2021年山东省济南市禹州市第二高级中学高三数学文测试题含解析

2021年山东省济南市禹州市第二高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在内有极小值，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形，画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图：且四棱锥的底面是边长为2的正方形，由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2，∴几何体的体积V=×22×2=．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据．3.命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B4.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A由题意得，，，，，，，，．故选A。5.在等差数列中，若，则等于（

）

A.

96

B.

48

C.

24

D.12参考答案：B略6.已知p:,

q:,则p是q的（）

A．充分不必要条件

B．充要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（

）A. B. C.2 D.2参考答案：B【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，其中，PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球，又PA=，PB=2，PC=，则外接球半径.故选：B.【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.8.设等比数列中，前n项和为,已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.设集合M＝{－1}，N＝{1＋cos，log0.2（｜m｜＋1）}，若MN，则集合N等于（）A．{2}B．{－2,2}C．{0}D．{－1,0}参考答案：D10.甲，乙，丙，丁，戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”。从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有(

)种A

54

B

48

C

36

D

72参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC-A1B1C1，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为_____.参考答案：【分析】利用棱锥的体积公式结合已知可以求出的值，这样可以求出三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径，最后利用球表面积公式求解即可.【详解】此时“塹堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的直径为，表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了多面体外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了棱锥的体积公式，考查了数学运算能力.12.在抛物线的焦点为圆心，并与抛物线的准线相切的圆的方程是

。参考答案：13.已知函数，则=__________参考答案：014.在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为__________．参考答案：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程．分析：先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．解答：解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=的直线的斜率为，其直角坐标方程是y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣+1=0，其极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，故答案为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且

则

______________．参考答案：略16.不等式对任意恒成立的实数的取值范围是

.参考答案：略17.等比数列中，已知，则的值为

.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．解答： 解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．=．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即a对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a．所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目．19.（09年扬州中学2月月考）（10分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小。

参考答案：解析：（I）如图，取的中点，则，因为，

所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，，由，知，又，从而平面；

（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以，设，则

所以点到平面的距离。

（III）再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故，根据法向量的方向，

可知二面角的余弦值大小为20.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1)

…………1分时,取得极值,

…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知

由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,

…………8分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),

当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.

,故(当且仅当时,等号成立)对任意正整数,取得,

…………10分.故.…………12分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，成立，则时，有.做差比较：构建函数，则，单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.

------12分21.已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,上是减函数，在，＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋在(0,4上是减函数，在4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；(2)设常数c∈1,4，求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大值和最小值．参考答案：(1)由函数y＝x＋的性质知：y＝x＋在(0，上是减函数，在，＋∞)上是增函数，∴＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.(2)∵c∈1,4，∴∈1,2．又∵f(x)＝x＋在(0,上是减函数，在，＋∞)上是增函数，∴在x∈1,2上，当x＝时，函数取得最小值2．又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，f(2)－f(1)＝1－．当c∈1,2)时，f(2)－f(1)>0，f(2)>f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋．当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.当c∈(2,4时，f(2)－f(1)<0，f(2)<f(1)，此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c.综上所述，函数f(x)的最小值为2；当c∈1,2)时，函数f(x)的最大值为2＋；当c＝2