线性系统理论离散线性系统理论

线性系统理论离散线性系统理论第1页，课件共51页，创作于2023年2月为系统的输入解耦零点；称满足为系统的输出解耦零点；的定义11.1.1对于系统（11.1.5）

我们称满足的11.1离散动态系统的数学描述11.1.1离散系统的状态空间描述第2页，课件共51页，创作于2023年2月11.1.2

脉冲传递函数矩阵

脉冲传递函数矩阵为的有理分式矩阵，并且通常只讨论为真的和严格真的情况，因为非真的将不具有因果性，即会出现还没有加入输入作用而已产生输出响应的现象，这是不符合一般的物理可实现性的。称满足的为系统的传输零点。

第3页，课件共51页，创作于2023年2月11.2

离散动态系统的运动分析

从数学角度看，线性离散系统的运动分析，归结为对时变的线性差分方程或定常的线性差分方程进行求解。第4页，课件共51页，创作于2023年2月第5页，课件共51页，创作于2023年2月.令，则由已知和，从式（11.2.1）求得(为给定问题的时间区间末时)11.2.2线性离散系统的运动规律定义11.2.1矩阵差分方程和

第6页，课件共51页，创作于2023年2月的解阵和分别称为线性时变离散系统和线性定常离散系统的状态转移矩阵。第7页，课件共51页，创作于2023年2月和线性定常离散系统定理11.2.1令和分别为线性时变离散系统

的状态转移矩阵，则其表达式分别为

第8页，课件共51页，创作于2023年2月所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为

和

其中

定理11.2.2对于式第9页，课件共51页，创作于2023年2月所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为

或

其中，是系统的状态转移矩阵。定理11.2.3对于

或

第10页，课件共51页，创作于2023年2月11.3

线性连续系统的时间离散化11.3.1实现方法下图是将连续时间系统化为离散时间系统的一种典型情况。受控对象是连续时间系统，其状态，输出和输入都是时间的连续函数向量。控制装置由数模转换器、数字计算机、模数转换器构成。它只能输入离散时间变量，并输出离散时间变量，其中离散时间序列。第11页，课件共51页，创作于2023年2月第12页，课件共51页，创作于2023年2月11.3.3

基本结论定理11.3.1给定线性连续时变系统则其在基本假设下的时间离散化模型为

并且两者的系数矩阵间存在如下的关系式：

第13页，课件共51页，创作于2023年2月其中，为采样周期；是连续系统的状态转移矩阵，第14页，课件共51页，创作于2023年2月定理11.3.2在前述基本假设下，线性连续定常系统的时间离散化模型为其中

第15页，课件共51页，创作于2023年2月推论11.3.1时间离散化不改变系统的时变性或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常系统。推论11.3.2不管连续系统矩阵或是否为非奇异，但离散化系统的矩阵或将一定是非奇异的。推论11.3.3对于连续系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必是非奇异的。第16页，课件共51页，创作于2023年2月称为是稳定的，如果对于任给的11.4离散时间系统的稳定性11.4.1离散时间系统的Lyapunov稳定性定义11.4.1离散线性系统的平衡点及任何非负整数，存在使当时，有

对于所有成立。第17页，课件共51页，创作于2023年2月，使得当无关）及任意非负整数称为是一致渐近稳定的，如果它是一致稳定的，同时对每个称为是渐近稳定的，如果它是稳定的，同时存在一个定义11.4.2离散系统的平衡点时，有

定义11.4.3离散系统

的平衡点，存在一个（与和及一（与无关），使当第18页，课件共51页，创作于2023年2月时，对于所有，有

对于所有成立。定义11.4.4离散系统

的平衡点称为是指数稳定的，如果存在一，且对每个，存在使当时有

对于所有成立。第19页，课件共51页，创作于2023年2月第20页，课件共51页，创作于2023年2月称为是大范围一致渐近稳定的，如果1.它是一致稳定的；2.方程的解是一致有界的；3.对任何时趋于零。定义11.4.8

该离散系统的平衡点称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并且方程的每个解当定义11.4.7

该离散系统的平衡点，任何及存在（与无关），使得当时，有

对于所有成立。第21页，课件共51页，创作于2023年2月定义11.4.9离散系统

的平衡点称为是大范围指数稳定的。如果存在，并对任何，存在，使当时，有

对于所有成立。第22页，课件共51页，创作于2023年2月定理11.4.1（离散系统的大范围渐近稳定判据）对于离散系统

11.4.2离散时间系统的Lyapunov主稳定性定理如果存在一个相对于的标量函数，且对任意满足：1.为正定的；3.当时有

则原点平衡状态，即为大范围渐近稳定。2.负定；第23页，课件共51页，创作于2023年2月第24页，课件共51页，创作于2023年2月

时，系统的原点平衡状态，即推论11.4.1对于离散系统（11.4.1）

设，则当收敛，即对所有，有

为大范围渐近稳定。第25页，课件共51页，创作于2023年2月的最小多项式的单根。2.其唯一平衡状态是Lyapunov意义下稳定的充要条件是，定理11.4.3对于线性定常离散系统（11.4.5）有：1.其每一个平衡状态的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的那些特征值是11.4.3线性离散时间系统的稳定性判定的全部特征值第26页，课件共51页，创作于2023年2月第27页，课件共51页，创作于2023年2月第28页，课件共51页，创作于2023年2月

一致渐近稳定的充要条件是对于任何一致有界、一致对称正定的阶的对称矩阵，如果存在定义11.4.10设为一，使得对于所有的均成立

便称矩阵为一致有界、一致正定的。定理11.4.5离散时变性系统

矩阵Lyapunov差分矩阵方程

第29页，课件共51页，创作于2023年2月第30页，课件共51页，创作于2023年2月由式（11.4.12）定义，则多项式

11.4.4Schur-Cohn判据

定理11.4.6

（Schur-Cohn判据）已知由式（11.4.11）表出的多项式为Schur的充要条件是

此处规定。第31页，课件共51页，创作于2023年2月11.5

离散时间系统的能控性和能观测器11.5.1能控性和能达性第32页，课件共51页，创作于2023年2月第33页，课件共51页，创作于2023年2月第34页，课件共51页，创作于2023年2月

其中，定理11.5.4（定常离散系统的秩判据）当为定常时，线性离散系统（11.5.1）为完全能控的充要条件是

为系统的维数。第35页，课件共51页，创作于2023年2月推论11.5.2考虑单输入定常离散系统

其中，为维状态向量；为标量输入；假定为非奇异。当系统为完全能控时，可构造如下的控制

使在步内将任意状态转移到状态空间的原点上。第36页，课件共51页，创作于2023年2月的任意非零初态定义11.5.2如果对初始时刻，都存在有限时刻，且可由上的输出唯一地确定则称系统在时刻是完全能观测的。

第37页，课件共51页，创作于2023年2月定理11.5.5（时变离散系统的Gram矩阵判据）线性时变离散系统（11.5.15）

为完全能观的充要条件是，存在有限时刻，在时刻，使如下定义的Gram矩阵

为非奇异的。第38页，课件共51页，创作于2023年2月定理11.5.6（定常离散系统的秩判据）线性时变离散系统

为完全能观的充要条件是

或

第39页，课件共51页，创作于2023年2月为标量输出。当系统完全能观测时，可只利用推论11.5.3考虑单输出定常离散系统

其中，为维状态向量；步内的输出值而构造出任意的非零状态第40页，课件共51页，创作于2023年2月11.5.4规范分解与规范型

定理11.5.7定常线性系统

代数等价于下述按能控性结构分解的规范型

第41页，课件共51页，创作于2023年2月其中，维能观分状态向量，即按能观性结构分解的规范型