2021年湖南省常德市澧县澧澹乡中学高三数学文期末试卷含解析

2021年湖南省常德市澧县澧澹乡中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前项和为，若，则必有A．且

B．且C．且

D．且参考答案：A试题分析：由题意知，，得，，故答案为A考点：等差数列的前项和公式2.设、、均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B3.已知，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：4.设,则=(

)

A．

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知直线、,平面，则下列命题中：

①．若，,则

②．若，,则③．若，,则④．若，,,则，其中真命题有（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：B6.已知，，且，则的最大值是(

)A．3

B．3.5

C．4 D．4.5参考答案：C略7.若函数的部分图像如右图所示，则的解析式可能是（

）．A. B.C. D.参考答案：A由可排除B、D，由可排除C，故选A.8.已知O为坐标原点，，,，，记、、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.如图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形，且AE∥CF，则六个顶点中任意两点的连线组成异面直线的对数是

（

）

A.

45

B．42

C.39

D.

36

参考答案：答案:C10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD+VB﹣PCD==．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为．参考答案：[]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．【解答】解：==，令：，解得：（k∈Z）由于：0≤x≤π，则：函数的单调递增区间为：[]．故答案为：[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定．主要考查学生的应用能力．12.如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=．参考答案：﹣4略13.已知cos（﹣φ）=，且|φ|，则tanφ=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式化简，求出角的大小，然后求解所求函数值．【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，∵|φ|，∴0＜φ，φ=．tan=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．14.已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a=______.参考答案：2【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题．15.已知，若，则实数t=

．参考答案：-1【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量、的坐标，计算可得+与﹣的坐标，又由，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，即可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．16.在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为

．参考答案：.解析：设，根据余弦定理有，故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．17.函数的最大值为_______参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根．（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若，且求C，B，D，E所在圆的半径．参考答案：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故

AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为519.函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．参考答案：解：(1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2(1－cos2x)＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)＝22－－2a－1.这里－1≤cosx≤1.

①若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cosx＝时，f(x)min＝－－2a－1；②若>1，则当cosx＝1时，f(x)min＝1－4a；③若<－1，则当cosx＝－1时，f(x)min＝1.

因此g(a)＝

(2)∵g(a)＝.∴①若a>2，则有1－4a＝，得a＝，矛盾；

②若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，即a2＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．

∴g(a)＝时，a＝－1.

此时f(x)＝22＋，当cosx＝1时，f(x)取得最大值为5.

略20.已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将沿DE折起，如图所示，记二面角的大小为

（1）证明：（2）若为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的身影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的正弦值.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）沿折起，其它边不变，可知且，则有四边形为平行四边形，那么，又由于，，故；（2）解法一：过点A作，垂足为G，连接，由于，则有，故点A在CD的中垂线EF上，过点作，垂足为，连接，由已知得，故，则即是，设原正方形的边长为，根据已知边和角的关系可以求得；方法三：点在平面内的射影在直线上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到。【详解】解：（1）证明：分别是正方形的边的中点，∴且，则四边形为平行四边形，∴.又，而，∴

（2）解法一：过点作，垂足为，连接.∵为正三角形，，∴，∴在垂直平分线上，又∵是的垂直平分线，∴点在平面内的射影在直线上过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，∴直角三角形，，∴.在中，，∴，则，即.解法二：点在平面内的射影在直线上，连接，在平面内过点作，垂足为∵为正三角形，为的中点，∴.又∵，∴.∵，∴又∵且，∴∴为在平面内的射影，∴点在平面内的射影在直线上过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，∴为直角三角形，，∴.在中，，∴，则，即.解法三：（同解法一）点在平面内的射影在直线上，如图，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形的边长为，连接，.所以，，，，.又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为.则，即，所以所以，即.【点睛】本题考查空间向量与立体几何的相关知识，是常考题型。21.(t2分)如图，分别是三棱锥的棱的中点，过三点的平面交于。(Ⅰ)求证：四边形是平行四边形；(Ⅱ)已知，，试在棱上找一点，使平面平面，并说明理由。参考答案：解析：(Ⅰ)∵分别是的中点，∴且

……(1分)∵平面,平面∴平面

…………(2分)∵平面平面，平面∴

…………(4分)∵是的中点，∴是的中点．∴

………(5分)∴∴四边形是平行四边形

…………(6分)(Ⅱ)当时，平面平面

…(8分)在上取一点，连接当时，∵，∴

即当时，，

……(9分)∵，，∴平面

……(10分)∵∴平面

……………(11分)∵平面∴平面平面

…………………(12分)

22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c