分别为________．

36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．

①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；

②若非零向量，，满足，，则有；

③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；

④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．

四、解答题

37．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量表示，；

（2）若，求实数的值．

38．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.

39．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.

（1）用基底表示向量

（2）化简，并在图中标出化简结果.

40．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，i，j，k，试用基底{i，j，k}表示向量，.

【答案详解】

1．C

【详解】

对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，

所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；

对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；

同理选项D中，共面，故D错误.

故选：C

2．D

【详解】

由空间基底的定义，三个向量不共面，

但选项A，B，C三种情形都有可能使共面，

只有D才能使这三个向量不共面.

故选：D.

【点睛】

本题考查基底的概念，属于基础题.

3．C

【详解】

A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；

C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.

若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，

D：因为，所以向量是共面向量，因此

不能构成一组基底.

故选：C

4．B

【详解】

解：因为，所以,

为的中点，则，

.

故选：B.

5．C

【详解】

如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，

为的重心，可得，

而，

，

所以，，

所以，，因此，.

故选：C.

6．C

【详解】

因为，所以，故.

故选：C.

7．C

假设，即，得，

这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，

故选：C.

8．D

取的中点，连接，

则

，

又因为，

由空间向量基本定理可得：

故选：D.

9．A

【详解】

解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；

根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.

故选：A.

10．B

【详解】

长方体中，依题意，，

，

而，又不共面，于是得，，，

所以.

故选：B

11．A

【详解】

解:

,

故选:A

12．C

【详解】

A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；

B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；

C选项，∵满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，

D选项，因为共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，

故选C.

13．A

【详解】

.

因为分别为的中点，

所以

所以.

故选：A.

14．B

当非零向量，，共面时，不能是空间的一个基底，

由得不出，

若为空间的一个基底，则，，一定不共面，

所以，，一定是非零向量，

所以由可以得出，

因此是的必要不充分条件，

故选：B.

15．B

【详解】

||===，

||=，

则cos∠AOB===，

从而有sin∠AOB=，

∴△OAB的面积S=×××=，

故选：B．

16．C

【详解】

据题意，得，，

所以，

即.

又因为为空间不共面的三个向量，

所以，

所以，所以.

故选：C.

17．D

故选：D

18．B

【详解】

连接，所以，

因为，所以，

所以.

故选：B.

19．D

【详解】

故选：D

20．B

【详解】

连接，如图，

则由向量加法的平行四边形法则可得

.

故选：B.

21．C

因为，

所以，

两边平方得：，

即，

所以，

因为，

所以.

故选：C

22．C

对于①，若，则，故，故①正确；

对于②，若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故②正确；

对于③，当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故③不正确；

对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，

故选：C.

23．C

【详解】

因为=，=，

故()，所以与向量共面，

故，，不能构成空间的一个基底.

故选：.

24．C

【详解】

如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.

如图,则为中点，所以.

所以，

因此，

因为，所以,.

故选：C

25．ABC

【详解】

对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；

必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，

所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；

对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；

对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，

若、、、四点共面，可设，其中、，

则，可得，

由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；

对于D选项，假设、、共面，

可设，

由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，

假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.

故选：ABC.

26．ABC

【详解】

对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以是正确的;

对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，

根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;

对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，

可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;

对于D中，若，又由，所以，所以不正确.

故选：ABC

27．ABC

【详解】

如下图所示，

为的中点，则，

为的中点，则，，

，则，

，

，，则.

故选：ABC.

28．BD

【详解】

由空间向量的加法法则得，B正确，

，A错误；

由已知，

，C错；

，D正确．

故选：BD．

29．CD

【详解】

对于当时，共线成立，但当同向共线时

所以是共线的充分不必要条件，故不正确

对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故不正确

对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确

对于D，若为空间的一个基底，则不共面，

由基底的定义可知，不共面，

则构成空间的另一个基底，故正确.

故选：CD

30．BCD

【详解】

选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；

选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；

选项C中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共