向量空间的基、维数与坐标课件

1第三节向量空间的基、维数

与坐标一

向量空间二

向量空间的基、维数与坐标三

基变换与坐标变换四

小结1ppt课件1第三节向量空间的基、维数

与坐标一向量空间二向量2说明一、向量空间定义3.18设是非空维向量的集合，若对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称为一个向量空间．集合对于加法及乘数两种运算封闭是指2ppt课件2说明一、向量空间定义3.18设是非空维向量的集合33ppt课件33ppt课件4例2

判别下列集合是否为向量空间.解4ppt课件4例2判别下列集合是否为向量空间.解4ppt课件5例3

判别下列集合是否为向量空间.解对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.5ppt课件5例3判别下列集合是否为向量空间.解对数乘不封闭，同样可6那末，向量组就称为向量空间的一组基，

称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．二、向量空间的基、维数与坐标定义3.19

设是向量空间，如果个向量且满足（1）线性无关；（2）中任一向量都可由线性表示.6ppt课件6那末，向量组就称为向量空间的一组7

（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明

（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为

（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.7ppt课件7（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，8若是向量空间的一组基，则对存在唯一一组有序数使得称为向量在基下的坐标

记为8ppt课件8若是向量9特别，若是向量空间的一组基，且为单位向量，称为V的一组规范基.且两两正交，则称为V的一组正交基；若两两正交9ppt课件9特别，若10空间的一组规范基为向量在此规范基下的坐标为因为10ppt课件10空间的一组规范基为向量11例4设证明是的一组基并求关于基的坐标.解11ppt课件11例4设证明是的一组基并求12所以因此在基下的坐标为由行阶梯矩阵知且线性无关,知其为的一组基,进一步将A变成行最简形：12ppt课件12所以因此在基下的坐标为由行阶梯矩阵知且线性无关,知其为13试判断集合V是否为向量空间.13ppt课件13试判断集合V是否为向量空间.13ppt课件14一般有14ppt课件14一般有14ppt课件15三、基变换与坐标变换

由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化.两组基的变换公式表示的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性设与是维向量空间15ppt课件15三、基变换与坐标变换由基的定义可知向量空间中的基16其矩阵形式为：由基到基的过渡矩阵前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？（1）称为16ppt课件16其矩阵形式为：由基到基的过渡矩阵前面已经提到：对于同一向17设向量在上述两组基下的坐标分别为和即17ppt课件17设向量在上述两组基下的坐标分别为和即17ppt课18将（1）式代入上面方程得18ppt课件18将（1）式代入上面方程得18ppt课件19所以有或（2）上式就是在两组基下的坐标变换公式.19ppt课件19所以有或（2）上式就是在两组基下的坐标变换公式.19pp20例6

设中的两组基：

求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式.解取中的第三组基为规范基则有20ppt课件20例6设中的两组基：求基（1）到基21其中由有21ppt课件21其中由有21ppt课件22所以过渡矩阵.通过计算可得:所以22ppt课件22所以过渡矩阵.通过计算23若在基（1）下的坐标为，在基（2）下的坐标为，则由坐标变换公式有即23ppt课件23若在基（1）下的坐标为24四、小结1.向量空间的基、维数