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第八章数列与无穷级数§8.1数列极限数列收敛数列有界数列和单调数列18.1.3有界数列和单调数列例如,有界无界2定理6收敛数列必是有界数列.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.3定义若对于任意正整数均有则称是单调增加的数列(或单调不减的数列);若对于任意正整数均有则称是单调减少的数列(或单调不增的数列).单调增加数列和单调减少数列统称单调数列.定理7(单调有界准则)单调有界数列必定是收敛数列.4定理(单调数列收敛准则)(1)如果单调增数列{an}有上界,即则极限存在(2)如果单调减数列{an}有下界,即则极限存在5例1证明重要极限:解设,则6比较xn与xn+1的对应项可知:即是单调增数列7利用上式可得所以是单调增有上界数列,根据收敛准则知收敛,记其极限值为e,于是有89101112定理8若数列的子数列及均收敛,且则数列收敛,并且不作要求13小结：数列极限的求法1.化为定积分若f(x)在[a,b]上连续,则根据定积分的定义有例4解:错无穷多项相加××(一般只考虑[0,1]区间上定积分)14解:当然，原式n等分取端点15例5解:16例61718例7计算解记则由于所以192.化为函数的极限例8求下列数列的极限.解(1)设则由于所以20(2)设则由于21所以注:数列极限的求法不能直接用洛必达法则.223.拆项相消例9解:23例10解:注:有时从最高次添项补项，如P431例9。24例11解:254.利用四则运算法则或夹逼准则例12求极限26解(1)(2)275.利用单调有界准则例13解28解例14已知计算考虑单调性假设xn>xn-1,由xn>0,有29根据数学归纳法知{xn}单调增.又单调增有上界收敛设在两边取极限,有解得所以30解例15设a>0,x1>0,定义计算因为即对一切nN,31又所以单调减,据收敛准则知收敛,设取极限有(负根舍去)所以32333435写在最后成功的基础在于好的学习习惯Thefoundationofsuccessliesingoodhabits谢谢大家荣幸这

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