自动控制原理第五章

自动控制原理第五章第1页，课件共93页，创作于2023年2月1线性定常系统（传函G(s)）x(t)y(t)5-1-1定义输出幅值Y和相位差φ是输入正弦信号频率ω的函数。当ω：0→∞，输出稳态分量ys与输入x的复数比:ys(t)与输入x(t)的幅值比,称为幅频特性(振幅之比);ys(t)与输入x(t)的相位差,称为相频特性(相位之差)。称为频率特性。旋转矢量表示5-1频率特性及其数学描述第2页，课件共93页，创作于2023年2月2RCuiuc例5-1RC网络如图，当，求输出响应。解：瞬态分量稳态分量第3页，课件共93页，创作于2023年2月34)在传递函数中，令，则有：可见，1)线性定常系统的频率响应是与输入同频率的正弦信号；

2)频率响应的幅值和相移均是输入信号频率ω的函数；

3)幅频特性：

相频特性：

注：复数的表示形式第4页，课件共93页，创作于2023年2月4线性定常系统微分方程传递函数频率特性对线性定常系统有：

对线性定常系统，有如下关系：5-1-2频率特性、微分方程、传递函数之间的关系

证明方法：1)正弦信号的L变化；2)系统的稳态响应；3)频率特性的定义。第5页，课件共93页，创作于2023年2月5在正弦作用下：稳态分量暂态分量同理：G(jω)与G(-jω)模值相同，相角相反：证明：设第6页，课件共93页，创作于2023年2月6于是：可见，ys(t)

也是与x(t)

同频率的正弦信号振幅Y=XA(ω)(初)相位即与输入信号的相位差第7页，课件共93页，创作于2023年2月7例如幅频：

相频：

应注意的问题1频率特性是一种数学模型，是传递函数的一种特殊形式；令：s=jω,即可由传递函数得到频率特性；2频率特性是从正弦的稳态响应求出的，但表示的是系统的动态特性。3频率特性是指ω：0→∞时的频率响应，在某一ω下的频率响应不能表示系统的动态特性。4从稳态响应测频率特性，给实验获取频率特性提供了方便，但不稳定系统频率特性是观察不到的。第8页，课件共93页，创作于2023年2月8——相频特性

——幅频特性——实频特性——虚频特性

1）指数式：2）幅值、幅角：3）代数式：4）三角式：5-1-3频率特性的数学表示法——对数幅频特性

——对数相频特性

幅相特性对数频率特性第9页，课件共93页，创作于2023年2月91极坐标图：5-2-1幅相频率特性曲线（极坐标图）ω从0→∞，

的端点在极坐标上的轨迹幅相图可绘制在极坐标纸上，也可绘制在直角坐标纸上。

2绘制方法对应，求出，绘点。2)直角坐标纸：即以ω为参变量的与的关系图。

1)极坐标纸：求对应的3)由零、极点分布图绘制5-2频率特性的几何表示（图示法）第10页，课件共93页，创作于2023年2月10例5-2绘制极坐标图

解：1在极坐标纸上K●0.707K●●2在直角坐标纸上U(ω)V(ω)K●K/2-K/2●●第11页，课件共93页，创作于2023年2月113由零、极点分布图绘制1)在[s]上标出开环零极点；2)令s=jω,即s沿虚轴变化：[s]j●0●U(ω)V(ω)K●K/2-K/2●●第12页，课件共93页，创作于2023年2月121对数坐标图（Bode图）以ω为变量的频率特性图

对数幅频特性对数相频特性

横轴以ω的对数分度纵轴是线性分度5-2-2对数坐标图（Bode

图）第13页，课件共93页，创作于2023年2月13注意：1)ω=0时lgω=-∞，所以ω=0

不能标在有限的坐标系内；2)坐标轴交点处L=0dbω任意=00

ω任意3)为作图方便，应熟记：lg2=0.3lg4=lg22=0.6lg5=0.7lg8=lg23=0.94)做作业时，建议比例

3cm——十倍频1cm——20dB1cm——900或按比例缩放。第14页，课件共93页，创作于2023年2月142）求对数幅频特性及对数相频特性2绘制Bode图的一般步骤3特点

1）容易绘制（用折线代替曲线，复杂系统可分解为典型环节的叠加）；

2）频率范围宽，并可根据需要选频段；

3）可明确表示零、极点的影响。1）将写成指数式（幅值、幅角形式）：3）以ω为变量，在半对数坐标纸上绘制：对数幅频特性图：对数相频特性图：纵轴20lg|G(jω)|=L(ω)横轴ω（对数坐标）横轴ω（对数坐标）纵轴第15页，课件共93页，创作于2023年2月15例5-3

绘制Bode图。

解：高频段低频段转折频率第16页，课件共93页，创作于2023年2月16200-20-40-6090450-45-900.010.1110100●●●●1/T第17页，课件共93页，创作于2023年2月171对数幅相图

例5-4

绘制对数幅相图0-10-20-30-40-900-45000注：一般利用Bode图绘制

2特点1）用于确定闭环稳定性2）较方便的解决了系统校正问题5-2-3对数幅相图（尼科尔斯图）第18页，课件共93页，创作于2023年2月185-3-1典型环节1最小相位典型环节1)

比例环节G(s)=K2)

惯性环节3)

振荡环节4)

一阶微分环节5)二阶微分环节6)积分环节7)微分环节

5-3典型环节及频率特性曲线的绘制

第19页，课件共93页，创作于2023年2月192非最小相位环节

1)

比例环节2)一阶惯性环节6)纯滞后环节

5)二阶微分G(s)=K(K<0)(T>0)3)振荡环节4)一阶微分(T>0)第20页，课件共93页，创作于2023年2月201比例环节即G(jω)的A(ω)和(ω)均为常值。

ReImK>0G(s)=K

G(jω)=K20lgK005-3-2最小相位典型环节的频率特性特点：无相位滞后。

第21页，课件共93页，创作于2023年2月210.111010000-900200-20ReIm-20db/dec对数幅频特性：ω=1穿过0dB的-20dB/dec的直线；对数相频特性：滞后900，与ω无关。2积分环节第22页，课件共93页，创作于2023年2月220.1

1

10

100

00-900200-20900ReIm3纯微分环节积分环节与微分环节比较：-20db/dec20db/dec第23页，课件共93页，创作于2023年2月231渐近对数幅频特性0.1

1

10

100

00-450200-20450900-90040-40ReIm1/TT变化，曲线平移低频段：高频段：转折频率：-20db/dec4一阶惯性环节-450/dec第24页，课件共93页，创作于2023年2月24ReIm1U(ω)≡1，V(ω)随ω的增加而增加，最大超前相角为900。一阶惯性环节与一阶微分环节比较：1）传递函数互为倒数；2）幅相图：0.1

1

10

100

00-450200-204501/T3）Bode图：20db/dec-20db/dec5一阶微分环节第25页，课件共93页，创作于2023年2月25●PAB6振荡环节第26页，课件共93页，创作于2023年2月261）幅相图令，则有即无论ζ取何值，当u=1(ω=ωn)时，幅相曲线与负虚轴相交，交点坐标：ReIm1.0..第27页，课件共93页，创作于2023年2月27对数幅频特性对数相频特性当时,即2）

Bode图当即时,（-40db/dec）当时

转折点交接频率

一般并不是最大误差点（低频段）（高频段）第28页，课件共93页，创作于2023年2月280.1

1

10

100

00-900200-209001800-1800-4040ωn-40db/dec0<ζ<0.707，存在Mrζ>0.707，不存在Mrζ↓→(ω)曲线越陡，工程上，常用折线加修正绘制Bode图A(ω)对ω求导得：转折点ωr——谐振频率A(ω)取极大值

Mr——谐振峰值，与ζ有关，ζ↓→Mr↑ζ→0，曲线→折线第29页，课件共93页，创作于2023年2月29二阶振荡环节的倒数1）绘制幅相图ReIm1.2ζ.

7二阶微分环节第30页，课件共93页，创作于2023年2月302）对数频率特性图0.111010000-900200-209001800-1800-4040ωn40db/dec对数幅频特性：与二阶振荡环节的bode图关于0db线对称；对数相频特性：与二阶振荡环节的bode图关于00线对称。-40db/dec与二阶振荡环节一样，当0<ζ<0.707，存在谐振。第31页，课件共93页，创作于2023年2月31特点：与最小相位典型环节中的某参数反号-K1比例环节

G(s)=-K(K>0)

G(jω)=-K

ReIm0.111010000-900200-209001800-1800-404020lgK5-3-3非最小相位环节的频率特性曲线第32页，课件共93页，创作于2023年2月32与一阶滞后环节的对数幅频相同，相频相反。

ReIm0.1

1

10

100

00-450200-20450900-90040-401/T-20db/dec1思考题：绘制频率特性曲线。2惯性环节(T>0)

第33页，课件共93页，创作于2023年2月333一阶微分(T>0)由上述曲线可知，最小相位与非最小相位的频率特性有如下关系：①对数幅频特性（L(ω)）相同；②相频特性相反,在对数相频特性图上，关于0度线对称；ReIm10.1

1

10

100

00-450200-204501/T20db/dec③幅相图对称于实轴。适用于二阶振荡环节、二阶微分环节第34页，课件共93页，创作于2023年2月340.111010000-900200-209001800-1800-4040-40db/decReIm1.0..ωn4振荡环节第35页，课件共93页，创作于2023年2月350.111010000-900200-209001800-1800-4040ωn40db/decReIm1.2ζ.5二阶微分第36页，课件共93页，创作于2023年2月36可见，增加纯滞后环节，幅频特性不变，相频特性随频率增加，影响增大(相角滞后加大)。ReIm0.1110100200-2000-900-1800-2700-3600-4040（弧度）6纯滞后环节

第37页，课件共93页，创作于2023年2月37开环幅相曲线的绘制3)曲线变化范围：

5-4-1开环幅相曲线的绘制——由表达式取点，计算，描点。概略曲线——工程方法。精确曲线概略幅相曲线的三要素：1）起点：终点：2)与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx；象限，单调性。5-4开环频率特性的绘制

第38页，课件共93页，创作于2023年2月38

——对应的

1起点K2终点

——对应的

第39页，课件共93页，创作于2023年2月39

3与实轴的交点4曲线变化范围（象限及单调性）

——穿越频率当G(jω)H(jω)包含非最小相位环节或一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会有凹凸点，即相角不会单调减少。第40页，课件共93页，创作于2023年2月401）起点：

起点处渐近线:

2）终点：

3）变化范围：积分环节:-900→-900两个一阶环节:00→-18004）与实轴的交点：

根据两角和的正切公式:

求A(ωx

)：

Ⅲ象限→Ⅱ象限●j例5-5绘制开环系统的幅相图第41页，课件共93页，创作于2023年2月41概略幅相曲线。

解：惯性环节角度变化为

Ⅳ,Ⅲ象限

1）Ⅲ,Ⅱ象限

2）Ⅱ,Ⅰ象限

3）Ⅰ,Ⅳ象限

4）④③②①j例5-6绘制第42页，课件共93页，创作于2023年2月42解：

起点：

终点：

与实轴的交点：令虚部为零，得：变化范围：Ⅲ、Ⅱ象限变化范围：即Ⅲ象限或Ⅳ、Ⅲ象限。j例5-7绘制概略幅相曲线。与实轴无交点第43页，课件共93页，创作于2023年2月43解：例5-8绘制的概略幅相曲线。

起点：

终点：

与实轴的交点：令虚部为零，得：变化范围：单调变化，即Ⅲ、Ⅱ象限。j-Kτ第44页，课件共93页，创作于2023年2月44即总的曲线等于各典型环节的叠加。

1)分解2步骤1思路：将复杂的G(s)H(s)分解为典型环节的串联比例积分、微分一阶惯性、一阶微分二阶振荡、二阶微分2)求各环节转折频率，并从小到大排列：最小的转折频率ωmin和最大的ωmax。5-4-2开环对数频率曲线(Bode图)的绘制第45页，课件共93页，创作于2023年2月453)低频段位置确定：(三种方法)③取由K和积分环节决定.ω<ωmin：①在ω<ωmin上任取ω0，计算4)ωmin<ω<ωmax：按转折频率对应的环节绘制5)必要时作修正.②第46页，课件共93页，创作于2023年2月46解:1)

2)转折频率

1，2，20；K=103)低频段：4)时例5-10绘制对数频率特性图(渐近特性曲线)。

第47页，课件共93页，创作于2023年2月475）作图范围：20400-20-1800-2250-2700-3150-3600-4060-60-40500.111010010000.01-40db/dec-60db/dec2-40db/dec-80db/dec-450/dec-900/dec-450/dec-900/dec6）校正

202000.218.7第48页，课件共93页，创作于2023年2月482）转折频率：,10,30解:1）

3）低频段：ω<<1.414ω=1时：4）ω=1.414—30例5-11绘制

的对数幅频渐近特性曲线。横坐标范围：ω=0.1~1000第49页，课件共93页，创作于2023年2月496）修正：20400-20-900-1350-1800-2250-2700-4060-60-31500.111010010000.011.41430-20db/dec-60db/dec-80db/dec-60db/dec-900/dec-1350/dec-900/dec450/dec5）作图1.414~30范围：第50页，课件共93页，创作于2023年2月501幅频特性←→相频特性,即由幅频特性→相频特性、传递函数2最小相位系统是稳定的，因此可用实验方法获得其频率特性。例5-12

已知某最小相位系统近似幅频曲线，求G(s)，并绘制相频曲线。

3020100-10-20-9000.111010027-20-40-20最小相位系统的特点：15第51页，课件共93页，创作于2023年2月51-40dB/dec0201220db/dec1ω1ω2100解:1)由低频段确定比例环节和积分或微分的个数:20dB/dec——一个微分环节

2)确定传递函数结构形式：

ω1处：-20dB/dec——一阶惯性环节

ω2处：-40dB/dec——二阶振荡环节例5-13

实验方法测得某对象的频率特性曲线(该对象为

最小相位环节)，试确定该环节的传递函数。待定参数：第52页，课件共93页，创作于2023年2月52低频段：，有直线方程：由图知：

3)确定参数第53页，课件共93页，创作于2023年2月53，有直线方程：取又第54页，课件共93页，创作于2023年2月545-5-1辅助函数及围线映射原理构造辅助函数,利用围线映射原理，将s域内“用闭环极点分布判断系统稳定性”转换为在频域内“用开环频率特性曲线判断系统稳定性”。1辅助函数

F(s)(1)定义：H(s)G(s)_R(s)C(s)(2)辅助函数的特点

1)

F(s)零点是闭环极点，F(s)极点是开环极点；

2)

F(s)的零、极点个数相同；

3)

F(s)与G(s)H(s)只差常数1，5-5频率域稳定判据即[F]的原点是[GH]的(-1,j0)点。第55页，课件共93页，创作于2023年2月55s1●F(s1)

●当

F(s1)称为s1在[F(s)]上的映射。设s为复变量，F(s)为s的有理分式函数：s沿Γs(Γs不穿过F(s)的零极点)连续变化一圈时，ΓsF(s)在[F(s)]上也形成一条封闭曲线ΓF.3

幅角原理Γs顺时针包围零点zi一圈，设：ΓF

顺时针包围[F(s)]原点一圈Γs顺时针包围极点pk一圈，ΓF

反时针包围原点一圈。[s]j[F(s)]j2

复平面围线映射概念第56页，课件共93页，创作于2023年2月56如果[s]上Γs(不穿过F(s)的零、极点)包围F(s)的Z个零点和P个极点，Γs在[F(s)]上的映射为封闭曲线ΓF,ΓF包围原点的圈数R，即在[GH]上的映射ΓGH包围(-1,j0)点的圈数R为R=P-ZR>0——逆时针；R<0——顺时针；R=0——不包围。（闭环极点）（开环极点）Γs包围的F(s)的零点数Γs包围的F(s)的极点数可见，如果Γs包围[s]整个右半平面，则ΓF在[F(s)]上也是一封闭曲线，且Γs包围F(s)零、极点的个数决定ΓF在[F(s)]包围原点的方向和次数,即决定ΓGH在[GH]上包围(-1,j0)的方向和次数。将系统稳定的充要条件转换到频域。幅角原理：

第57页，课件共93页，创作于2023年2月571G(s)H(s)在原点及虚轴无极点(不包含积分及等幅振荡环节）1)Nyquist围线（轨线）：ΓN包围整个右半平面j[s]奈氏围线ΓN2)ΓN数学描述：3)ΓN的映射ΓGH负频特性一点结论:ΓN

在[GH]上的映射ΓGH为ω:-∞→+∞时的开环幅相曲线，5-5-2奈氏稳定判据称为Nyquist曲线。第58页，课件共93页，创作于2023年2月581系统稳定的充要条件：ω：-∞→+∞的开环幅相曲线在[GH]上逆时针包围（-1,j0）圈数R等于开环不稳定极点个数P。2当系统不稳定时，右半平面特征根数Z=P-R。

例5-15已知，试判断系统稳定性。

解：绘出系统开环的Nyquist图：(-1,j0)j[GH]●-2开环不稳定极点数：P=1，曲线绕（-1,j0）点逆转1圈，即R=1Z=P-R=0，故系统稳定。验证：特征方程s-1+2=0s=-1即：Z=04）Nyquist判据第59页，课件共93页，创作于2023年2月59(b)ω=0-ω=∞--1(a)ω=0+ω=∞+j-1j例5-16已知开环幅相曲线，试绘制Nyquist图,并计算R。第60页，课件共93页，创作于2023年2月601)Nyquist围线（轨线）在原点处有极点—ΓN绕过原点，包围整个右半平面。2)ΓN数学描述3)ΓGH绘制

当：模→∞幅角2G(s)H(s)包含积分环节

j[s]×即当ω从0-→0+时，ΓGH半径为∞，顺时针转ν×1800的圆弧。

第61页，课件共93页，创作于2023年2月61,试判断系统稳定性。0++∞解：由GH

知：系统不稳定，右半平面根个数：Z=2。起点终点G(jω)H(jω)与实轴无交点0-(-1,j0)j例5-17？第62页，课件共93页，创作于2023年2月62(b)(a)①③②①

R=-2;(c)(d)R=-3②R=0;③R=-20+0-0+0-0+0-0+0--1j-1jj-1j例5-18已知系统开环幅相曲线,绘制Nyquist图,并计算R。

第63页，课件共93页，创作于2023年2月63定义：GH(jω)包围(-1,j0)点圈数R等于GH(ω:0→0+→∞)时，在(-1,j0)点左侧穿过负实轴的次数,系统稳定←→Z=P-R=0负穿越:从下向上正穿越:从上向下图a①：N+=0，N-=1，R=-2②：N+=0，N-=0，R=0图b①：N+=0，N-=1，R=-2②：N+=0，N-=0，R=0图c①：N+=0，N-=1,R=-2②：N+=1，N-=1，图d：③：N+=1，N-=2，①③②R=-2R=-3即R=2(N+-N-)●ω=03Nyquist判据的另一种形式N+=0，N-=1.5，R=0-1j-1jj-1j第64页，课件共93页，创作于2023年2月64解:方法1绘制完整的Nyquist曲线方法2利用正负穿越：

ω=0点位于负实轴，负穿越0.5次，R=2(N+-N-)=-1Z=P-R=1-(-1)=2系统不稳定。ω=0+ω=+∞ω=0-ω=-∞GH(jω)顺时针旋转1800R=-1(顺时针包围(-1,j0)一次)Z=P-R=21）绘制GH的负频幅相曲线2）绘制完整的Nyquist曲线系统不稳定。-1j例20已知某系统开环幅相曲线，υ=1,P=1,判断稳定性。υ≠0时GH(j0)点的位置：从GH(j0+)半径∞，逆时针υ×900第65页，课件共93页，创作于2023年2月65解：

在[GH]上为顺时针内螺旋线

只有R=0系统才稳定，即解得：

试用奈氏判据确定闭环稳定的τ的范围。

-1j例5-22已知延迟系统开环传递函数当时，系统处于临介稳定状态。第66页，课件共93页，创作于2023年2月66-2-1.5-0.5-1解：G(jω)在(-1,j0)左侧与负实轴有两个交点，K=10时：,可得相应的K值：令-1-1-1N-=1，N+=1，R=P=0,故系统稳定。确定K的稳定范围N-N+由题知穿越频率：ω1、ω2、ω3

jj例5-23已知开环幅相曲线如图,判断闭环的稳定性。第67页，课件共93页，创作于2023年2月67——Nyquist稳定判据在Bode图上的推广1→Bode图在[GH]上在半对数坐标图上的转换无积分环节：有积分环节：有等幅振荡环节：Bode图+向上补做的虚直线+向上补做的虚直线至5-5-3对数频率稳定判据第68页，课件共93页，创作于2023年2月682

穿越点确定穿过负实轴

3

穿越次数计算：N=N+-N-正穿越1次：[GH]：从上向下→Bode图：L(ω)>0，φ(ω)从下向上负穿越1次：[GH]：从下向上→Bode图：L(ω)>0，φ(ω)从上向下正穿越半次：[GH]：从上向下止于负实轴或从负实轴向下Bode图：从下向上止于(2k+1)π线，或从(2k+1)π线向上负穿越半次：[GH]：从下向上止于负实轴，或从负实轴向上Bode图：从上向下止于(2k+1)π线，或从(2k+1)π线向下注意：补做的虚直线所产生的穿越均为负穿越。截止频率4判据：，且L(ω)>0时，Z=P-2N=0——系统稳定第69页，课件共93页，创作于2023年2月69解：——1次负穿越——半次负穿越N-=1.5，N=N+-N-=-1.5Z=P-2N=31800-1800-900ω1ωcω2图中时，系统不稳定低频段向上2700补做的虚直线5

条件稳定系统与结构不稳定系统

开环P=0时,其闭环稳定性与某参数有关,称为条件稳定系统；开环P=0,但其闭环总不稳定，称为结构不稳定系统。例5-24开环Bode图如下,试确定系统的稳定性。第70页，课件共93页，创作于2023年2月70——反映系统相对稳定性的概念①

不稳定5-6-1定义当时,设:当时，

临界稳定稳定截止频率，或剪切频率

相角交接频率,穿越频率

1截止频率与穿越频率但②的稳定程度高②5-6稳定裕度

-1j-1j-1j●ωc●ωx●ωc=ωx●ωcωx

●●ωcωx●第71页，课件共93页，创作于2023年2月71相角裕度：幅值裕度：含义：对于闭环稳定的系统，开环的相频特性含义：对于闭环稳定系统，如果开环幅频特性A(ω)再增加h倍，系统就处于临界稳定状态，即如果L(ω)再向上平移h(db)系统就处于临界稳定状态。●ωcγωx●1/h再滞后度，系统就处于临界稳定状态。2相角裕度与相位裕度-1j第72页，课件共93页，创作于2023年2月72

5-6-2

在开环频率特性图上的表示

1幅相图-1j●ωcγωx●1/h

2

Bode

图00-1800ωω-9000dbL(ω)(ω)ωcγωxh(db)可见，稳定的最小相位系统:

为了获得比较好的过渡过程，通常要求：第73页，课件共93页，创作于2023年2月73解：例5-25已知系统开环传递函数,当K=4,10时,求γ,h。

第74页，课件共93页，创作于2023年2月74试求取K=5和K=20时的h和γ。

例5-26已知系统开环传递函数解:1)绘制K=1时的Bode图40200-20-40-60-90-135-180-225-2700.010.111010010002)K=5时,向上平移20lg53)K=20时,向上移20lg204)由L(ω)=0确定ωc——确定γ5)由φ(ω)=-1800

确定ωx——确定h一般，K↑→L(ω)上移→ωc↑→

γ↓，h↓，稳定性下降；K↓→L(ω)下移→ωc↓→γ↑，h↑，相对稳定性↑，但K↓→稳态误差增大。第75页，课件共93页，创作于2023年2月755-7-1确定闭环频率特性的图解法

工程上常由开环G(jω)确定闭环(jω)等M、等N圆尼科尔斯图计算机绘图1单位反馈系统的闭环频率特性G(s)-R(s)C(s)闭环频率特性：

设：

其中：

M(ω)：闭环幅频特性；(ω)：闭环相频特性。5-7闭环系统频率特性及频域性能指标第76页，课件共93页，创作于2023年2月76（1）等M、等N圆等M圆等N圆其中：上述方程与G(s)的具体形式无关，即适于任何单位反馈系统。

M=1M=0.8M=0.4M=0.2M=1.3M=1.4M=3200-200600-600jj第77页，课件共93页，创作于2023年2月77利用欧拉公式1）等线取为某一常数，即20lgA~的单值函数改变值——等线簇G(s)-R(s)C(s)在等

线中，等线与等-

线关于

=-1800对称。则在[20lgA~]上得到一条线——等线。令（2）尼科尔斯(Nichols)图

第78页，课件共93页，创作于2023年2月782)等M线

化简得

取M为某一常数，令上的一条等M线。

等M线关于线对称

当当

Nichols图的坐标范围：纵-30dB~30dB横-3600~0第79页，课件共93页，创作于2023年2月79第80页，课件共93页，创作于2023年2月80（3）尼科尔斯图应用例5-28已知开环传递函数及Bode图，试利用尼科尔斯图绘制闭环对数幅相图。

解：1）根据Bode图，在尼科尔斯图上绘制开环对数幅相曲线21.31511.56.32.5-0.3-1-2.5-5.2-9.2-14.5-99-106.5-114.5-130-144.5-153.5-156.3-162-170-183-198123578.591011.71520ω20lgA(ω)第81页，课件共93页，创作于2023年2月81●●●●●●●第82页，课件共93页，创作于2023年2月82ω123578.591011.7152020lgA21.31511.56.32.5-0.3-1-2.5-5.2-9.2-14.5(ω)-99-106.5-114.5-130-144.5-153.5-156.3-162-170-183-19820lgM(ω)M0.10.30.672.24.86.56.961.5-5.5-12.8-4-10-14-28-49-82-95-124-158-184-209.51.01