自动控制理论数学模型

自动控制理论数学模型7/27/20231第1页，课件共49页，创作于2023年2月本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式各种数学模型的相互转换7/27/20232第2页，课件共49页，创作于2023年2月概述[数学模型]：

我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。概述7/27/20233第3页，课件共49页，创作于2023年2月

分析法——对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。

建立控制系统数学模型的方法7/27/20234第4页，课件共49页，创作于2023年2月数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型复域模型状态空间模型1、微分方程－输入量和状态变量都是连续的2、差分方程－离散系统频率特性，波特图1传递函数2结构图－信号流图7/27/20235第5页，课件共49页，创作于2023年2月控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。7/27/20236第6页，课件共49页，创作于2023年2月[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。概述7/27/20237第7页，课件共49页，创作于2023年2月古典控制理论中，采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。概述7/27/20238第8页，课件共49页，创作于2023年2月2.1控制系统的时域数学模型——微分方程7/27/20239第9页，课件共49页，创作于2023年2月微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程7/27/202310第10页，课件共49页，创作于2023年2月控制系统的微分方程[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。②①解：根据KVL定律由②：，代入①得：这是一个线性定常一阶微分方程。7/27/202311第11页，课件共49页，创作于2023年2月由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。7/27/202312第12页，课件共49页，创作于2023年2月[例2-3]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。控制系统的微分方程7/27/202313第13页，课件共49页，创作于2023年2月[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一样的。7/27/202314第14页，课件共49页，创作于2023年2月2、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性：（1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。（2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变非线性环节微分方程的线性化7/27/202315第15页，课件共49页，创作于2023年2月若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非线性环节微分方程的线性化AByx07/27/202316第16页，课件共49页，创作于2023年2月3.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤7/27/202317第17页，课件共49页，创作于2023年2月[例2-4]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是线性系统微分方程的编写例子[例2-4]7/27/202318第18页，课件共49页，创作于2023年2月线性系统微分方程的编写例子[例2-4]⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：7/27/202319第19页，课件共49页，创作于2023年2月2.2控制系统复域数学模型7/27/202320第20页，课件共49页，创作于2023年2月

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合传递函数的基本概念7/27/202321第21页，课件共49页，创作于2023年2月将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s)X(s)。通过反变换可求出时域表达式y(t)。传递函数的基本概念称为环节的传递函数式中：x（t）—输入，y（t）—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。复习拉氏变换2.2.1、传递函数的基本概念7/27/202322第22页，课件共49页，创作于2023年2月[关于传递函数的几点说明]传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。传递函数的基本概念7/27/202323第23页，课件共49页，创作于2023年2月传递函数的基本概念[例2-5]求电枢控制式直流电动机的传递函数。[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：方程两边求拉氏变换为：令，得转速对电枢电压的传递函数：令，得转速对负载力矩的传递函数：最后利用叠加原理得转速表示为：7/27/202324第24页，课件共49页，创作于2023年2月传递函数的基本概念[例2-6]求下图的传递函数：7/27/202325第25页，课件共49页，创作于2023年2月传递函数的基本概念例2[例2-6]求下图的传递函数（运算电路法）7/27/202326第26页，课件共49页，创作于2023年2月传递函数的表现形式[传递函数的几种表达形式]：表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。—传递系数7/27/202327第27页，课件共49页，创作于2023年2月传递函数的表现形式写成时间常数形式：分别称为时间常数，K称为放大系数显然：，若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或其系数由或求得；7/27/202328第28页，课件共49页，创作于2023年2月若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：传递函数的表现形式从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。式中：或：7/27/202329第29页，课件共49页，创作于2023年2月典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：可调电位器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节：时域方程：传递函数：2.2.3典型环节的传递函数7/27/202330第30页，课件共49页，创作于2023年2月积分环节有一个0值极点。在图中极点用“”表示，零点用“”表示。K表示比例系数，T称为时间常数。（二）积分环节：时域方程：传递函数：0S平面j07/27/202331第31页，课件共49页，创作于2023年2月积分环节实例积分环节实例：①RC图中，为转角，为角速度。可见，为比例环节， 为积分环节。②电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组7/27/202332第32页，课件共49页，创作于2023年2月（三）惯性环节时域方程：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分布图如下：通过原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。1yt00.632T通过原点切线斜率为1/TjRe0S平面惯性环节7/27/202333第33页，课件共49页，创作于2023年2月①R2C-+R1而R②C两个实例：惯性环节实例7/27/202334第34页，课件共49页，创作于2023年2月振荡环节（四）振荡环节：时域方程：传递函数：上述传递函数有两种情况：当时，可分为两个惯性环节相乘。即：传递函数有两个实数极点：7/27/202335第35页，课件共49页，创作于2023年2月振荡环节分析y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图若，传递函数有一对共轭复数。还可以写成：设输入为：则7/27/202336第36页，课件共49页，创作于2023年2月微分环节（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：①②③相应的传递函数为：①②③分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点若(）在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。7/27/202337第37页，课件共49页，创作于2023年2月式中：y(t)x(t)R1R2C[实例]微分环节实例7/27/202338第38页，课件共49页，创作于2023年2月延迟环节（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或x(t)ty(t)t7/27/202339第39页，课件共49页，创作于2023年2月（七）其他环节：还有一些环节如等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。其他环节7/27/202340第40页，课件共49页，创作于2023年2月①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为拉氏反变换。复习拉氏变换复习拉氏变换7/27/202341第41页，课件共49页，创作于2023年2月⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复习拉氏变换②性质：7/27/202342第42页，课件共49