高等数学-幂级数教学课件

耶二第二节幂级数一函数项级数的一般概念图二幂级数及其收敛区间≈三幂级数的运算四函数展开成幂级数五函数的幂级数展开式的一些应用讠耶二函数项级数的一般概念设un(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数列,称∑u2(x)=41(x)+2(x)+…+n(x)+=1为定义在区间I上的函数项级数,到|对x∈I,若常数项级数∑1(x)收敛,称xo为其收7=1敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数∑4(x)发散,称x0为其发散点,所有发散点的全体称为其发散域耶二节在收敛域上,函数项级数的和是x的函数S(x),称它为级数的和函数,并写成S(x)=∑n(x)若用S(x)表示函数项级数前n项的和,即Sx)=∑42(x)k-1令余项n(x)=S(x)-S:(x)则在收敛域上有lims,(x)=s(x),limr(x=0n→耶二节例如,等比级数∑x=1+x+x2+…+x"+…它的收敛域是(1,1),当x∈(1,1)时,有和函数∑x∈(-1,1)=01-x它的发散域是(-∞,-11及[1,+∞),或写作x|≥1.图又知级数∑x士x(x0),当x=1时收1=0但当0<x≠1时,inun(x)=∞,级数发散;所以级数的收敛域仅为|x|=1.耶二二幂级数及其收敛区间形如∑an(x-x)=a0+a1(x-x)+a2(x-x)2++an(x-x)2+的画数项级数称为x一x的幂级数,其中an(n=01,)称为幂级数的系数型当x0=0时,∑qnx”称为x的幂级数耶二定理1.(Abe定理)若幂级数∑qnxx=x点收敛,则对满足不等式x<x的一切x幂级数都绝对收敛反之,若当x=x时该幂级数发散,则对满足不等式x>x的一切x,该幂级数也发散k≈证;设∑an收敛,则必有limana=0,于是存在M-c0纵常数M>0使{anx|≤M(n=1,2…)ax=axoauxM收敛发散发散收O发散耶二节当x<|x0时,∑M收敛∑anx2也收敛,故原幂级数绝对收敛巴反之,若当x=x时读幂级数发散,下面用反证法证之假设有一点x满足x1|>x0且使级数收敛,则由前面的证明可知,级数在点x也应收敛,与所设矛盾,故假设不真.所以若当x=x0时幂级数发散,则对一切满足不等式x}>xn}的x,原幂级数也发散.证毕耶二节几何说明收敛区域发散区域RR发散区域推论如果幂级数∑qnx"不是仅在x=0一点产收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当x<R时,幂级数绝对收敛;当x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散耶二节正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间,收敛区间为下列四种形式之一(一R,R),[R,R),(-R,R,[R,R]规定(1)幂级数只在x=0处收敛,收敛半径R=0,收敛区间x=0;≈(2)幂级数对一切x都收敛,收敛半径R=+∞,狐收敛区间(-∞,+∞)说明幂级数∑qnx"如果在x=x处条件收敛,则H=0x一定是该幂级数收敛区间的端点,即该幂级数的收敛半径R=x019耶二节如果幂级数∑qnx如果在x=x0处收敛,而在x=-x0处发散,则x-定是该幂级数收敛区间的端点,即该幂级数的收敛半径R彐x0问题如何求幂级数的收敛半径?定