5 1全称量词与存在

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全称量词与存在量词1.5.1

全称量词与存在量词自主预习明新知合作探究攻重难当堂检测提素养自主预习 明新知稳健启程·新知初步构建(2)含有全称量词的命题,叫做

。1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

全称量词

,并用符号“∀”表示。全称量词命题全称量词命题的表述形式:对M

中任意一个x,p(x)成立,可简记为

∀x∈M,p(x)。全称量词命题的真假判断:要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M

中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M

中找到一个元素x0,使p(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题。(2)含有存在量词的命题,叫做

。2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

存在量词

,并用符号“∃”表示。存在量词命题存在量词命题的表述形式:存在

M

中的元素

x,

p(x)成立,可简记为

∃x∈M,p(x)

。存在量词命题的真假判断:要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M

中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M

中,使p(x)成立的元素x

不存在,那么这个存在量词命题是假命题。提示

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等。提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围。p(x)表示集合M的所有元素满足的性质。如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”。合作探究 攻重难细研深究·萃取知识精华类型一

全称量词命题与存在量词命题的判断【例

1】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。自然数的平方大于或等于零;存在实数x,满足x2≥2;有些平行四边形的对角线不互相垂直;存在实数a,使函数y=ax+b的值随x

的增大而增大。解

(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。(2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,满足

x2≥2。是存在量词命题,表示为∃四边形∈{平行四边形},但x

的对角线不互相垂直。是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b

的值随x

的增大而增大。【变式训练】

判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)矩形都是正方形;(3)有些素数的和仍是素数;(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。解

(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于

360°,故为全称量词命题。(2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。(3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。类型二

全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例

2】

(1)(多选)下列命题正确的是

(

)A.存在x<0,x2-2x-3=0C.∀x∈R,√𝑥2=xB.对一切实数x<0,都有|x|>xD.已知an=2n,bm=3m,对于任意n,m∈N*,an≠bm答案与解析(2)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假。①有的集合中存在两个相同的元素。②∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3。③存在一个

x∈R,使

1

=0。𝑥−1④对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin

A=cos

B。解

①是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题。②是全称量词命题,∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3是真命题。③是存在量词命题,因为不存在

x∈R,使

1

=0

成立,所以该命题是假命题。𝑥−1④是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin

A=cos

B,是真命题。【变式训练】

指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假。存在两个正实数x,y

使x2+y2=0。所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形。能被5

整除的整数末位数是0。所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线。解

(1)是存在量词命题,因为当

x2+y2=0

时,x=y=0,所以不存在

x,y

为正实数,使x2+y2=0,故此命题是假命题。是全称量词命题,有两个角是45°的三角形,第三个角必是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真命题。是全称量词命题,因为25

能被5

整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题。

(4)是全称量词命题,有的二次函数的图象是开口向下的抛物线,所以该命题是假命题。类型三

求参数的取值范围【例

3】

(1)已知命题

p:“∀x∈R,ax2+2x+3≥0”是真命题,求实数

a

的取值范围;解

命题

p为真命题,即

ax2+2x+3≥0

在R

上恒成立。①当a=0

时,不等式为2x+3≥0,显然不能恒成立;②当a≠0

时,由不等式恒成立可知൜𝑎

>

0,2𝛥

=

2 −

4

×

𝑎

×3

≤

0,即ቊ𝑎

>

0,𝑎

≥

3

,131

所以a≥。3综上,实数a

的取值范围为ቄ𝑎

ቚ𝑎≥1ቅ。(2)已知命题“∃x∈{x|1≤x≤2},使x2+2x+a≥0”为真命题,求实数a

的取值范围。解

当

1≤x≤2时,由

y=x2+2x=(x+1)2-1的图象,可知

3≤x2+2x≤8,由题意有a+8≥0,所以a≥-8,即实数a

的取值范围为{a|a≥-8}。【变式训练】

(1)已知命题

p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数

m

的取值范围是。解析

因为

x2≥0,所以

m≥0。答案

{m|m≥0}答案与解析(2)已知命题p:“∃x∈R,关于x

的一元二次方程x2+2√3x+m=0

有实数根”是真命题,则实数

m

的取值范围是

。答案与解析当堂检测 提素养即时训练·巩固当堂所学)1.(多选)下列命题中,是全称量词命题的是(A.任何一个实数乘0

都等于0B.自然数都是正整数C.对于任意x∈Z,2x+1

是奇数D.一定存在没有最大值的二次函数解析

D

是存在量词命题。答案

ABC答案与解析2.下列命题中,是存在量词命题的是

(

)A.有些自然数是偶数B.正方形是菱形C.能被6

整除的数也能被3

整除D.对任意实数a,b,c,关于x

的方程ax2+bx+c=0

都有两个实数解解析

命题A

含有存在量词;命题B

可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题C

可以叙述为“一切能被6

整除的数也能被3

整除”,是全称量词命题命题D

是全称量词命题,故选A。答案

A答案与解析3.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是

(

)有一个x∈R,使x2>3成立对有些x∈R,使x2>3

成立任选一个x∈R,使x2>3

成立至少有一个x∈R,使x2>3

成立解析

“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词。答案

C答案与解析4.对任意x>8,x>a

恒成立,则实数a

的取值范围是。解析

因为对于任意

x>8,x>a

恒成立,所以大于

8

的数恒大于

a,所以{a|a≤8}。答案

{a|a≤8}答案与解析5.用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题,并判断真假。4(1)不等式x2-x+1≥0

对一切实数x

都成立。𝑥

2

−2𝑥+3

4(2)存在实数

x,