连续系统的振动课件

连续系统的振动2023/7/251《振动力学》－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统（又称离散系统）那样是二阶常微分方程组，而是偏微分方程组－本质上讲，连续系统和离散系统没有什么差别，连续系统振动的基本概念与分析方法与离散系统是完全类似的2023/7/252《振动力学》教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法2023/7/253《振动力学》（1）讨论的连续体都假定为线弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律说明（2）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提2023/7/254《振动力学》一维波动方程动力学方程固有频率和模态函数主振型的正交性杆的纵向强迫振动连续系统的振动/一维波动方程2023/7/255《振动力学》动力学方程（1）杆的纵向振动

讨论等截面细直杆的纵向振动杆长l假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积S材料密度弹性模量E忽略由纵向振动引起的横向变形单位长度杆上分布的纵向作用力

杆参数：连续系统的振动/一维波动方程2023/7/256《振动力学》杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移微段分析微段应变：横截面上内力：达朗贝尔原理：连续系统的振动/一维波动方程达朗贝尔惯性力2023/7/257《振动力学》杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移横截面上的内力：达朗贝尔原理：杆的纵向强迫振动方程等直杆ES为常数弹性纵波沿杆的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程2023/7/258《振动力学》（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F

拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移

单位长度弦上分布的作用力

单位长度弦的质量

微段受力情况达朗贝尔原理：

弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程微振达朗贝尔惯性力弦的定义:很细长振动中认为张力不变2023/7/259《振动力学》（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Ip材料密度切变模量G：单位长度杆上分布的外力偶矩

杆参数：为杆上距离原点x

处的截面在时刻t

的角位移截面处的扭矩为T微段dx

受力：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程达朗贝尔惯性力偶2023/7/2510《振动力学》微段dx

受力达朗贝尔原理：材料力学：圆截面杆的扭转振动方程等直杆，抗扭转刚度GIp

为常数剪切弹性波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程2023/7/2511《振动力学》小结：（1）杆的纵向振动

（2）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程（3）轴的扭转振动连续系统的振动/一维波动方程2023/7/2512《振动力学》固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：利用分离变量法求解波动方程：q(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面纵向振动的形态（模态函数）

连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2513《振动力学》记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与离散系统（有限自由度系统）不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动（杆的边界条件确定固有频率）2023/7/2514《振动力学》第

i

阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2515《振动力学》几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零

代入模态函数频率方程无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2516《振动力学》（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零

边界条件：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程2023/7/2517《振动力学》（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零

边界条件：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：频率方程2023/7/2518《振动力学》左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零

边界条件：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程2023/7/2519《振动力学》边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有频率2023/7/2520《振动力学》例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接推导系统的频率方程连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2521《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：频率方程振型函数：2023/7/2522《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结推导系统的频率方程边界条件：－自行推导（教材P129例）2023/7/2523《振动力学》主振型的正交性以具有简单边界条件的杆为例，讨论主振型的正交性杆可以是变截面的－－即质量密度及截面积S

等都可以是x的函数

杆的振动方程自由振动主振动代入，得连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2524《振动力学》杆的简单边界：固定端x=0

或l自由端x=0

或l

设：代入：乘并沿杆长对x

积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2525《振动力学》乘并沿杆长对x

积分：同理乘并沿杆长对x

积分：相减：时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于刚度的正交性连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2526《振动力学》关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

恒成立令：第i

阶模态主质量第i

阶模态主刚度第i

阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2527《振动力学》杆的纵向强迫振动采用模态叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j

个正则坐标的广义力

连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2528《振动力学》模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

求得后可得连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2529《振动力学》如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2530《振动力学》例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2531《振动力学》解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第i

个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态响应：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2532《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？2023/7/2533《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：模态函数：解：杆的自由振动方程：固有频率：2023/7/2534《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：2023/7/2535《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：2023/7/2536《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动2023/7/2537《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：2023/7/2538《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度v沿x

轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可提示：2023/7/2539《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆边界条件：杆的自由振动方程：初始条件：2023/7/2540《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动例：有一根x=0端自由、x=l端固定的杆，固定端承受支撑运动为振动的幅值试求杆的稳态响应2023/7/2541《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移2023/7/2542《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得：2023/7/2543《振动力学》连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：2023/7/2544《振动力学》连续系统的振动/杆