282解直角三角形及其应用课件

28.2解直角三角形及其应用第二十八章

锐角三角函数第一页，共31页。考场(kǎochǎng)对接题型一已知直角三角形中两边(liǎngbiān),解直角三角形例题(lìtí)1在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=35,AB=35，解这个直角三角形.

第二页，共31页。解在Rt△ABC中,由勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ),得∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°第三页，共31页。锦囊妙计“知两边”解直角三角形(1)解此类问题需注意区分直角边与斜边,结合勾股定理及锐角三角函数的定义来解题.(2)具体方法如下(rúxià)：先由勾股定理求第三边,再由一锐角与其中两边的关系,求出这个角,最后由直角三角形两锐角互余求出另一个锐角．第四页，共31页。题型二已知直角三角形中一边(yībiān)及一锐角,解直角三角形例题(lìtí)2在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠A=60°,a=.解这个直角三角形.第五页，共31页。解

∵

由=sinA=sin60°=,a=,得c=2.∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=30°即b=1,c=2,∠B=30°第六页，共31页。锦囊妙计已知一边(yībiān)一锐角解直角三角形的两种类型在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)已知斜边和一锐角,如c,∠A,∠B=90°∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=)．(2)已知一直角边和一锐角,如a,∠A,∠B=90°-∠A,注意：尽量运用题目中原始的已知条件．

第七页，共31页。题型三解非直角三角形问题(wèntí)例题(lìtí)3如图28-2-13所示,在△ABC中,∠A=30°,AC=4,AB=.求BC的长.第八页，共31页。解

过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=4,第九页，共31页。锦囊妙计解非直角三角形解决这类问题的技巧是运用“遇斜化直”的思想(sīxiǎng),通过作垂线(高)将斜三角形分割成两个直角三角形,借助公共边这一桥梁,问题便可迎刃而解.第十页，共31页。例题4如图28-2-14所示,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径.若⊙O的半径(bànjìng)为6,sinB=,则线段AC的长是().A．3B．4C．5D．6B第十一页，共31页。锦囊妙计根据已知条件,借助直径所对的圆周角是直角这一性质,可以(kěyǐ)把非直角三角形问题转化为直角三角形问题.第十二页，共31页。题型四运用(yùnyòng)解直角三角形求不规则图形的边长或面积例题(lìtí)5已知：如图28-2-15所示,在四边形ABCD中,∠ABC=120°,AD⊥BA于点A,CD⊥BC于点C,测得AB=,BC=,求四边形ABCD的面积.第十三页，共31页。解方法(fāngfǎ)一：如图28-2-16所示,过点B作BE∥AD交CD于点E,过点E作EF∥AB交AD于点F,则四边形ABEF是平行四边形.∵∠A=90°,∴四边形ABEF是矩形.又∵∠ABC=120°,∴∠CBE=30°,∠D=360°-90°-90°-120°=60°.第十四页，共31页。第十五页，共31页。方法(fāngfǎ)二：如图28-2-17所示,延长DA,CB交于点E,则∠ABE=60°,∠E=30°.在Rt△ABE中,第十六页，共31页。锦囊妙计(1)解四边形问题,通常是作高或者(huòzhě)延长两边构造直角三角形,然后解直角三角形；(2)割补法是求解不规则图形面积问题的常用方法.第十七页，共31页。题型五利用视角解直角三角形解决实际(shíjì)问题例题6[聊城中考]被誉为东昌三宝之首的铁塔始建于北宋时期,是我市现存的最古老的建筑,铁塔由塔身和塔座两部分组成(如图28-2-18①).为了测量铁塔的高度,小莹利用自制的测角仪,在点C测得塔顶E的仰角为45°,在点D测得塔顶E的仰角为60°,已知测角仪AC的高为米,CD的长为6米,CD所在(suǒzài)的水平线CG⊥EF于点G(如图28-218②),求铁塔EF的高(结果精确到米).第十八页，共31页。第十九页，共31页。∴EF=EG+FG=9+3+1.6≈15.8(米).答：铁塔(tiětǎ)EF的高约为米.第二十页，共31页。锦囊妙计(jǐnnángmiàojì)解直角三角形的基本图形第二十一页，共31页。锦囊妙计解答仰角、俯角问题的“三点注意”(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的,可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时,要善于将实际问题抽象为数学问题；(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形,已知仰角(俯角)和在水平线上的一边的长,利用解直角三角形的知识就可以(kěyǐ)求出物体的高度；(3)若根据已知条件不能直接解三角形,可设未知数列方程求解．第二十二页，共31页。题型六利用方向角解直角三角形解决实际(shíjì)问题例题7如图28-2-20所示,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼,甲船以152nmile/h的速度(sùdù)沿北偏西60°方向前进,乙船以15nmile/h的速度(sùdù)沿北偏东45°方向前进.甲船航行2h到达C处,此时甲船发现渔具落在乙船上,于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船,结果两船在B处相遇.(1)甲船从C处开始至追上乙船用了多长时间？(2)甲船追赶乙船的速度(sùdù)是多少？第二十三页，共31页。第二十四页，共31页。解如图28-2-20所示,过点A作AM⊥BC于点M.由题意(tíyì)知∠BAC=45°+60°=105°,∠ACB=45°,∴∠B=30°,AM=MC.(1)设甲船从C处开始至追上乙船用了xh,则乙船从A处到B处用了(x+2)h.在Rt△AMC中,AC=∴AM=MC=AC·sin45°==30(nmile).在Rt△AMB中,AM=AB,即30=×(x+2)×15,解得x=2.答：甲船从C处开始至追上乙船用了2h.第二十五页，共31页。(2)在Rt△AMB中,AM=30nmile,AB=2AM=60nmile,

第二十六页，共31页。锦囊妙计解答方向角问题的“两个关键”(1)根据题意(tíyì)画对图形：把实际问题转化为数学图形,无直角三角形的要构造直角三角形；(2)正确标注方向角：目标移动时,基准点在移动,方向角也要进行相应的变化．第二十七页，共31页。题型七利用(lìyòng)坡度、坡角解直角三角形解决实际问题例题8如图28-2-21所示,梯形ABCD是拦水坝的横断面(图中i=1∶是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),∠B=60°,AB=6m,AD=4m,求拦水坝的横断面ABCD的面积(结果保留到小数(xiǎoshù)点后一位,参考数据：第二十八页，共31页。解

∵AD∥BC,AF⊥BC,DE⊥BC,∴四边形AFED是矩形(jǔxíng),∴DE=AF=3m,FE=AD=4m.

∴BC=BF+EF+EC=3+4+9=16(m),答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0m2.第二十九页，共31页。锦囊妙计解答坡度问题的“三点注意”(1)解坡度问题需明确坡度的概念,然后根据具体情况计算.当给出的条件是坡面长度和坡度时,根据定义,构建方程来求解,应用时要注意与三角函数的结合；(2)坡度是坡角的正切值,坡度越大,坡角也越大；(3)坡度问题一般与梯形有关,解题的关键是作高线,构造坡角所在(suǒzài)的