大学物理-第三章课件

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转动（rotation）：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。3

刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+三刚体定轴转动的角速度和角加速度转动平面角位移

角坐标<0q0>q规定逆时针转动

顺时针转动

角速度矢量

方向：右螺旋参考方向角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标。定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转向可用角速度的正负来表示。3.2转动动能转动惯量一转动动能M刚体的动能：ri任一小质元动能：质量连续分布：I－转动惯量（rotationalinertia）转动惯量的计算

1计算公式－质量不连续分布－质量连续分布－线分布λ＝m/l－面分布σ＝m/S－体分布ρ＝m/V2

决定I的三要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置O´O

解

设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元

例1

一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量

.O´O如转轴过端点垂直于棒例2圆环绕中心轴旋转的转动惯量例3圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR3

平行轴公式P

质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO圆盘对P轴的转动惯量：O均匀细棒的转动惯量

4

(薄板)垂直轴公式ML

求对圆盘的一直径的转动惯量已知

yx

z

圆盘

R

C

mx,y轴在薄板内；z

轴垂直薄板。zxyAm,

lm,Rω

系统由一细杆和一圆盘组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。课后思考下图中的

J

如何求？zlDmCaazm3.3力矩转动定律P*O

:力臂

刚体绕

Oz

轴旋转

,力

作用在刚体上点

P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点

P的径矢

.

对转轴Z

的力矩

一力矩(momentofforce)

O

1）若力

不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和（定轴转动为代数和）

其中

对转轴的力矩为零，故

对转轴的力矩说明力是连续分布的：xLOMy例已知棒长L,质量M

，在摩擦系数为的桌面转动(如图)解根据力矩xdxTT'例如TT'在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求摩擦力对y轴的力矩3）

刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点

与转轴刚性连接外力矩内力矩O刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比

.

转动定律OI的物理意义：转动惯性的量度

.与牛二定律相比，有：M相应F

，I相应

m

，

相应

a(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解(1)(2)两者区别例4求一轻绳绕在半径

r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量

I=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)

例5

质量为

的物体

A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为

R、质量为

的圆柱形滑轮

C，并系在另一质量为

的物体

B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.（1）两物体的加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体

B

从

再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABCABCOO

解

（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程圆盘以

0

在桌面上转动,受摩擦力而静止解例6求到圆盘静止所需时间取一质元由转动定律摩擦力矩R

例7

一长为

质量为

匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链

O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解

细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得3.4力矩的功转动动能定理力矩的功一力矩的功

力的空间累积效应

力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应力矩的功,转动动能,动能定理.

力矩的功率：(2)力矩的功就是力的功(3)内力矩作功之和为零说明(1)合力矩的功二转动动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量

.刚体重力势能：质心位置刚体的机械能：对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立例1

一根长为

l

，质量为

m

的均匀细直棒，可绕轴

O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由转动动能定理求它由此下摆

角时的

此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxRhm'mm

和、分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度.

例2

一质量为

、半径为

R

的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m

的物体.问物体在静止下落高度

h

时，其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计

.

解

拉力

对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力

的力矩所作的功为m物体由静止开始下落解得并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理m3.5角动量角动量守恒定律

力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.

力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.

一质点的角动量（angularmomentumofaparticle）角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。

LmOpr·

质点m对惯性系中的固定点O的角动量定义为：单位：kgm2/s大小：方向：决定的平面（右螺旋）动量矩Lrvm·O质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为:方向圆面不变。同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变OlO锥摆m

作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点

O

的角动量随时间的变化率.二质点的角动量定理质点角动量定理（微分形式）质点角动量定理（积分形式）称冲量矩（角冲量），用H表示——力矩对时间的积累作用。质点的角动量定理：对同一参考点O

，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.—质点系角动量定理锥摆的角动量对O点：合力矩不为零，角动量变化。对O点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）OlO锥摆m三质点角动量守恒定律──角动量守恒定律（LawofConservationofAngularMomentum）(2)通常对有心力：例如由角动量守恒可导出行星运动的开普勒第二定律(1)角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观体系，也适用微观体系，且在高速低速范围均适用说明m行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过O点,M=0,角动量守恒

例1

一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m

的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度.

解

小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理考虑到得由题设条件积分上式当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v

0发射一解引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒例2

发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星，质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面

求θ角及着陆滑行的初速度多大？1

刚体定轴转动的角动量2

刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O四刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若

在冲击等问题中常量说明

有许多现象都可以用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律能量守恒定律角动量守恒定律电荷守恒定律质量守恒定律花样滑冰跳水运动员跳水思考:温室效应对地球自转的影响猫的下落（A）猫的下落（B）

观察表明，猫从高处掉下，受伤程度随高度增加而减少，据报导，有猫从32层楼掉下，也仅有胸腔和一颗牙齿有轻微损伤。为什么？

猫下落时，身体无转动，总角动量为零。尾巴一甩而具有角动量，据角动量守恒，身体须反转，产生反向角动量。另外猫很灵活，它在甩尾时能调节身体各部位，使身体快速转动，这样，四肢朝下先着地，不会伤害身体其它部位。

圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒

.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒

.子弹击入沙袋细绳质量不计思考

例3

一长为

l,质量为

的竿可绕支点O自由转动

.一质量为、速率为

的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少

?解把子弹和竿看作一个系统，子弹射入竿的过程系统角动量守恒

射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒

.m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R例4

如图示，求：碰撞后的瞬刻盘

P转到

x轴时盘

解：m下落：(1)mPhv对（m+盘），碰撞中重力对O轴力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，θ

=60系统角动量守恒：

(3)

对（m+