2023年陕西省渭南市统招专升本数学自考模拟考试(含答案)

2023年陕西省渭南市统招专升本数学自考

模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

1

设则下列关于曲线图形/(X)的说法正确的是()

A,既有水平渐近线又有竖直渐近线B,既无水平渐近线又无竖直渐近线

C.只有竖直渐近线D.只有水平渐近线

2.

.设/(j)=we',则尸，O)=

A.(〃+.r)eJB.C.MrerD.

3.

曲面e=2M+V—3在点(1,1,0)处的切平面方程为

A.41+4y—之一8=0ES.4k+4y+之一8=0

C.4J-+4.y—z+8=0D.4.r+4y+z+8=0

4.

设平面曲线C是从点(1,1)到点(2,3)的直线段，则对坐标的曲线积分

，2》曲+&-％)*=()

A.-4B.4C.2D.6

5.

已知a=(l，-2J)，b=z)»且a+b=a-方，则z=()

A.1B.2C,3D.-2

6.

r<rsin.r._

-------.j*¥0,

已知函数/(»=11则在点.r=0处.下列结论正确的是

1♦1=0,

A.a=1时./(.r)必然连续B.a=0时./(.2)必然连续

C.a=I时，/(.r)不连续D.a=-1时J(；r)必然连续

7.

已知2=E5T),则n=0为(

•T

A.连续点B.可去间断点

C.跳跃间断点D.无穷间断点

8.

"1

定积分j'sinidm=

J—1

A.—1

B.0

2

D.

9.

空间直线L；平与平面〃:x+7y—2z=0的位置关系是（.）

A.垂直B.斜交C.直线在平面上D.平行

10.

已知曲线y=：与曲线？=aj--\-b在点（2,；）处相切,则（

—

A.a=--7B・a=!?

164164

_13

rC.Q--J)——D.Q=J.6=g

164164

11.

下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有（）

A.y—sin2],二。♦£[B.>»=|x|[一1,1]

C.y=COS3I,[OF]D.)=弋/—1.[-2,2]

微分方程y"+y=l的通解是()

A.歹=。恒5X+1,其中。为任意常数

B.y=Csinx+l,其中C为任意常数

C.);=C]cosx+C2sinx+l,其中G，G为任意常数

12D.y=Gcosx+Czsinx-】，其中G，G为任意常数

13.

直线L与、T轴平行且与曲线y=e，相切，则切点的坐标是

A.(1,1)B.C-1,1)C.(0,-1)D.(0,1)

14.

设A.B是对称矩阵•则下列结论中正确的是

A,,4B是对称矩阵B.A+B是对称矩阵

C,A可逆IXAB可逆

15.

设/(彳)是连续函数,则f(/)山是

AJ”的一个原函数B../'(.<)的全体原函数

C.2.r•f(j2)的一个原函数D.2.r«/(./)的全体原函教

16.

下列级数中发散的是（)

®1CDZ

RVn

A.y-B-z诵

n«l3

17.

jrzsinad.r=

-TVB.-JTD.O

18.

已知ynsin'+sinxt则曳=()

-dx

A.sin2x+2xcosxzB.2sin^+2xcosx2

C.sinIX-IXCQSX1D.2sinx-2xcosx2

19.

极限!叫（貂）=

A.eTB./C.e1）.eT

20.

3=0是函数/（?）=~V的

（）

e~

A.可取奇点B.本性奇点

（',简单极点D,非孤立奇点

21.

设月,8,。均为〃阶方阵，则下列叙述正确的是C)

A.(AB)C=A(BC)B.若力9=4C,则3=C

C.若43=0,则以或3=0D.若/2=月，则/=后或月=。

22.

已知f⑺=E'/D,则n=0为

A.连续点B.可去间断点

C.跳跃间断点D.无穷间断点

23.

若A为苻阶可逆矩阵，下列各式正确的是

A.(2A)-1=2A1B.AA,=\A\E.,

C.(A1>-*=D.[(AT)r[T=[(4力7了

IA|

24.

下列极限存在的是

C.lim-D.limJ二七二

t-04--8Xx

25.

若函数y=7(u)可导•〃=e，•则dy=

A./'(e,)dwB./(er)d(e")

C.f'(.r)e‘da-D.［/(eD了dF

26.

雄是

1

e

B.

C

0

D.

27.

若/"(jr)>0(0<tVa),且/(0)=0.则下面成立的是

V/(J)>0B./(jr)在［0,a］上单调增加

二D./(z)在［0,a］上单调增加

28.

设=言三;.则其实部和虚部分别为

132132321八132

丁L，--4_-----------Luf»__,I_、_----------------------X-*_I_tA_――^―LZac_,II---__

2525252525252525

29.

曲线/⑺〜片的水平渐近线为

?2

A.y)8一=一彳

30.

,如果函数/(%)在点岛处连续，并且在点看的某个去心邻域内〃x)>0,那么

()

A，/(x0)>0B,/(x0)>0

ufM=OD./(x0)<0

二、填空题(20题)

tjc=

曲线！在点(一Hl)处的切线方程为

31.…

32.设二元函数z=y*-ln3,则全微分dz上

Xi

/（x）=\的第一类间断点为.

33.工一1E

已知函数F（.r）是J3）的一个原函数.则不定积分［〃2_r）cLr=

33.J

36.

abed

cbda

设4阶行列式设=为其代数余子式•则A,+Az&+A.+AU=

dbea

abdc

flC2y

交换一次积分/=dyl（.r.y）d,r的积分次序，则I=

37.______JQJ。•,____

1jr24-j'->sinjr2.

-------------------------------ClT

2—11+/

38.

39.

'sinr+e2”-1

工Ko,

设函数/(.JC)=«在(一oo,4-00)上连续.则a=

ufJT=0

riri

4（/⑺=IT?

J0J0

j

设函数/(or)在X=J,处可微.且J(x9)W0.则当|AzI很小时，/。0+

若z=a"+e|",｛工$+2-tan.则竟|〔

42.

I、定枳分c（）S2JCIJ-=

43.J

恭级数£(-iy/二/的收敛域为

44.n-l"+1

45函数小)="的极大值是

siru.

i।a~di

46J1+c。一

函数.y=/1)由参数方程『:"’所确定.则学]

47.[y=

g

嘉级数£(〃+"r"的收敛区间为

48.£

..COtJC

hm-k

49.』一"cotJy

50.

己％I/(/)==MD满足条件/i(0)=3J,(0)=7,则\/[/心)]

三、计算题（15题）

51求微分方程./=1+（./）2的通解.

设函数y=Q"一%.产加,求坐.

52.'d-r

—»x>0,

已知/（X）=，1+J求J/（x）dr.

求不定积分

4\—d_r,

求极限limcotjr«(------------

x-o\sinj'文

设3=八瓜r）e，s.其中y可微,求笠.

求定积分

已知y=ln(jc+Jc?+工2),求y

屋之一产

59.

求不定积分«dz,

+3

60.

OUDX

求她（1+力

61.

62.求定积分（w+J2父一）da'

Jo

63.

计算二重积分卜3,也也丫,其中D为由曲线》=/4一♦与立线丫①及宜纣

D

围成的平面闭区域.

设y=xjl-x?+arcsinx,求y'.

64.

65.

已知函数/（»具有二阶连续导数，且满足八2）=/,，（2）=。及/（,r）d.r

-0

jr2/yr（2jr）dr.

JD

四、证明题（10题）

66.

求抛物线.y=1/及其在点(1.0)处的切线和3轴所用成图形的面积•并i

形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

67证明:当0V1(式时-|2COSJT<2.

68.

证明：当1>0时,ln(］+x/TT?)>「.

69.

设1,证明：泌1(。一〃)<a"-bn〈檎i(〃一力.

70.

设/(X)在［0,门上灯导，/(工)单调递减且/(0)=0,用拉格朗LI中隹

意a.鼠0&&c,恒有f(a+b)</3+fM

71.

证明不等式：生二I<&%<"二H其中〃<m为正整数.

mnn

72.

，设函数/(才)在［0,门上连续，在(0.1〕内可导，且/⑴=1,证明，在(0.1)I

一点3使得/（£>+&%）-2g=0成立.

73.

设函数门外在闭区间［0,1］上可导,且/（0）・/U）<0,证明在开区间（0,1）内!

一点&使得2/（^）+/（»=0.

74.

设/行）在［一。,。［上连续（a>0,为常数）•证明"/（J）dj=p［/a）+/（-J-）］d.

J-aJO

并计算J1$"一.

证明：当”>0时，有（1十①）1似1十z）>arclan.r.

75.

五、应用题（10题）

76.

求曲线y=Inr在区间（2,6）内的一点，使该点的切线与直线e=2,x=

3=In.r所围成的平面图形面积最小.

证明：对女>。，有白金>1+^-

77.22

7Q某商品的需求函数为2=/（p）=75-p2,

(1)求需求弹性函数；

(2)求p=5时的边际需求；

(3)当尸为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？

79.

某房地产公司有"50套公寓要出租.当月租金定为2000元时.公寓会全部租

租金每增加loo元时.就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需二

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

80.

一工厂加工某种产品，固定成本1万元，每多生产一百件产品，成本增加2万元，

总收入R(单位：万元)是产量Q(单位：百件)的函数，设需求函数为。=12-2P.

Cl)求利润函数；

(2)产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

(3)当价格尸=3时的需求弹性，解释所得结果的经济含义.

81.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡•公司的成本函数=40000+200./-

0.002酎,收入函数R(,r)=350,r-0.004三.则生产多少辆自行车时,公司的利润最大？

82.

设平面图形Q由曲线丫=工和直线y=n=2及/轴围成.求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕汇轴旋转一周所得旋转体的体枳.

83.

过点M（3,0）作曲线3=lnCr—3）的切线,该切线与此曲线及m轴围成一平

试求平面图形D绕才轴旋转一周所得旋转体的体积.

84次。垃小山做石"+v=2和1轴.所爆我伪平而区域，

求：：1）平面区域D的面积S：

（2）D绕下扫泥茸一周而成的旋转体的体积V.

85.

设某产品的需求函数为0=200-4p,其中p为价格，。为需求量，求边际收入函

数，以及0=50和100时的边际收入，并解释所得结果的经济意义.

六、综合题（2题）

86.该曲线的方程；

87.

设/Cr）在（一8,十8）内有一阶连续导数,且/（O）=0,存在_/〃（0），若FCr）=

,工/0,

VT'（D求F'Cr）"2）说明「"G•，在（一8,48）上的连续性.

/（0）.H=0,

参考答案

l.A

ii

A解析:考查曲线的渐近线.由得水平渐近线为y=l；由lime©=8得

X-M»x->r

垂直渐近线为x=L

2.A

【精析】因为/'(">=(a+1)c"./"(a，)=Q、+2)c"♦/"(1)=(.r+3)c”,…，

/'"'(a，)=<j'+”)/.故选A.

3.A

［答案］A"一一

z3

【精析】令F(.r,y・z)=2x+?'—%—3,则Fr=4.r,Fy=4v.Fs=—

(1,1,0)处的切平面的法向量为E，4,—1}•故曲面在该点处的切平面方程

+4(.y—1)—z—0,即4<r+4.y—*—8=0.

【评注】平面曲线。的参数方程可记作

4BJ.2x&+(y-刈dp=J；［2x+(2x-l-x>2］dr=4,所以,选B.

5.C

C

【评注】a+Zz=(0,—1,1+z)>o-=(2,-3,l-z)»a+b,所以有a+右a—b

即】+Q+Z)2=4+9+(1-Z)Z,得Z=3.

6.A

［答案］A

【精析】lim/'(x)=lim=a.又知/(O)=1♦故a=1时"Q)必i

,r-*0r-»OJT

7.B

【精析】函数/(工)在点i=0处没有定义，故为间惭点.又皿L±三2；

lim土=1,故/=。为函数的可去间断点.

10JT

8.B

【精析】由于八①)=>sinz为奇函数，且积分区间关于J

应选B.

9.D

D

【评注】直线七2=匕1=三的方向向量是:二(3,1,5),平面〃:x+7y-2z=O的法

315

向量是:二(1,7,-2),可知;;二0,所以直线与平面的位置关系是平行，选择D.

10.B

【精析】曲线V=§与曲线)2=++♦在(2，)处相切，故

yi(2)=y?(2),日-；(2)=y；(2),

r1rI

5=4。+〃，a=——,

/16

即=1

1,3

11.A

［答案1A

【精析】B选项中，函数在/=0处不可导;C选项中.式0）半.y（“）；D选项中，函数在

x=±1处不可导；A选项中，函数在10.夕上连续.在（U,占）内可导.3（。）=）（5）.

符合罗尔定理条件，故选A.

12.C

【评注】原方程化为3-1）"+（＞-1）=0,这是一个关于函数y-1的齐次方程,由其特

征方程为户+1=0的特征根为（2二土i，故通解为y-l=Gcosx+Gsinx,即

y仁Gcosx+C2sinx+1.

13.C

【粘析】由导数几何意义，切线斜率A=『=1一/乂切线与a轴平行，故A=04

1--=0,解得7=p,代入曲纨方程3，=Z一1得y=—1，所以切点坐标为（0,一I）

14.B

[:春窠]B

01

【精析】AB不是对称矩阵,A、，3均不

2

可逆•故A、C、D均错误.（A+B）T=iT+Br=A+B,故A+li是对称矩昨

15.C

29

【精析】（/⑺山丫=2］/（＞）,即「/⑺山是2「/（/）的一个原函数.

'JU/JU

C

■「【评注】本题考查的是比值判别法及比较判别法.

lo.C

17.D

由于y=/sini为［一互*用上的奇函数，故|-Nsirudr=。.本题选D.

18.A

【精析】=lim(l十二J)'=e.

19c力・3122十1/4・312N丁I)

20.B

［答案］B

【精析】/(=)=—L由e、=、得e-=21(—L"=，J(—1尸

?〃！大〃！之念讣!之

故f⑺的洛朗展开式含有无穷多个负幕项,因此％=0为,/(z)的本性奇点.

A

5人【评注】本题考查的是矩阵的性质.

21.A

22.B

【精析】函数/Cr)在点才一。处没有定义，故为间惭点.又lim/(r)=lim皿主三2

lim—=1,故：r=0为函数的可去间断点.

1。・r

23.B

［答案］B

【精析】(24)*1=1A(A-)'=(II|A'}'=14-r/U［(A')'11

NIA|

［(Ai)丁,故A、C、D均不正确.

1.1

T_(_1r+/

A项，Iim——；—=lim-——厂一=0•极限存在：

24.A--1

B项JimJ--=8,极限不存在；

C项,lim—=8,极限不存在：

r•<)/

D项.limJ"'+-=limAr+—=<x?•极限不存在.

JT•&©yKTjr.8YJF

25.B

［答案］B

【精析】由一阶微分形式不变性可知，dy==f'(u)du=/r(eJ)d(<

26.C

【精析】呵言J'=1叫(1+占1］(1+±」

应选C,

27.B

>0只能说明小3是［0,口上的增函数.而A、C、D中结论无法得到.

28.A

［答案］A

【/析】_(1—i)‘一1一(1—i)2(l-—i)-1_(-2i)(—2i)(l—i)-1_

I精斫I'=(］+第+i=(i+i)­i+>(］+»+i=(2i)(2i)(l+i)+1=

-5+4i——I—32i

—3-4i―25°

29.C

【精析】lin"Q')=Um—~-=!.则y为曲线f(工、的一条水平?

1-8r-*oo3~厂J3

选c.

30.A

【评注】因为/(外在x=0处连续，所以有=又由在x°的某个去

JT+r0

心邻域内/(x)>0知，lim/(x)A0,由此得/(3之0,故选A.

31.

［答案］>=-2J-1

【精析】点(一1,1)处对应的/=-1.

y=-7-7-=2九切线斜率k=y'=-2.

If)r=T

y=—2_r—1所以切线方程为y—1=-2(z+1).即3=-2-r—1.

32.

yxln>»dx+xpr-ldy

33.x=O,x=l

L答案」r=0,r=1

【精析】由函数式子可知间断点有才=().，=1.^=-1.

J1

对于r=0点~~、'七，=lirn-----\=-1,故工=0为第一类间断点;

/.f»U111►<|•1

JT-1T

1_L

对于，=1点Jim/(彳)=litnJ~r=lim二==。，故耳=1为第一类间断点；

if1.ff］1_1.1-*1ji~r1

1一1Jr

1I

对于1=T点.limf(.r)=limJ7+1--lim—.故h=-1为第二类间

.r--J,i--一】］_.r--JTT-i

.r-1.r

断点.

34.3

2

由等比级数的敛散性知勺----'=3.

【精析】

35.

［答案］|F(2,r)^C

②

yF（2.r）+U【精析】/)dr=1|./■(2.r)d(2.r)=:广(2.r)+(二

b1

c6cf1

t精析】A+A+41+==0.

n24dt>c1

36.0abd1

37.

*2ri

ckr/Q”)d;y

38.

7T

22

5,、

【精析】上是偶函数."il］上是奇函数,故鲁m

7.1］上是奇函数,由奇函数在对称区间上的积分性质可得

「252121

T:4-j-sinrfr,f1

i「-dr=~~7dl+0=(1——~T)d.r

J-i1+.rJ-il+rJ-i1+r

1

=(a-arctanj)=2-工

21

39.

一1

【精析】lim-------------=\=1+2%令1+2。=a,贝"〃=—1

尸*0X•r-Q\X萋)

即当a=—1时・“£)在父=0处连续，进而在区间(-8,+8)上连续.

40.

n

T

【精析】定积分『/")心是一个常数，设「f*)d.r=A,等式两端同时在区间［0,11

J0J0

上积分得

,1ri1ri

A—/(j-)dj-——―^di+八1心，

JoJo1-rJJo

iri

即A=arctanx+Ax3d^,

oJ0

朱才农*AZ农力新

即人=一"+?八,

44

解得f(i)(Lr=Y-

00

41.

/(./)+/"(Q&r

由微分的定义可知•/(.?-o+A.r)JLr0)+f(Jo)△工

a、

c八因为Ma・0)=0,所以孙(i,0>=。.故f=0.

4712.0rZr(1.0)

43.

-^-sin2x+C

cosZ.rclr=彦cos21d(2心=JsinZi+C

44.

i,-解析；考查幕级数的收敛域,收敛半径出=，,当工=±工时级数都收敛,

22]22

故收敛域为-工,工

22

45.

【精析】/'(])=2jce-r-X2e~r=e-r•、r,(2—i).因此当w<Q时./'

r

0VJTV2时,f(JC)>0;当7>2时,f(工)V0.因此可知jr=2时.f(w)J

极大值为当.

ez

46.

—arctanCcosj)+C

[答案]—arctan(cosj')4C

【精析】I.呼-d.<=—[,--------r-d(coSv<)=—arcatMcow)+C'.

J1+COS-J-J1-I-COS"J"

47.

36

4a-

48.

[答苞M)

【精析】因为R=lim2

If—*littrf-j«-*■，1I"/

(-1.1)所以收敛区间为(一LI).

49.3

■近*CT1'COIHi-cos%sin3jrsin3x.■3cos32

【精析Jhm-----=hm———•------=rlim—......=lini----------=o3.

l*cotJa:msinJ:cos3J:b”sinrcosx

50.

7(61n3+3)

【精析】/'(])=2ilni+i.

?/[/“？)]=/[/2(/)]•h\t)|/=o=/(3)-7=7(61n3+3).

ati

【精析】方程不显含令/=

原方程化为力'=1｛炉.

I”,=d一两边积分得•arctan力=J-\C,・

故户=lan(iI(\,即了'=tanf.r\(；).

再积分得原方程通解:y=-Incos(.r|g)||Q.

其中G・3为任意常数.

52.

【精析】两边同取自然对数.得

ln_y=cos2i-lnC.r2—3a、）,

两边同对不求导，得

一•y=-2sin2^ln(.r2-31)+cos2、r-今-----*

y:r—"

trs111，「(3)cos2./,'Qizo-

用「以y=y-----；------------Zsin^j'lnCj'-

'〜—31

=(M-3］尸-2sin2aln(j'2-3.z>

—3a-

53.

解;匕外机=£*小£学

1=1-ln(l+e”］：=ln(l十e)-In2

其中m：

££必寸土d(x+l”g(„2

所以fJ(x)ix=In(1+e).

54.

【精析】原式=---1；dx-I-—也

，1—4rJ\1-4#

=j-d(2T)十［I—d(］4,r")

2Jyi-4JT28JJ\-4丁”

=-^-arcsin(2jr)\.*2(1—4MAIC

Lo

=farcSin(2x)I1尺寸+C.

55.

-=上+用上_3J,、z---—-Z---

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丁。一•-Jr丁一一叫齐不

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miw——2、Tsoolu-I=

1

Ja2+炉

59.

解:令x=sec九则烝=secltan/dr.当.x=J2时.才二二：当、=2时.

4

牙JTJT1

所以原式=13sefTtaw打二fjccszdr二sinf?==-(JJ—VI).

J4Jsec^/tan/J74)42

60.

【精析】令/r】3=/3,则

r!r_牙r

/Td.r=-———•2zd/=2(/一3>出

JJx+3J1,

=-6rs+9)山=方产-4d+⑻+C

=--(./j:十3，)'—4(一―+3'>"+18\//+3,+C.

e

62.

，2上—M)d、r=1d1，21一Mdr

J0J0J0

=*—A/1—(1—j)2d(1-J)

/oJo

=2-yi-d-^)2d(1-x)

J0

令/=1-J'I).

—一一一一2+y/]—rd/

J—i

=2+(y«rcsin/*+/1—产)|=2+y.

63.

.【将析】平面区域D如图所示.选择极坐标计算,边界y=M尸F可表示为r=2・

边界y=2可表示为r=2,故区域D可表示为：。4M，2VrW上.

5111(74

，了dLrd_y=(rcosj?)(rsin^)•rdr.H2-21

rJL»-Z.

=d£3~(cosd•s.in^)•rdr

J亍h

r号i

=覃45山如。叫硒-1)]加

第17题图

=4rf—[sin0cos0d0"

sins&Jf

1T#

=4/—..\2sin"8

\2sin-0/|f

=1.

64.

Agf./-21-X11—4一工+1

解：V=b-Vl-X+牛，―L-+•/=，==---T=—=241-£.

Jl*Vl-X2Vl-X2

65.

K精析】//"(2工)dr=-I//"(2i)d(2z)=—/djlz”)

=[12/(2”)/'(2")•2”cLr

2LoJo.

=—zd/(2r)=--yJ:JC2JC)I—j/(2工2工

y-yf/COdf

Z乙J3

66.

【精析】平面图形如图所示.因y=一2二.所以为=-2,

从而经过点(1,0)的切线方程为？=一21I2.

所求平面图形的面积为

(T*—2工+DCIJ-

3,

该图形绕“轴旋转一周所成旋转体的体积为

V=1n•1?•2-x(1-j))dy

3Jo

67.

t证明】令/(i)=jsinj,-2COSJT—2,

则/'(x)=sinx+xcosj-2siihr=jcos-r-sinr,

//(a)=COSJT-jrsinj--COSE=-jrsimr.

当0<JTV兀时•/'(］)V0,于是单调递减，

且Z(x)在［0,w］上连续，所以/'(«)</(0)=0,于是八外单调递减,

所以/'(j?)V/(0)=0,即zsin/+2cos/一2•<0.结论成立.

68.

m令/⑴=ln(1+Jl+『)测

J1+/___

八匕+J扁-1+/

1=------1--------

TH771+r(l+r)

2

=—=?---->0.

71+?(1+?)

所以，/⑴在［0,+8)上单雕增，则如>0时有

/Cr)>/(0)=0,

故当工>0时/n(i+71+r)>-J.

71+r

69.

【证明】设/（.r）="

显然/（1）在闭区间上连续，在开区间5g）内可导,

由拉格朗日中值定理得，

在（6,〃）内至少存在一点久

使得/（。）一/。）=/（£）（«-6），

即an-bn=惬i（ai=

又因为/尸<广］<，

所以汕1（4一，）<a"-bndkc-b）.

70.

当a=。时,显然成立.

当a>0时，因为于⑺满足拉格朗U中值定理条件,所以必有&€（。皿），使

———0)=r（&），

a—0

同理,必有&€S,a+ZO,使得

.「《a+一f(b)

=/(&)，

a+b-b

又因为&>&•且*，）单调递减，所以/（&）>/'（枭），从而

于《找）、户或+b1—/S）

即

/(a)体/⑷>/Xa+6),

综上所述,

f(a+A>W/Q)+fM

71.

【证明】设/(彳)=Inz,易知f(.r)在区间［〃，/〃］上满足拉格朗H中值定理条件

即至少存在一点使得

ln/〃—ln〃_1

-------------------,

m—nc

又因为OV"<Zg<"1,故上V-r<c从而有

mgn

1/In/zj—\nn1/1

—<---------=工v-，

mm-ngn

整理得丝nvin竺<生」.

mnn

72.

【证明】设FQ)=.行《1)—/,

因为fQ)在［0,1］上连续，在(0，l)内可导，

所以F(J)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导.

又/⑴=1・

F(0)=0■/(O)-02=O,F(1)=1・/(I)-I2=0.

即F(o)=F⑴,

故在(0,1)内至少存在一点§使尸(公=0,

即/(6+U'(。