2021年湖南省郴州市桂阳县第三中学高三数学理期末试题含解析

2021年湖南省郴州市桂阳县第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三个数a=（）﹣1，b=2，c=log3的大小顺序为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，1=20＜b=2＜2，c=log3，c=log3＜=0，∴c＜b＜a．故选：C．2.给出30个数：1，2，4，7，11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.下图是计算这30个数和的程序框图，则图中（1）、（2）应分别填上的是（

）A.i≤30；m=m+i-1

B.i≤31；m=m+i-1C.i≤30；m=m+i

D.i≤31；m=m+i参考答案：C略3.函数的定义域为()A.(0,8] B.(-2,8] C.(2,8] D.[8,+∞)参考答案：【知识点】函数的定义域；对数函数；B1,B7.【答案解析】C

解析：【思路点拨】本题主要是考查函数的定义域的求法，我们根据根号下大于等于0，真数大于0的条件即可求出结果.4.已知△ABC中，，，若，则的坐标为（

）A. B. C.(－1,12) D.(5,4)参考答案：A【分析】根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解。【详解】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题。5.函数的图象可能是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D令，因为，所以为奇函数，排除选项；因为时，，所以排除选项，选D.

6.已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，解得1≤x≤2或＜x＜1，∴原不等式的解集为（，2]．则所求概率为=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确求出不等式的解集是关键．7.函数的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

当时，，，，∴，，∴的值域为.考点：三角函数、绝对值函数的值域.8.设F双曲线﹣=1的右焦点，A为其左顶点，过F作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若AP的斜率为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线PF的方程，可得P的坐标，进而可求AP的斜率，利用AP的斜率为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，直线PF：y=﹣（x﹣c），与y=x联立，可得P（，），∵AP的斜率为，∴=，∴4e2+e﹣5=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．【点评】本题考查直线AP的斜率，双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．9.如果一个数含有正偶数个数字8，则称它为“优选”数（如12883，787480889），否则称它为“非优选”数（如2348756，958288等），则四位数中所有“优选”数的个数为（

）

A．459

B．460

C．486

D．487参考答案：B10.已知、为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误的是A.

B.C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，则使f(a)=－1成立的a值是____________.参考答案：-4或2

12.已知直线与曲线切于点，则的值为

.参考答案：3

13.已知函数若实数m，则函数有（

）个零点.参考答案：3略14.已知函数有三个不同零点，则实数的取值范围为------参考答案：15.记，设，若对一切实数，，恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：.16.已知向量，，，则向量与向量的夹角是

．参考答案：17.集合，集合，满足，则实数的范围是_______________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE． （Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分15分） 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．过E作EF⊥AD交AD于F，连BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且

；数列为等差数列，且

.（1）求数列的通项公式；（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.参考答案：解：（1）由，令，则，又，所以

……2分当时，由，可得，即………4分所以是以为首项，为公比的等比数列，于是

…………6分（2）数列为等差数列，公差,可得…………7分从而，

………………11分.

……12分20.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且?的值为2+．（1）求∠A的大小；（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及平面向量数量积的运算可求sin（A+）=1，结合A的范围即可得解A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用正弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2+．∴．（2）∵，∴，∴由，得，∴．21.(本小题10分）已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,曲线的极坐标方程为（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程;（2）若为曲线上的动点,求中点到直线（为参数）距离的最小值.参考答案：（1）点的直角坐标由得,即所以曲线的直角坐标方程为

…………4分（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设,则.那么点到直线的距离.,所以点到直线的最小距离为

……10分22.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D、E分别为A1C1、BC1的中点.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该三棱柱底面边长.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，分别取，中点，，连接，，，证明四边形是平行四边形，即可证明；（2）因为是的中点，所以，利用体积转化求底面边长.【详解】（1）法1：分别取，中点，，连接，，，则，，∴，且，∴为平行四边形，∴且平面，平面，所