导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

(x)，c为常数，则有以下导数运算法则：1、和差法则：（u±v）'=u'±v'2、积法则：（uv）'=u'v+uv'3、商法则：（u/v）'=(u'v-uv')/v^2（v≠0）4、常数法则：(c)'=0导数是微积分中的一个重要概念。设函数y=f(x)在x=x0附近有定义，如果当Δx趋近于0时，Δy/Δx无限趋近于某个常数，即Δy/Δx的极限存在，我们把这个极限值称为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x)或y'。导数的几何意义是函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线PT的斜率，即tanα=f'(x)，其中α为切线的倾斜角。同样，可以定义曲线y=f(x)在x=x0的法线为过点P(x0,f(x0))与曲线y=f(x)在x=x0的切线垂直的直线。导数的物理意义是速度的变化率。如果设t为时间，S(t)为车在t时刻的行驶路程，则S'(t)表示t时刻的瞬时速度。基本初等函数的导数公式如下表所示：y=f(x)y'常数c0x^n(n为正整数)nx^(n-1)x^α(α为有理数)αx^(α-1)a^x(a>0且a≠1)a^xlnalog_a(x)(a>0且a≠1,x>0)1/(xlna)sinxcosxcosx-sinx导数有一些运算法则。和差法则、积法则、商法则和常数法则可以帮助我们求导。均可导的四则运算法则如下：（1）$(u\pmv)'=u'\pmv'$；（2）$(ku)'=ku'$，其中$k\inR$；（3）$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，其中$v\neq0$；（4）$(u\timesv)'=u'v+uv'$。注：$(cf(x))'=cf'(x)$，其中$c\inR$。四、复合函数的导数复合函数$y=f(g(x))$的导数与函数$y=f(u)$，$u=g(x)$的导数之间具有关系$y'_x=y'_ug'_x$，即先把$g(x)$当作一个整体，把$y=f(g(x))$对$g(x)$求导，再把$g(x)$对$x$求导，这两者的乘积就是复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数，即$(f(g(x)))'=f'(g(x))\timesg'(x)$。题型归纳及思路提示题型1：导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出。例3.1设$f'(x)$存在，求下列各极限。(1)$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+3\Deltax)-f(x)}{f(x-h)-f(x)}$；(2)$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x-h)-f(x)}{f(x-h)-f(x)}$。分析：$f'(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$，导数的定义中，增量$\Deltax$的形式是多样的，但不论$\Deltax$选择哪种形式，$\Deltay$必须选择相应的形式。利用函数$f(x)$在点$x$处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式。解析：(1)$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+3\Deltax)-f(x)}{f(x-h)-f(x)}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{3}{1}=3f'(x)$；(2)$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x-h)-f(x)}{f(x-h)-f(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-1}{1}=-f'(x)$。评注：$f'(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}$的几种等价形式：$f'(x)=\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，等。本文介绍了求导数的运算法则和复合函数求导法则，并且通过例题和变式题演示了具体的求导过程。同时，还介绍了导数的几何意义，即切线斜率的概念。在求导数时，需要按照运算法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程。在复合函数求导时，可以设出中间变量，按照复合函数求导法则进行。需要注意的是，新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y=f(ax+b)型的求导，因此需要理解并记住这个公式。在导数的几何意义方面，导数表示的是函数图像上某一点的切线斜率。因此，导数越大，函数图像在该点的曲率越大，反之亦然。下面是修正后的文章：本文介绍了求导数的运算法则和复合函数求导法则，并通过例题和变式题演示了具体的求导过程。同时，还介绍了导数的几何意义，即切线斜率的概念。在求导数时，需要按照运算法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程。在复合函数求导时，可以设出中间变量，按照复合函数求导法则进行。需要注意的是，新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y=f(ax+b)型的求导，因此需要理解并记住这个公式。以下是求导数的例题和变式题：变式1求下列函数的导数：（1）y=ln(2x+1)；（2）y=sin(2x-4/π)；（3）y=2^(2x+1)/(3x+5)；（4）y=(x+2)/(x-1)e。在求导数时，需要按照运算法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程。对于复合函数，可以设出中间变量，按照复合函数求导法则进行。导数的几何意义是切线斜率的概念。因此，导数越大，函数图像在该点的曲率越大，反之亦然。函数y=f(x)在点x处的导数，即为曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线斜率。需要注意的是，曲线在某点处的切线和曲线经过某点的切线是不同的。已知f(x)在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-x)，如果要求曲线y=f(x)过点(a,b)的切线方程，则应先假设切点坐标为(x,f(x))，由y-f(x)=f'(x)(x-x)过点(a,b)求得x的值，然后再求得切线方程。此外，需要注意切点既在曲线上又在切线上。例3.5：设P为曲线C:y=x+2x^2+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,1]，则点P横坐标的取值范围为A.[-1,-1/2]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1/2,1]。分析可得，曲线C在P处切线的斜率范围为[0,1]，因此函数y=x+2x^2+3的导数在该范围内，即2x+2的取值在[-1,0]之间，解得-1≤x≤-1/2，因此选项A为正确答案。变式1：设f(x)是偶函数，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为1，则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线斜率为1。根据偶函数的性质可知，f(-1)=f(1)，因此曲线在点(-1,f(-1))处的切线斜率也为1。例3.6：(1)曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1)，过点(1,1)的切线方程为y-1=x-1。(2)过点(-1,1)的直线l与曲线y=x-x^2-2x+1相切，且(-1,1)不是切点，则直线l的斜率为-1。求解过点(-1,1)的切线方程，设切点坐标为(x,f(x))，则f(x)=x-x^2-2x+1=-x^2-x+1，导数为f'(x)=-2x-1，因此在点(-1,1)处的切线斜率为-2，切线方程为y-1=-2(x+1)，与直线l重合，因此直线l的斜率为-1。1.设$g(x)=(2-x)e^x$，则$g'(x)=-xe^x<0$，即$g(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。因此$g(x)$在$[0,1]$上取得最大值$g(1)=e^2/(e^2+1)$。2.设$P(x,y)$在曲线$y=x\lnx$上，则$y=x\lnx$和$y=\ln(2x)$的切线斜率分别为$1+\lnx$和$1/x$，因此$PQ$的斜率为$1+\lnx-1/x$。由于$y=x\lnx$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$PQ$最小当且仅当$x=e$。此时$PQ$的最小值为$|y_Q-y_P|=\ln2$。3.对$y=e^{x/2}+1$求导得到$y'=(1/2)e^{x/2}$，因此曲线在点$(0,2)$处的切线方程为$y=2+(1/2)x$。设切线与$y=0$和$y=x$围成的三角形面积为$S$，则$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。4.由于$f(x)$是偶函数，不妨只考虑$x>0$的情况。根据条件可得$f(x)+xf'(x)<3x$，即$f(x)/x+f'(x)<3$。将不等式两边积分得到$f(x)/x<3x+C$，其中$C$为常数。由于$f(0)=0$，因此$C=0$，即$f(x)/x<3x$。因此$x<0$时$xf(x)>0$，$0<x<4$时$xf(x)<12x$，$x>4$时$xf(x)>0$。因此$x\in(-\infty,0)\cup(0,4)\cup(4,+\infty)$。5.设$l$的倾斜角为$\theta$，则$\cos\theta=y_P$。由于$l$是曲线$y=\sinx$的切线，因此$\cos\theta=\cosx$。又因为$P$是以$y$轴正半轴为起点的一段弧上的点，因此$0\leqx\leq\pi/2$。因此$\theta\in[0,\pi/4]$。6.将$f(x)=2f(2-x)-x+8x-8$两边同时对$x$求导，得到$f'(x)=-2f'(2-x)+8$。因此$f'(1)=2f'(1)+8$，即$f'(1)=-4$。因此曲线在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=-2x+3$。7.列车在$t$秒内前进的距离为$s=27t-0.45t^2$，因此列车停下来需要的时间为$t_0=60$秒，此时前进的距离为$s_0=27\cdot60-0.45\cdot60^2=810$米。8.根据题意，有$$\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(1-2\Deltax)-f(1)}{\Deltax}=-f'(1).$$因此只需要计算$f(1-2\Deltax)$即可。由于$f(x)=2f(2-x)-x+8x-8$，因此有\begin{align*}f(1-2\Deltax)&=2f(2-(1-2\