异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

求异面直线之间距离是立体几何中的难点之一。常用的方法有：定义法、垂直平面法、转化为面面距离、代数求极值法、公式法、射影法、向量法和等积法。定义法是先作出两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例如，在已知正方形ABCD和CDEF的边长a为120的二面角的情况下，求异面直线CD与AE间的距离，可以通过作出DH⊥AE于H，并利用⊿ADE中的关系，求得异面直线CD与AE间的距离为a/2。垂直平面法是将异面直线距离转化为线面距离。若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。例如，在已知直二面角P-AB-Q和棱的交点间的距离为d的情况下，求两条异面直线BF、AE间FCP的距离，可以通过将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，然后利用体积法和三角函数关系求得距离h。转化为面面距离是将异面直线距离转化为平行平面间的距离。若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。具体的求解方法因情况而异。代数求极值法是将异面直线距离转化为求一元二次函数的最值问题。公式法是利用公式求解异面直线间的距离。射影法是利用异面直线的射影来求解距离。向量法是利用向量的性质来求解距离。等积法是利用等体积变换的方法来求解距离。总之，求异面直线之间的距离需要根据具体情况选择合适的方法，结合几何图形和数学知识，灵活运用各种方法，才能得到正确的答案。思路分析：本题要求点到平面的距离，可以采用公式法，即点到平面的距离等于点到平面的投影在法向量上的长度。解：如图所示建立空间直角坐标系，设平面SCD的法向量为n=(x,y,1)。由题意可知，SA⊥平面ABCD，即SA与平面SCD的法向量n垂直，因此n•SA=0。又∠DAB=∠ABC=90゜，故ABCD是一个矩形，因此AB=BC=a。根据勾股定理可知，AD=2a。由此可得，A（0,0,0），C（a,a,0），D（0,2a,0），S（0,0,a），AD=(0,2a,0)，SC=(a,a,-a)，SD=(0,2a,-a)。代入n•SC=0和n•SD=0中，可得方程组：ax+ay-a=02ay-a=0解得，x=1/2，y=1，因此n=(1/2,1,1)。点A到平面SCD的距离为：d=|AD•n|/|n|=6a/√6=2a√6/3。步骤小结：求点到平面的距离：⑴建立空间直角坐标系；⑵设平面的法向量为n；⑶根据题意列出方程组，解得n的坐标；⑷代入点到平面距离的公式，求出距离。V1=1/3*SAD*SB=1/3*(1/2*a*d)*b=1/6*abd以A为顶点，△SBD为底面的三棱锥的体积为V2=1/3*SBD*SA=1/3*(1/2*a*sqrt(b^2-a^2))*b=1/6*absqrt(b^2-a^2)由于V1=V2，所以1/6*abd=1/6*absqrt(b^2-a^2)，即d=sqrt(b^2-a^2)。在这篇文章中，我们介绍了八等积法的应用，它可以将异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的高，并利用体积相等求出该高的长度。我们以一个正四棱锥为例，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)，求底面对角线AC与侧棱SB间的距离。首先，我们设BC与平面SAD间的距离为d，然后以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为V1，以A为顶点，△SBD为底面的三棱锥的体积为V2。通过计算，我们得