大学物理学-第二章动力学课件

（Newton’slawsofmotion）§2.1

质点力学的基本定律§2.2动量动量守恒定律§2.3功动能势能机械能守恒定律§2.4角动量角动量守恒定律§2.5刚体定轴转动

牛顿第二章质点力学的运动定律守恒定律本节深入系统介绍牛顿三大定律及运用牛顿定律解题的思路与方法，要求能熟练解决质点动力学的两类基本问题：1.已知质点的质量及运动，求质点所受的作用力；2.已知质点的受力，求解质点的运动。2.1质点力学的运动定律一、牛顿运动定律

1、第一定律（惯性定律）（1）惯性力（2）惯性系物体总是要保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。

2、第二定律

（1）惯性的度量（2）瞬时性

（3）矢量性

物体所获得的加速度的大小与合外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。

3、第三定律直角坐标系切向和法向分解某方向上的合外力=质量该方向上的加速度二牛顿定律的解题方法1.隔离体法将所研究的对象跟周围的物体隔开，原来物体间的相互作用，用力来代替，称隔离体法。这是力学中解题最基本的方法。2.受力分析(1)重力竖直向下，大小=mg(2)弹力弹力的方向垂直过接触点的切面。(3)摩擦力最大静摩擦力和滑动摩擦力

f=N3.正交分解（惯性系）(1)直角坐标系(2)圆周运动

列方程3.取坐标系（惯性系），(3)静力学方程

i共点力

ii非共点力(Mz为力矩)T1T2mgmgN2N1f1f2(a)共同点力(b)非共同点力若方程个数少于未知数，需从物体运动之间的关系找新的方程，使方程个数等于未知数个数。FT1=m1a1 T2=m2a2 T1=2T2 a2=2a1 m2gN2N1m1gT1T2T2T1x1x2T2m2m1Fxoll

R+x2=2x12.1.4牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系；在平面直角坐标系在平面自然坐标系2、牛顿定律只适用于质点模型；3、具体应用时，要写成坐标分量式。若F=常量，则若F=F(v)

，则

若F=F(r)

，则

４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式运用举例：1、

单位制：基本量、导出量单位制的任务是：规定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的数量级。七个基本量为

长度、质量、时间、电流、温度、物质的量和发光强度2、SI制中三个基本量的操作型定义长度时间

1秒=铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁时对应辐射的9，192，631，770个周期。从基本量导出的量称为导出量，相应的单位称为导出单位。*

2.1.5国际单位制和量纲（自学提纲）3、量纲：

因为导出量是由基本量导出的，所以导出量可用基本量的某种组合(乘、除、幂等)表示。这种由基本量的组合来表示物理量的式子称为该物理量的量纲式，例如：在SI制中通过物理定律、定理、定义等将某个物理量表示成某种单位制中基本物理量的方次。质量

千克质量1.已知运动求力例2－1长l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球。使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度V0开始运动。用牛顿定律求小球沿逆时钟方向转过角时的角速度和绳中的张力。三质点动力学两类问题图2－1v0LTnmmg

2.已知力求运动力学现象和力学过程总是在一定的时空中发生和发展的，因此必然涉及到力对时间和空间的积累问题。2.2动量与动量守恒一、动量和冲量1.动量单位(kg·m·s-1)牛顿将牛顿第二定律写作2.冲量恒力的冲量变力的冲量在时间t1t2间隔内，力F是变化的，求t1t2时间间隔内的总冲量将区间t1t2分成无穷多小段；取其中一小段dt,这一小段内力的冲量

t1t2的总冲量为上式的积分t1F0tt2dtF二、质点动量定理质点动量定理在一段时间间隔内，质点所受合外力的冲量等于这段时间内质点动量的增量。分量式平均冲力m2m1m3m4四、质点系动量定理

由若干个质点所组成的系统叫质点系，也称作一个力学系统。F1f1F2f2F3f3F4f4外力内力对每一个质点利用动量定理质点i对所有质点求和由n个质点组成的力学系统合外力的冲量等于系统总动量的增量。•••••五、动量守恒定律

若系统所受的合外力＝0系统总动量守恒分量式

若系统在某方向上所受的合外力为零，则系统在该方向上的动量守恒。六质心XZYOm2r2m1r1crcmirirNmN对于分立体系：直角坐标系下：1概念：对于连续体：直角坐标系下：XZYOcrcdmr2：质心运动定理——

质心运动定理力学现象和力学过程总是在一定的空间发生和发展的，因此必然涉及到力对空间的积累问题。2.3功动能机械能守恒一、功图3－3恒力的功变力的功物体在变力的作用下从a运动到b图3－4YOXZba二、质点的动能定理合外力所作的功＝质点动能的增量三、质点系动能定理

设质点系中有n个质点，第i个质点受外力,内力。利用质点的动能定理，对第i个质点有注意：1：内力所作的总功一般不为0。对系统n个质点求和一力学系统所有外力作的功＋所有内力作的功＝系统总动能的增量？注意：2

内力作功的总和与参考系无关r1r2r21dr1dr2f2f1m1、m2

组成一个系统m1m2o四势能机械能守恒定律1、保守力功1.1重力的功ohh1h2mgdhdrdA=mgcosdr

重力作功只跟相对始末位置有关，跟路径无关，这种力称保守力。重力是保守力。1.2弹力的功在弹性力的作用下，从x1x2弹力所作的功dA=Fcosdx弹力也是保守力oxx1dxFx2x=kx(–1)dx1.3引力的功rm2r1r2m112dr引力也是保守力

m2在m1m2引力作用下，从12引力所作的功r+dr1.4保守力的数学表达式2、势能(a)(b)（1）概念2.4.3势能描述机械运动的状态参量是

对应于：

弹簧弹性力的功

万有引力的功重力的功

1、势函数为此我们回顾一下保守力的功

由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；由定积分转换成不定积分，则是

式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。

又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ表示。则有：2、已知保守力求势能函数

弹性势能：

保守力的力函数若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则c=0于是

重力势能保守力的力函数若取坐标原点为势能零点，则c=0

引力势能保守力的力函数

若取无穷远处为引力势能零点，则

势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；2)势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值；4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有。

为了确定a点的势能Epa,先要选择参考点（零势能点）。Epa=a点的势能跟参考点势能之差＝Aa参（2）某一确定位置状态的势能计算零势能点的选择又要使势能的表达式比较简单，重力势能零点ho=0弹性势能零点xo=0引力势能零点ro=重力势能=mgha弹性势能引力势能3、功能原理对一个力学系统，根据质点系动能定理因此而所以

系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。２）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出；3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；注意的问题：１）功能原理是属于质点系的规律（因涉及ＥP），与质点系的动能定理不同；质点系动能定理质点系功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。2.4.5机械能守恒定律由功能原理可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换；系统内部无机械能与其他能量形式的转换。

当系统机械能守恒时，应有即系统内，动能的增量＝势能增量的负值若和,则系统的机械能保持不变。2.4.6能量转换与守恒定律在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。力矩1、力对固定点的力矩

1）定义：作用于质点的力对惯性系中某参考点的力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所决定的平面，其指向用右手螺旋法则确定。2）力矩的单位、牛·米(N·m)om§2-4角动量定理角动量守恒定律

3）力矩的计算：

M的大小、方向均与参考点的选择有关※在直角坐标系中，其表示式为力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。２、力对轴的矩：设力Ｆ的作用线就在Z轴的转动平面内，作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的力矩为·式中r⊥为力F到轴的距离若力的作用线不在转动平面内，则只需将力分解为与轴垂直、平行的两个分力即可。rF力对固定点的力矩为零的情况：

力F等于零，力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点,即，有心 力对力心的力矩恒为零）。力对固定轴的力矩为零的情况：

有两种情况,B）力的方向沿矢径的方向（）有心力的力矩为零A）质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零2.5.1质点的角动量在质点的匀速圆周运动中，动量mv

不守恒，但角动量的引入：开普勒行星运动定律的面积定律

许多实例都说明是一个独立的物理量再考虑到行星的质量m为恒量，数数在描述行星的轨道运动，自转运动，卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。因此必须引入一个新的物理量－－角动量L，来描述这一现象。

卫星地球+１、质点对固定点的角动量

动量为mv

的质点，对惯性系内某参考点0的角动量，等于质点对该参考点的位矢r与其动量mv

的矢积。角动量是矢量，角动量L

的方向垂直于r和mv

所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。★在直角坐标系中注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L画在参考点上。L的大小为·L★角动量的单位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★当质点作圆周运动时,有v=r,且r与v互相垂直，故有

★是相对量：与参照系的选择有关，与参考点的选择有关L＝rmv=mr2★角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。2、质点对轴的角动量☆假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r，则质点对z轴的角动量为，方向沿z轴，可正、可负☆质点动量不在转动平面内，则只需考虑动量在转动平面内的分量；或运用坐标分量式求得：2.5.2质点的角动量定理１、对点的角动量定理（微分形式）若用r叉乘牛顿定律即式中r是质点对参考点o的位矢。

又于是有或

即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。２、角动量定理的积分形式：

叫冲量矩*：M和L必须是对同一点而言a、对点的角动量守恒律质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。

外力矩对某固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量的增量。＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。2.5.3质点角动量守恒定律若，则＝常数b、对轴的角动量守恒律：若Mz=0，则Lz=常数，即若力矩在某轴上的分量为零（或力对某轴的力矩为零），则质点对该轴的角动量守恒。四、质点系的角动量问题

1.质点系的角动量概念2.定理和守恒定律内力对定点的力矩之和为零质点系内的重要结论形式上与质点的角动量定理完全相同内力对定点的力矩之和为零只有外力矩才能改变系统的总角动量质点系角动量守恒定律比较动量定理角动量定理

形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。

（头上长“角”尾部添“矩”）动量定理角动量定理力力矩或角力动量角动量或动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩

§2-5刚体的定轴转动刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体的空间方位时，我们可以引入刚体模型。刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。质点模型基本上只能表征物体的平动特征。平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂运动都可以看成平动与转动的合成。本节讨论转动中最简单的运动－定轴转动。研究刚体的方法：刚体：

把刚体分割成由许多小块质元构成的集合。刚体是一个质点组（质元间距离不随时间变化）研究刚体的方法和研究质点组的方法完全相同。先研究单个质点后对所有质点求和大小和形状不发生变化的物体。1、刚体的运动例一个汽车轮子在地上的滚动A、B、C、…各点的运动都不相同ABABCCo(a)一、刚体运动学一刚体的运动＝平动＋转动平动：刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行。转动：刚体上各质点绕一轴作圆周运动。轴固定的转动称定轴转动。(c)绕过o轴的转动oABC(b)oo轮子的平动ABCoABCoABABCCo(a)2.刚体定轴转动的描述若物体在运动过程中，其所有的质元都绕某一直线作圆周运动，这种运动称之为转动。该直线称为转轴。

若转动轴固定不动，即既不能改变方向又不能平移，这个转轴为固定轴，这种转动称为定轴转动。

我们只讨论定轴转动。OZ１、转动瞬轴、定轴转动若转轴的方向或位置在运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置称为该时刻的转动瞬轴。

垂直于转动轴的平面为转动平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部可用。以转动平面与轴的交点为原点，任引一射线为极轴，原点引向考察点的矢径与极轴的夹角为角位置，并引入0x2、定轴转动的角量描述角速度矢量方向判定方向：右手螺旋定则。线速度和角速度之间的矢量关系oPvrABC２)刚体定轴转动的特点所有质点的角量都相同

；质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比

。1、转动惯量的引入将刚体分成很多个质点构成的集合，取一质点i，质量mi对轴的合外力矩：二刚体的定轴转动动力学OiO根据对轴线的角动量定律刚体对轴线的角动量质元i对轴线的角动量将其与线动量 相比若令

m

表示物体的平动惯性，则I表示转动惯性，故将命名为刚体对转轴的转动惯量，（式中ri

为mi

到轴的距离）即：若刚体内各质元均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为此时刚体对轴的角动量定理为转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克·米2（kg·m2）2、转动惯量的计算对于单个质点质点系若物体质量连续分布，3、转动惯量影响因素转动惯量是物体转动惯性的量度，它与下面三个因素有关：物体的形状，大小；物体质量分布；跟转轴的位置。例2mm对转轴：对转轴1：4、平行轴定理ccodIIco刚体对任一轴的转动惯量I，等于对过质心c并与该轴平行的轴的转动惯量Ic

加。解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直例2如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为

，则该质元的质量dm＝λdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.方法二：利用平行轴定理例3一细圆环半径为r，质量为m，求圆环对通过圆心且垂直环面的轴的转动惯量。解:整个圆环对中心轴的转动惯量

dI

=r2dm,rdm解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为例4设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.则整个圆盘对中心轴的转动惯量为(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)

，则小圆环的质量dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.(2)质量元的选取：线分布面分布

体分布(1)刚体的转动惯量

以上各例说明：线分布体分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。

(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于

定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。三刚体的转动定理1、刚体定轴转动的角动量定理：当刚体作定轴转动时，所有质点均在各自的转动平面内以相同角速度绕轴作圆周运动，故有即刚体作定轴转动时，刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量故刚体定轴转动的角动量定理为2、刚体定轴转动的转动定理

由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有

即：作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。转动定律说明了I

是物体转动惯性大小的量度。因为：即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I