2021年河北省秦皇岛市经济技术开发区中学高三数学理模拟试题含解析

2021年河北省秦皇岛市经济技术开发区中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体上任取三个项点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年美国数学家阿佩尔与哈肯证明了四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域（如区域D由两个边长为1的小正方形构成）上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A、B、C、D、E、F标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据相邻的两个区域必须是不同的数字这一规则，逐个区域进行判断。区域C相邻给定的标记为1,2,3的区域，从而可以最先判断。最后可根据几何概型的概率求法来求得概率。【详解】因为区域C相邻标记1，2，3的区域，所以区域C标记4。进而区域D相邻标记2,3,4的区域，从而推出区域D标记1。区域A相邻标记1,2,4的区域，所以区域A标记3。区域E相邻标记2,3,4的区域，从而区域E标记1。区域F相邻标记1,3,4的区域，从而标记2。区域B相邻标记为1,2,3的区域，所以标记4。所以只有B,C标记为4，共占8个边长为1的正方形，面积为8。总共的区域面积为30，所以在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是,故选B.【点睛】此题除了考查概率的基础知识外，更重要考查处理问题的能力。3.已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为

（

）（）（1）（2）．

（）（1）（3）．

（）（2）（3）．

（）（1）（2）（3）．参考答案：C4.已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（

）A． B．1 C． D．参考答案：C5.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中①应为

A．

B．

C．

D．(输出应加上S)参考答案：B略6.双曲线的焦点为F1、F2，连结定点P（1，2）和F1、F2，△使PF1F2总是钝角三角形，则实数b的取值范围为A．

B．

C．（1，2）

D．参考答案：答案:A7.若，则向量的夹角为A.45° B.60° C.120° D.135°参考答案：A因为，所以，即，即，所以向量的夹角为，所以，选A.8.已知a∈{－2,0,1,3,4}b∈{1,2}，则函数f(x)=(a2-2)x+b为增函数的概率是（

）A.

B.

C.

D参考答案：B从集合{-2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2-2）x+b为增函数的是a2-2＞0解得或者，所以满足此条件的a有-2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2-2）x+b为增函数的概率是；故选：B．

9.已知，则

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知函数则下列结论正确的是（） A．?x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） B．?x∈R，f（﹣x）≠f（x） C．函数f（x）在上单调递增 D．函数f（x）的值域是 参考答案：D【考点】分段函数的应用． 【专题】计算题；规律型；数形结合；方程思想；函数的性质及应用． 【分析】画出函数的图象，判断选项即可． 【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；?x∈R，f（﹣x）≠f（x），B不正确；函数f（x）在上单调递增，所以C不正确；函数f（x）的值域是，所以D正确． 不正确的选项为D． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象的应用，函数的值域以及函数的对称性的判断，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，是曲线与围成的区域，若在区域上随机投一点，则点落入区域的概率为.

参考答案：略12.用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________。

参考答案：答案：13.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）参考答案：1080

14.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是

．①对于任意的平面，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面，使得点在线段BC上，点H在线段AD的

延长线上；③对于任意的平面，都有；④对于任意的平面，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．参考答案：③④15.直线过点（-4，0）且与圆交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线的方程为

参考答案：或16.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的最大值是

．参考答案：2因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.17.花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是．参考答案：1﹣【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，记“小花猫距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小花猫与三角形的三个顶点的距离不超过2”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案【解答】解：记“小花猫距三角形三个顶点的距离均超过2”为事件A，则其对立事件为“小花猫与三角形的三个顶点的距离不超过2”，三边长分别为5m、5m、6m的三角形的面积为S=×6×4=12，则事件构成的区域可组合成一个半圆，其面积为S（）=π×22=2π，由几何概型的概率公式得P（）=；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a≤时，h（x）≥0，下面证明a＞时的情况：由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，综上所得，a的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．参考答案：（Ⅰ）∵

∴

.............................................2∴.............6（Ⅱ）由正弦定理得，............................9∴..............................1220.如图，地在高压线(不计高度)的东侧0.50km处，地在地东北方向1.00km处，公路沿线上任意一点到地与高压线的距离相等．现要在公路旁建一配电房向、两地降压供电(分别向两地进线)．经协商，架设低压线路部分的费用由、两地用户分摊,为了使分摊费用总和最小，配电房应距高压线A．1.21km B．0.50kmC．0.75km D．0.96km参考答案：C略21.设是公差大于零的等差数列，已知，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设的公差为，则解得或（舍）所以（Ⅱ）其最小正周期为，故首项为1；因为公比为3，从而

所以，故略22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过