线性代数中的反问题

1线性代数中的反问题性变换在给定基下的矩阵反求】；雍龙泉探究了几类不同矩阵的反师教学与学生平时学习中的一2第二章预备知识根据线性方程组的求解理论求线性方程组的通解。反问题:己知线性方程组的解，求相对应的线性方程组。f(x,x,...,x)=XTAX12nXxxxT12n(aaAA(a(aa...a)a...a3第三章三种反问题的探讨反问题12n12n12n1,2n12n1,2n1,2nn12n，131,2323123123(-100-22-2-201然后是特征值有重根时的矩阵反问题:2343112n12P2n1223n123n12n12n(入)1入2有PTAP=2.........入 (2)2n122n1(10.....0)00.....0)PT=........... (00.....0)(10.....0)(2002........... (00.....0 (2n12P21对称矩阵A的特征值为6，3，3，和特征值6所对应的特征向1特征向量必正交，由此可以求出属于特征值3的两个线性无关的特征向量为5线性方程组的反问题定理3:设W是Fn的任一子空间，n维列向量组a,a,...,a(r<n)为W的12r一组基。矩阵A=(a,a,...,a)为n元齐次线性方程组ATX=0的基础解系的n*r12r12n-r.12n-r12n-r.12n-rBTX=0即以a,a,...,a为一个基础解系。12r证明:这里我们只要证明a,a,...,a是齐次线性方程组BTX=0的解。由于12ra,a,...,a为W的一组基，则秩A=(a,a,...,a)r(A)=r(AT)=r，12rn*r12rATXnrbbb又因为B=(b,b,...,b)故12n-r。12n-r12n-r12n-rbbbTABTA=BT(a,a,...,a)=0，则a,a,...,a是齐次12n-r12r12r线性方程组BTX=0的解。而又BTX=0因为a,a,...,a线性无关，且的解12r空间维数是r，因此又是BTX=0的基础解系。又因为W=L(a,a,...,a)，所12r推论1：设n维线性无关的列向量组a,a,...,a(r<n)是Fn中的任一组向量，12rb0根据线性方程组解的结构和定理1的结论，易证推论1成立，这里不予以证明。123623234一个齐次线性方程组，使它的解空间为L(a,a,a).1231231,2(a)(1-110)|(a)|=|(1101)|,作齐次线性方程组AX=0，同时求出一个基础解系为21212为齐次线性方程组BTX=0的基础解系，其解空间是L=(a,a)。又因为12L(a,a,a)=L(a,a)则所求的齐次线性方程组为BTX=0，即12312(x-x-x=0的齐次线性方程组的基础解系为n=(1，-1，1，0)T，n=(1，l，0，1)T求此非12齐次线性方程组。BT相对应的齐次线性方程组7 A二次型中的反问题f(x,x,...,x)=XTAX12n解：分两个步骤a a1|a a1|且1)|入特征方程得到一个关于a,b的方程组〈ab=0，故||01008(22=0=2- (2(y)1y|2 (y3(y)1y|2 (y3)2)2)1122...