等比数列的通项及前N项和性质7大题型总结

第15讲等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结【考点分析】考点一：等比数列的基本概念及公式①等比数列的定义：（或者）．②等比数列的通项公式：．③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）．④等比数列的前项和公式：考点二：等比数列的性质①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则．特别地，当时，则．②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数．③等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 【题型目录】题型一：等比数列的基本运算题型二：等比中项及性质题型三：等比数列通项下标的性质及应用题型四：等比数列前项片段和的性质及应用题型五：等比数列前项和的特点题型六：等比数列的单调性题型七：等比数列新文化试题【典型例题】题型一：等比数列的基本运算【例1】在各项为正的递增等比数列​中，​，则​（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】B【分析】首先根据等比数列的通项公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通项公式.【详解】数列​为各项为正的递增数列，设公比为​，且​，​，​​，​，​，即​，解得:​​​.故选：B【例2】数列中，，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．17【答案】B【分析】先令得到，从而得到数列​是等比数列，进而求得，再将化为，由此可得的值.【详解】依题意，令​，则​，即有​，故数列​是以2为首项，2为公比的等比数列，设数列​的前​项和为​，则，所以，又因为，所以，故​.故选：B​.【例3】已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】应用等比数列通项公式求基本量可得，再由求正整数的范围，即可得答案.【详解】若等比数列的公比为，且，由题设，两式相除得，则，所以，故，显然时不成立，所以且，，即，则，故正整数的最小值为10.故选：C【例4】各项为正数且公比为q的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，根据等差中项的性质，建立方程，利用等比数列的通项公式，整理方程，解得公比，可得答案.【详解】因为成等差数列，所以，即，因为数列为各项为正数且公比为q的等比数列，所以，解得或（舍去），则，故选：B．【例5】已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【详解】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，，此时，所以，故选：D.【例6】若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．故选：D．【例7】已知等比数列：，2，，8，…，若取此数列的偶数项，…组成新的数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，进而即得.【详解】由题可得，所以.故选：C.【例8】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（

）A．31 B． C．31或5 D．或5【答案】B【分析】数列为等比数列，通过等比数列的前项和公式化简，从而得到公比的值，从而求出的值.【详解】因为是首项为1的等比数列，是的前项和，且当时，，计算得所以当时，，，所以综上：故选：B【例9】已知数列满足，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将两边同时取常用对数，即可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，从而求得数列的通项公式.【详解】易知，且，在的两边同时取常用对数，得，故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故选:C．【例10】已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的知识求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】因为，所以或，又，所以.由可知：，所以，则，，由可得取等号时，但，无解；又，经检验且时有最小值.故选:B【例11】设等比数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）结合题干条件求解基本量，利用等比数列的通项公式求解即可；（2）分组求和即可得解.（1）设数列的公比为，则解得，．故．（2）由（1）可得．则．【例12】已知等差数列的前项和为.(1)求的通项；(2)设数列满足：的前项和为，求使成立的最大正整数的值.【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）利用表示题干条件，求解即可得解；（2）先证明是等比数列，利用等比数列求和公式求解，解不等式即可.（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，即，解得，故.（2）由题意，又，故是以为首项，为公比的等比数列，，若，即，即，又，故的最大值为.【题型专练】1.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（

）A． B．数列是等比数列C．数列是公差为等差数列 D．【答案】C【分析】A选项：根据，，再结合等比数列的通项公式即可得到数列的公比；B选项：利用求和公式得到，再利用等比数列的定义证明是等比数列即可；C选项：利用等差数列的定义证明为等差数列即可；D选项：根据求即可.【详解】A选项：因为若，，所以，，所以，所以，（舍），故A正确；B选项：由A知，，所以，，，所以，且，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；C选项：由B知，，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C错误；D选项：由B知，，故D正确；故选：C.2．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．是等比数列 D．【答案】AC【分析】根据递推关系求得，由此判断ABD选项的正确性，结合等比数列的定义判断C选项的正确性.【详解】，即，则，，，所以A正确；显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；又，相除得，因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.故选：AC3.（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设等比数列的公比，利用等比数列的通项公式求得，结合进行讨论求解.【详解】设等比数列的公比，（其中），因为，可得，即，解得或（舍去）又因为，所以，即，所以，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上所述，的最小值为.故选：A.4．（2022·全国·模拟预测（文））设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．32 D．48【答案】D【分析】根据是等比数列，且满足，，计算出其通项公式，然后代入计算即可.【详解】是等比数列，设其公比为，则由，得：，解得，，.故选：D.5．（2022·山东泰安·三模）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由递推关系判断数列为等比数列，再由等比数列通项公式求.【详解】因为对任意的m，，都有，所以，，又，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故选：C.6．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.【答案】6【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题意可得到，能求出和，即可求出答案【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，由题意可得即，易得，所以两式相除，解得，将代入可得，所以，故答案为：67.已知等比数列的公比，，，则___________.【答案】【分析】根据等比数列的性质及，求得与的值，从而可得.【详解】解：由得由等比数列得，所以，即解得或，则或，由，可得，即所以.故答案为：.8.设等比数列的前n项各为，已知，，则___________.【答案】7【分析】根据条件求出等比数列的公比，再求出，根据前n项和的定义计算即可.【详解】由题意，，公比，；故答案为：7.9.已知等比数列的前n项和为，，，则______．【答案】【分析】根据条件建立关于的方程组，解出的值，然后可算出答案.【详解】设等比数列的公比为q，则，解得，，则．故答案为：．10．已知在正项等比数列中成等差数列，则__________．【答案】9【分析】设正项等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【详解】设正项等比数列的公比为，则，因为成等差数列，所以，即，又，所以或（不符合题意，舍去）.所以，故答案为：9.11．正项等比数列中,,.(1)求的通项公式;(2)记为的前,求.【答案】(1)，(2)【分析】(1)设的公比为,由题设得.根据列方程,解出即可得出结果.(2)由(1)的结果可求出,将代入求解即可.（1）设的公比为,由题设得.由已知得,解得或,为正项等比数列,所以.故.（2）由(1)得,则.,,解得.12．已知公比小于的等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；（2）求出，由题意可得出关于的不等式，结合可得出的最小值.（1）解：设等比数列的公比为，则，解得，.（2）解：由（1）可知，由可得，可得．因为，所以的最小值为．题型二：等比中项及性质【例1】三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设原来的三个数为、、，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解.【详解】设原来的三个数为、、，由题意可知，，，，且，所以，，即，解得或.则的所有取值中的最小值是.故选：D.【例2】若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质求得的值.【详解】设等比数列的公比为，所以，根据等比数列的性质可知，解得.故选：B【例3】已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.【详解】解：因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，所以，即，解得，故选：A【例4】已知等比数列满足，公比，且，则（

）A．B．当时，最小C．当时，最小D．存在，使得【答案】AC【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断【详解】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确；对B和C，由等比数列的性质可得，故即，∵，∴，因为，所以，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，所以B错误，C正确；对D，因为，，所以是单调递增数列，所以当时，，故，故D错误，故选：AC【例5】设，，三个数成等比数列，则实数______．【答案】或##或【分析】利用等比中项性质，结合对数运算性质可构造方程求得，由此可得.【详解】，，三个数成等比数列，，，解得：或.故答案为：或.【例6】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，则且则或（舍）则，即通项公式（2）因为与（，2，…）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以【题型专练】1．与的等比中项是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】与的等比中项是.故选：C.2.若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据数列的性质，列式，结合基本不等式，即可比较大小.【详解】由条件可知，，，，，当时，，当时，，所以.故选：B3.若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（

）．A．依次成等差数列 B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列【答案】C【分析】根据等比中项的性质可得，可得当时，，结合对数运算，即可判断答案.【详解】由题意可知不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，即，故当时，，即，故，，各项的倒数依次成等差数列，故选：C4.已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．【答案】【分析】由条件结合等比数列定义，等差数列通项公式和前项和公式可得含的不等式，解不等式可求的取值范围.【详解】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．故答案为：．5.已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则__________.【答案】【分析】将和公差代入等式，求解，写出通项公式，代入，可求出结果.【详解】解：因为是和的等比中项，且公差为，所以，所以.故答案为：.6.已知成等差数列，成等比数列，则____________.【答案】【分析】根据等差、等比中项的性质，求得的值，即可求得值，得到答案.【详解】由成等差数列，可得，解得，又由成等比数列，可得，解得，所以.故答案为：.7.若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．【答案】2或8【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】由题意可得，整理得，解得或，故答案为：2或88.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（

）A． B． C． D．10【答案】B【解析】不妨设插入两个正数为，即∵成等比数列，则成等差数列，则即，解得或（舍去）则故选：B．题型三：等比数列通项下标的性质及应用【例1】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比数列和等差数的性质先求出和的值，从而可求出的值【详解】解：因为数列是等比数列，数列是等差数列，，，所以，，所以，，所以，，所以，故选：A【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题【例2】已知为等比数列，，则（

）A．1或8 B．或8C．1或 D．或

【答案】C【分析】由为等比数列，可得，再结合，可求出，结合等比数列的性质，可求出，即可求出答案.【详解】解：为等比数列，，，解得或，当时，，，；当时，，，；故选：C.【例3】设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质，设，，，则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案【详解】设，，，则A，B，C成等比数列，公比为，且,由条件得，所以，所以，所以.故选：B【例4】等比数列满足且，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件可先求出，进而可判断数列是首项为2，公差为2的等差数列，根据等差数列前n项和公式即可求解.【详解】是等比数列，且，，，，，可知数列是首项为2，公差为2的等差数列，.故选：B.【点睛】本题考查等比数列性质的应用，考查等差数列的判断，考查等差数列前n项和的求解，属于基础题.【例5】在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．【答案】【分析】根据题意，将变形可得，又由基本不等式的性质可得，计算可得答案.【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，即，∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，故的最大值是.故答案为：.【例6】已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.【详解】由得：，.，又，，，，则使得的最小正数n为35.故选：B.【例7】在正项等比数列中，，则（

）A． B．的最小值为1C． D．的最大值为4【答案】AB【分析】AB选项，先根据等比数列的性质得到，再利用基本不等式进行求解，C选项，先得到，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D选项，平方后利用基本不等式，结合进行求解.【详解】正项等比数列中，，故，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，此时，故A正确；，，由基本不等式得：，当且仅当，，时等号成立，此时公比满足题意，B正确；因为单调递减，所以，当且仅当即，时，等号成立，C错误；因为，，所以，当且仅当时等号成立，故，且，解得：，所以，即的最小值为4，故D错误.故选：AB【例8】在等比数列中，，，则______．【答案】31【分析】设，则，利用等比数列的性质进行求解，【详解】设，则，所以．故答案为：31【题型专练】1.已知递增等比数列，，，，则（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可.【详解】因为递增等比数列中，所以，又，解得，所以，解得，所以，故选：D2.在等比数列中，，，则（

）A．5 B．7 C．－5 D．－7【答案】D【分析】根据等比数列的性质，可以求出的值，连同已知，可以求出的值，进而求出首项和公比，分类求出的值．【详解】等比数列有，而，联立组成方程组，，解得或，设等比数列的公比为，当时，解得，；当时，解得，；故选：D3.等比数列中，且，则_______【答案】5【解析】利用等比数列下标和的性质可知，再进行化简即可求解出结果.【详解】，又等比数列中，，，故答案为：5．是等比数列，若，则有.4.若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（

）A． B．1011C． D．1012【答案】C【分析】利用韦达定理、等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解.【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是，则==.故A，B，D错误.故选：C.5.已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042【答案】C【分析】对于A，分，和结合已知条件分析判断，对于B，由已知条件可得，再结合等比中项判断，对于C，由已知条件可得，，，从而可得结论，对于D，由等比数列的性质结合已知条件分析判断【详解】∵，∴，或，又，若，则与矛盾，若，则，与矛盾，则，，，∴A错误∴，∴B错误，∵且，∴的值是中最大的，∴C正确，∵，，∴使成立的最小正整数的值为4043，∴D错误.故选：C6.两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则()A．512 B．32 C．8 D．2【答案】A【分析】直接利用等比数列的性质化简,再代入即得解.【详解】由题得.故答案为A.【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.7.已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据题意得，，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案.【详解】解：因为数列为等差数列，为等比数列，，，所以，即，，即，对于A选项，，故正确；对于B选项，，所以，故错误；对于C选项，设等差数列的公差为，则，故正确；对于D选项，由得，故，当且仅当时等号成立，故正确；故选：ACD8.若等比数列的各项均为正数，且，则___________.【答案】2022【分析】根据等比数列的性质化简得到，由对数的运算即可求解.【详解】因为是等比数列，所以，即，所以故答案为：20228.在正项等比数列中，若，则___________.【答案】9【解析】先由，利用性质计算出，然后利用对数的运算性质计算即可.【详解】∵为正项等比数列，∴若都有∴又，∴即，∴∴=2+2+2+2+1=9故答案为：9【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．题型四：等比数列前项片段和的性质及应用【例1】已知等比数列的前项和为，，，（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【分析】由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．【例2】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.【详解】因为，且也成等比数列，因为，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D错误.故选：A.【例3】若等比数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出.【详解】，，由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，所以，则．故选：D【例4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．【答案】

2

8【分析】根据等差中项可求出；利用，，成等比数列，结合基本不等式可得最小值.【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，所以，所以，当且仅当即时取“＝”．故答案为：；.【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（

）A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列B．若数列的前n项和，则数列为等比数列C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列【答案】BC【分析】由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.【详解】根据题意，依次分析选项：对于选项A：因为，，当时，，所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；对于选项B：因为，，当时，，当时，，符合上式，所以，则数列成等比数列，故B正确；对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误.故选：BC.【题型专练】1．等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选：A2.已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【分析】利用等比数列的性质可得，代入数据即可得到答案【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，又，故可得即，解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C3.若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【详解】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，，所以，整理可得：．进而得故选：D4.设等比数列的前n项和为，若，，则（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【分析】用等比数列前项表示出，即可求出，代入即可求解.【详解】由题知：显然即，解得或（舍）所以故选：C5.设是等比数列的前n项和，若，则______.【答案】【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解.【详解】解：设，所以因为数列是等比数列，所以成等比数列，因为数列的公比为2，所以，所以.所以.故答案为：题型五：等比数列前项和的特点【例1】在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得是以为公比的等比数列，再根据求出的通项公式，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：若，则，又，显然不满足条件，所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，当时，即，当时，所以又，所以，解得．故选：D【例2】已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用先求出，然后计算出结果.【详解】根据题意，当时，,,故当时，,数列是等比数列,则，故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.【例3】已知等比数列的前项和为，则数列的通项公式______________.【答案】.【解析】根据求出首项、第二项、第二项，从而得出t、公比及首项，可得数列的通项公式.【详解】由得，当时，，当时，，，所以当时，，因为数列是等比数列，所以，即，所以，，公比，所以.故答案为：.【题型专练】1.一个等比数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】讨论求得与题设不符，再由等比数列前n项和公式及已知即可求.【详解】当时，，则，显然与题设不符；∴，即等比数列不是常数列，∴，则，可得．故选：B．2．等比数列的前n项和，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】，当时，，因为是等比数列，所以，得，所以A正确.故选：A.3．记为等比数列的前项和，已知，，则_______.【答案】【分析】设等比数列的公比为，分、两种情况讨论，根据等比数列前项和的特点可求得实数的值.【详解】设等比数列的公比为.若，则，，不合乎题意；若且，则，又因为，故，解得.故答案为：.题型六：等比数列的单调性【例1】等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.【答案】(答案不唯一)【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.【详解】满足上述所有条件的一个数列的通项公式.故答案为：(答案不唯一)【例2】设是公比为的等比数列，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若且，则，所以，，则，所以，“”“”；另一方面，取，则，但，即“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.【例3】已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(

)A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．【详解】对于A，，，则单调递减，故A不符题意；对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意；对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意．故选：D﹒【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列，下列说法正确的是（

）．A．当时， B．当时，C．当时， D．【答案】AC【分析】利用等比数列的性质，逐个选项进行判断即可求解【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；B．当，时，为摆动数列，故错误；C．当，时，数列为递增数列，故正确；D．，当时，，此时，当时，，，故错误故选AC．【题型专练】1.设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（

）A．， B．，C． D．【答案】C【分析】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论.【详解】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，.①若，则对任意的，，由可得，即；②若，则对任意的，，由可得，此时.所以，为递增数列的充要条件是，或，

，当，时，，则；当，时，，则.因此，数列为递增数列的充要条件是.故选：C.2.在等比数列中，公比是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当时，则，因为，所以，所以，故，所以不能推出，当时，则，由，得，则，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比的范围即可.【详解】由题意，，又，∴要使为递增数列，则，当时，为递增数列，符合题设；当时，为递减数列，符合题设；故选：C.题型七：等比数列新文化试题【例1】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出.【详解】第一次操作去掉的区间长度为，第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为，第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为，，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意可知，，即，解得，又为整数，所以需要操作的次数n的最小值为.故选：A.【例2】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.【例3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为由化简得，解得故选:A【例4】我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（

）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】D【分析】由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．【详解】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，故，即，因为在上单调递增，当时，，而，故的解为,故至少需要5天，故选：D．【例5】费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，利用等比数列的前项和公式求得，进而求得的最小自然数，得到答案.【详解】由题意，可得数列满足，利用等比数列的前项和公式，可得数列的前项和，当时，可得；当时，可得，又由，所以单调递增，所以的最小自然数为.故选：B.【题型专练】1.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【答案】B【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第天的蜜蜂数第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数故选：B．2.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第个图中的图形的周长为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题图规律确定第n个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长.【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长；第二个图有12条边，各边长为，故周长；第三个图有48条边，各边长为，故周长；……所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条，边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为，故.故选：C3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里【答案】D【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题