概率与统计-课件

第二节随机事件的概率一、频率与概率二、概率的性质三、等可能概型（古典概型）四、几何概型1ppt课件历史上概率的三次定义：③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出2ppt课件一、频率与概率概率定义1的概率.量度称为事件发生的可能性大小的在一次试验中事件AAAnnAnA即发生的频率，记为为事件次，则称比值次重复试验中出现了在这次试验，如果事件了在相同的条件下，进行3ppt课件抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K．皮尔逊K．皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923试验次数出现正面的次数出现正面的频率当常常会不一样不同时，得到的)(Afnn4ppt课件这表明频率具有一定的随机波动性对于可重复进行的试验，当试验次数逐渐增大时，事件的频率都逐渐稳定于某个常数，呈现出“稳定性”． 因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值．我们称这一定义为概率的统计定义．这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性．5ppt课件对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用事件发生的概率事件发生的频率6ppt课件例

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.00067ppt课件频率具有如下性质

1．非负性2．规范性3．有限可加性若是一组两两互不相容的事件则8ppt课件

医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”

医生的说法对吗？9ppt课件 设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(•)满足下列条件：概率的公理化定义1．非负性2．规范性3．可列可加性10ppt课件二、概率的性质性质1性质2（有限可加性）性质3性质4性质5性质6（加法公式）11ppt课件

性质5证：证明性质512ppt课件证明性质6性质6（加法公式）证明：因为且故由性质2和性质3得：13ppt课件性质6可以推广到多个事件的情形．例如可由归纳法证得．一般地，对任意n个事件14ppt课件例1

设，为两事件，且设，求解而所以于是15ppt课件例2

设证明证16ppt课件三、等可能概型（古典概型）1．试验的样本空间只含有有限个元素，即

2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即

具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．

17ppt课件23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1到10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.

18ppt课件称这样一类随机试验为古典概型.34791086152

每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同且样本空间的样本点个数有限.Ω={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2用

表示取到i号球，i=1,2,…,10.19ppt课件

这样就把求概率问题转化为计数问题.定义:设试验E是古典概型,其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：

称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.排列组合是计算古典概率的重要工具.20ppt课件简要复习一下计算古典概率所用到的基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.21ppt课件例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法22ppt课件则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有2个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,23ppt课件例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮24ppt课件排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：

顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列6=3×2×1=3！

而组合不考虑顺序全排列25ppt课件从3个元素取出2个的组合总数有3种从3个元素取出2个的排列总数有6种26ppt课件1、排列:从n个不同元素取k个的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式27ppt课件从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法28ppt课件2、组合:从n个不同元素取

k个的不同组合总数为：29ppt课件例:把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：可能性有多大?30ppt课件拼成英文单词SCIENCE

的情况数为故该结果出现的概率为：

这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.这可以认为是小概率事件,也叫做实际不可能事件.解：七个字母的排列总数为7！

A包含的样本点数P(A)＝

Ω中的样本点总数31ppt课件THTHHHTT例3

将一枚硬币抛二次（2）解（1）32ppt课件先给出一个记号，它是组合数的推广，规定

33ppt课件例4

设袋中有只4白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）.试求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；

（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率

解

记34ppt课件(1)35ppt课件（3）类似于（1），可求得（2）36ppt课件例5

将个球随机地放入个盒子中去，盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率

解将个球放入个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法．37ppt课件

个盒子可以有种不同的选法。对选定的个

盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。由乘

法原理，共有种放法，因此所求概率为

(1)每个盒子中至多只有一只球,共有

种不同的方法，因此所求的概率为38ppt课件例生物系二年级有n

个人，求至少有两人生日相同（设为事件A)的概率.解为n

个人的生日均不相同,这相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”每个盒子至多有一个球.39ppt课件用上面的公式可以计算此事出现的概率为

=1-0.524=0.476

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.40ppt课件

这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：41ppt课件

人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.42ppt课件例6

（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？

43ppt课件10次试验一共有个等可能的结果

解假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶＋茶或茶＋奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则只包含了个样本点中一个样本点，故由实际推断原理，该女士的说法可信．实际推断原理

概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生44ppt课件

设某超市有奖销售，投放n张奖券，只有1张有奖.设每位顾客可抽1张，求第k位顾客中奖的概率（）.例745ppt课件解：=0.3024例: