2022年湖南省岳阳市湘阴县东港乡中学高三数学理上学期摸底试题含解析

2022年湖南省岳阳市湘阴县东港乡中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在一个周期内的图象是

A

B

C

D参考答案：B2.下列说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略3.函数y=3|log3x|的图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】作图题；转化思想．【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：y=3|log3x|=，即y=由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，考察四个选项，只有A选项符合题意，故选A．【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．4.已知函数，若，且，则的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.【详解】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则

设，则当时，，则单调递减当时，，则单调递增本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.5.若a、b是任意实数，且a＞b，则(

)A．a2＞b2 B． C．lg（a﹣b）＞0 D．参考答案：D【考点】不等式比较大小．【专题】综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．6.函数的图像大致是参考答案：A7.由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（）A． B． C． D．4﹣ln3参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【解答】解：由xy=1得，由得xD=1，所以曲边四边形的面积为：，故选C．【点评】本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．8.若

（

）

A．

B． C． D．参考答案：答案：C9.已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜4 B．0＜m≤4 C．﹣4＜m≤0 D．m≥﹣4参考答案：C【分析】把函数的定义域是R转化为﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，然后对m分类求解得答案．【解答】解：∵函数的定义域是R，∴﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．10.下列各式中，值为的是()A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知在边长为2的等边△ABC中，D是BC中点，，则

.参考答案：-1

12.满足的实数的取值范围是

参考答案：13.函数的定义域是

参考答案：（-3，2

）14.在中，角A，B，C所对边分别为且，面积，则=

．

参考答案：5

：：∵，面积，∴，由余弦定理得，∴．

故答案为：5．15.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：

①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；

②若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；

③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；

④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P．

其中正确命题的序号为

（写出所有正确命题的序号）参考答案：【知识点】棱锥棱柱G7②③解析：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1，底面边长为b，

图（1）中水的体积为，图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），

所以b2h2=b2（h1-h2），所以h1=h2，故①错误；又水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，所以③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故④不正确．故答案为：②③．【思路点拨】可结合已知条件先判断出水的体积占整个容积的一半，再通过计算判断①④是否正确即可.16.在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则=

．参考答案：32【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则?=||?||?cosA=5×8×=32．故答案为：32．17.等边△ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将△ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，…，G9，则|（）+（）+…+（）|=

。参考答案：【知识点】向量的加法及其几何意义A1因为△ABC为等边三角形，边长为2

∴，且，=故答案为.【思路点拨】将所有的向量用，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项等比数列{bn}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若cn=，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；（2）通过对cn=分离分母，并项相加即可．【解答】（1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，∵b3+b5=40，b3b5=256，∴，解得q=2或q=（舍），又∵b3+b5=40，即=40，∴b1===2，∴bn=2×2（n﹣1）=2n，∴an=log2bn+2=n+2，∴数列{an}是以3为首项、1为公差的等差数列；（2）解：∵cn==﹣，∴Sn=﹣+﹣…+﹣=﹣=．19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．参考答案：【知识点】离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率.K5

K6

【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.896．解析：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800．

…4分P(X＝4000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2．∴X的分布列为X40002000800…………6分（注：每个概率1分）（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1，2，3），…………8分由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i＝1，2，3）．∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P＝×0.83＋C×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………12分【思路点拨】（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，再依次计算出各自的概率，然后列出分布列；（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1，2，3），由题意知C1，C2，C3相互独立，即可计算3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.20.已知是一个单调递增的等差数列，且满足,，数列的前项和为，数列满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.参考答案：(Ⅰ)设等差数列的公差为,则依题知.由,又可得.由,得,可得.所以.可得

……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得当时,当时,满足上式，所以所以，即,因为，所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以前项和

………12分21.已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的